2024年潍坊市中考真题数学试卷(解析版)

这是一份2024年潍坊市中考真题数学试卷(解析版)，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
第Ⅰ卷（选择题 共44分）
一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分．每小题的四个选项中只有一项正确）
1. 下列著名曲线中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项A不符合题意；
不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项B不符合题意；
既是轴对称图形也是中心对称图形，故选项C符合题意；
是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项D不符合题意；
故选：C．
2. 2024年3月份，低空经济首次被写入《政府工作投告》．截止2023年底，全国注册通航企业690家、无人机万架，运营无人机的企业达万家．将万用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】万，
故选B．
3. 某厂家生产的海上浮漂的形状是中间穿孔的球体，如图所示．该浮漂的俯视图是图，那么它的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由图形可得，它的主视图如图所示：
，
故选：．
4. 中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示：
由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由图像可知，在时提取率最高，
时提取率最高，
故最佳的提取时间和提取温度分别为，
故选B．
5. 一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴与所成锐角的度数为为，
故选：．
6. 已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ）
A. 无实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 无法确定
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∴，
，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．在每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
7. 下列命题是真命题的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 两个有理数的积仍为有理数
D. 两个无理数的积仍为无理数
【答案】AC
【解析】A、由等式的性质可得，若，则，原命题为真命题；
B、由不等式的性质可得，若，且，则，原命题为假命题；
C、两个有理数的积仍为有理数，原命题为真命题；
D、两个无理数的积不一定为无理数，比如，原命题为假命题．
故选：AC．
8. 如图，圆柱的底面半径为，高为1，下列关于该圆柱的结论正确的有（ ）

A. 体积为B. 母线长为1
C. 侧面积为D. 侧面展开图的周长为
【答案】BC
【解析】A.∵圆柱的底面半径为，高为1，
∴圆柱的体积为，故选项A不符合题意；
B.∵圆柱的高为1，
∴圆柱的母线长为1，故选项B正确，符合题意；
C. ∴圆柱的底面半径为，高为1，
∴圆柱的底面周长为，
∴侧面积为，故选项C正确，符合题意；
D.∵圆柱的底面周长为，高为1，
∴圆柱的侧面展开图的周长为，故选项D错误，不符合题意
综上，正确的结论为B，C，
故选：BC
9. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是．下列结论正确的有（ ）
A.
B. 该抛物线与轴的另一个交点坐标是
C. 若点和在该抛物线上，则
D. 对任意实数，不等式总成立
【答案】ACD
【解析】将代入，可得，由图像可知，此时图像在轴上方，故，故选项A正确；
对称轴是直线，
，
故该抛物线与轴的另一个交点坐标是，故选项B错误；
时，函数有最大值，距离对称轴更近，故，故选项C正确；
时，函数有最大值，故，即不等式总成立，故选项D正确；
故选ACD．
10. 如图，是的外接圆，，连接并延长交于点．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点．直线交于点，连接，下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D. 四边形为菱形
【答案】ABD
【解析】令交于点，
由题意得：是垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，选项A正确；
，
，
，
，
故四边形为菱形，选项D正确；
，
，
四边形为菱形，，
四边形为平行四边形，
，
，选项B正确；
，故选项C错误；
故选ABD．
第Ⅱ卷（非选择题 共106分）
三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分．只写最后结果）
11. 请写出同时满足以下两个条件的一个函数：______．
①随着的增大而减小；②函数图象与轴正半轴相交．
【答案】（答案不唯一）
【解析】∵随着的增大而减小，
∴一次函数的比例系数，
又∵函数图象与轴正半轴相交，
∴，
∴同时满足以下两个条件的一次函数可以是，
故答案：（答案不唯一）．
12. 如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点的坐标为，点均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】作，交y轴于点F，
由题可得：，
是等边三角形，，
∴是的角平分线，，，
在中，，
即，解得，，
，
，．
13. 小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致．完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是______．
【答案】
【解析】由题意可得，共有种结果：红红，黄黄，蓝蓝；红红，蓝黄，黄蓝；黄红，红黄，蓝蓝；黄红，蓝黄，红蓝；蓝红，红黄，黄蓝；蓝红，黄黄，红蓝；
其中每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的有种结果，
∴每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是．
14. 将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则______，______．
【答案】45 2
【解析】由图中排布可知，当正整数为时，
若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；
若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行；
∵，
而，在第行，第1列，
∴2024在第行，第2列，
∴，，
故答案为：45，2．
