【冲刺2024】中考真题及变式题-选择填空题部分（山东省青岛市中考数学专用）解析版

这是一份【冲刺2024】中考真题及变式题-选择填空题部分（山东省青岛市中考数学专用）解析版，共77页。试卷主要包含了2023青岛真题第1，变式题1，2023青岛真题第2，变式题2，2023青岛真题第3，变式题3，2023青岛真题第4，变式题4等内容，欢迎下载使用。

一、2023青岛真题第1
1．生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．C．D．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形定义：把图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐个判断即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
A选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，
B选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，
C选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，
D选项图形是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意，
故选：D；
【点睛】本题考查中心对称图形定义：把图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形．
二、变式题1
2．下列图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．下列图形中，既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．图书馆的标志浓缩了图书馆的文化，下列图书馆标志中图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，熟悉轴对称图形的概念是解答本题的关键．
根据轴对称图形的概念，对每个选项进行判断，只有选项符合题意．
【详解】解：选项不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
选项是轴对称图形，故本选项符合题意；
选项不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
选项不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
5．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
6．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合，根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键．
三、2023青岛真题第2
7．的相反数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据实数的相反数是进行求解．
【详解】的相反数是，
故选：．
【点睛】此题考查了实数相反数的求解能力，解题的关键是能准确理解并运用以上知识．
四、变式题2
8．一个数的相反数是－3，则这个数是（ ）
A．3B．-3C．2D．0
【答案】A
【详解】相反数是指只有符号不同的两个数，3与-3只有符号不同，所以-3相反数为3，
∴这个数为3，
故选A．
9．的相反数为（ ）
A．3B．-3C．D．0
【答案】B
【详解】试题分析：因为，3的相反数是－3，所以的相反数是－3，故应选B.
考点：绝对值、相反数
点评：本题中首先根据绝对值的定义求出，再根据相反数的定义求出3的相反相成数是－3，所以的相反数是－3.
10．如果的相反数是，那么的绝对值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据相反数的定义求出x的值，然后根据绝对值的定义求出x的绝对值即可．
【详解】解：∵x的相反数为2，
∴，
∵，
∴x的绝对值为2，
故选A．
【点睛】本题主要考查了相反数和绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握相反数和绝对值的定义．
11．若、是数轴上两点，则下列数轴上、，两点表示的数，互为相反数的是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据相反数的几何意义，即可得出结论．
【详解】解：互为相反数的两数对应的点位于原点两侧，且到原点的距离相等，
观察数轴可得：A、C、D中、均在原点的同一侧，不符合题意，B中、两点位于原点的两侧，且到原点的距离相等，符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数和数轴．解决本题的关键是理解相反数的几何意义．
12．已知a，b（）互为相反数，下列各组数中，互为相反数的一组为（ ）
A．与B．与
C．与（n为正整数）D．与（n为正整数）
【答案】D
【分析】依据相反数的定义以及有理数的乘方法则进行判断求解．
【详解】∵a，b（）互为相反数，
∴，
∴，，
即A项．，故A不符合题意；
B项．，故B不符合题意；
C项．，故C不符合题意；
D项．由于是奇数，则与互为相反数，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了相反数和乘方的意义，明确只有符号不同的两个数叫做互为相反数，还要熟练掌握互为相反数的两个数的偶数次方相等，奇次方还是互为相反数．
五、2023青岛真题第3
13．一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其左视图是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】运用三种视图的空间方位进行解题．
【详解】解：A、选项不符合三种视图，不符合题意；
B、选项是主视图，不符合题意；
C、选项是右视图，不符合题意；
D、选项是左视图，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
六、变式题3
14．如图，是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通过观察几何体中正方体的摆放位置，根据左视图是从左面看到的图形判断即可．
【详解】从左面看，从左往右看到的小正方体的个数依次为：、；从上往下看到的小正方体的个数依次为：、，可得到左视图如下：
，
故选：C．
【点睛】本题考查立体图形的三视图，理解左视图是从几何体左面看到的的视图即可．
15．在如图所示的几何体中，俯视图和左视图相同的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据俯视图与左视图的概念依次判断即可．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【详解】解：A、俯视图是带圆心的圆，左视图是等腰三角形，故本选项不合题意；
B、俯视图是圆，左视图是矩形，故本选项不合题意；
C、俯视图与左视图都是正方形，故本选项符合题意；