四、解答题（共8小题，共90分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. （1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
解：（1）
；
（2）
；
当时，
原式．
16. 如图，在矩形中，，点分别在边上．将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上；将沿折叠，点的对应点恰好也落在对角线上．连接．
求证：
（1）；
（2）四边形为平行四边形．
证明：（1）∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由折叠可得，，，，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）由（）知，，
∴，，
∴四边形为平行四边形．
17. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点作轴的平行线，交的图象于点．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）求的面积．
解：（1）把代入得，，
∴，
∴，
把代入得，，
∴，
∴反比例函数表达式为；
（2）把代入得，，
∴，
∵轴，
∴点的横坐标为，
把代入得，，
∴，
∴，
∴．
18. 在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为分、分、分、分和分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．
【数据描述】
下图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答问题（）（）．
（）平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图；
（）求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角的度数．
【分析与应用】
样本数据的统计量如下表，请回答问题（）（）．
（）直接写出表中和的值，并求的值；
（）小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点．
解：（）由题意可得，平台从甲商家抽取了个评价分值，
从乙商家抽取了个评价分值，
∴甲商家分的评价分值个数为个，
乙商家分的评价分值个数为个，
补全条形统计图如下：
（）；
（）∵甲商家共有个数据，
∴数据按照由小到大的顺序排列，中位数为第位和第位数的平均数，
∴，
由条形统计图可知，乙商家分的个数最多，
∴众数，
乙商家平均数；
（）小亮应该选择乙商家，理由：由统计表可知，乙商家的中位数、众数和平均数都高于甲商家的，方差较接近，
∴小亮应该选择乙商家．
19. 2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：．预计该商场每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：，其中．设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为（万元）．
（1）若万元，求该商场建造的隔热层厚度；
（2）已知该商场未来8年的相关规划费用为（万元），且，当时，求隔热层厚度的取值范围．
解：（1）由题意得：
整理得，
当时，则，
解得：．
，不符合题意，舍去，
该商场建造的隔热层厚度为6．
（2）由（1）得，
，．
，随的增大而增大，
当时，，解得；
当时，，解得；
的取值范围为．
20. 如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的直径．
（1）证明：连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴
∵，，
∴，
∵，，，
∴
∴，，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
即的直径为．
21. 在光伏发电系统运行时，太阳能板（如图1）与水平地面的夹角会对太阳辐射的接收产生直接影响．某地区工作人员对日平均太阳辐射量（单位：）和太阳能板与水平地面的夹角进行统计，绘制了如图2所示的散点图，已知该散点图可用二次函数刻画．
（1）求关于的函数表达式；
（2）该地区太阳能板与水平地面的夹角为多少度时，日平均太阳辐射量最大？
（3）图3是该地区太阳能板安装后的示意图（此时，太阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐射量最大），为太阳能板与水平地面的夹角，为支撑杆．已知，是的中点，．在延长线上选取一点，在两点间选取一点，测得，在两点处分别用测角仪测得太阳能板顶端的仰角为，，该测角仪支架的高为1m．求支撑杆的长．（精确到m，参考数据：，）
解：（1）设关于的函数表达式为，
将代入，
得，
解得，
；
（2）根据函数解析式得函数对称轴，
故阳能板与水平地面的夹角为度时，日平均太阳辐射量最大；
（3），
延长与过点作的线交于点，令，
，，
，
，
，
，
，
延长交与点，
，，
，，
，
．
22. 【问题提出】
在绿化公园时，需要安装一定数量自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．
说明：一个自动喷洒装置喷洒范围是半径为的圆面．喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积．
【数学建模】
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
【探索发现】
（1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率______．
（2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；，以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由．
（3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率．已知，设，的面积为，求关于的函数表达式，并求当取得最小值时的值．
【问题解决】
（4）该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率？（直接写出结果即可）
解：（1）当喷洒半径为时，喷洒的圆面积．
正方形草坪的面积．
故喷洒覆盖率．
（2）对于任意的，喷洒面积，而草坪面积始终为．
因此，无论取何值，喷洒覆盖率始终为．
这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用．
（3）如图所示，连接，
要使喷洒覆盖率，即要求，其中为草坪面积，为喷洒面积．
∴都经过正方形的中心点，
在中，，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴当时，取得最小值，此时，
解得：.
（4）由（3）可得，当的面积最小时，此时圆为边长为的正方形的外接圆，
则当时，圆的内接正方形的边长为，
而草坪的边长为，，即将草坪分为个正方形，将半径为的自动喷洒装置放置于9个正方形的中心，此时所用装置个数最少，
∴至少安装个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率.商家
统计量
中位数
众数
平均数
方差
甲商家
乙商家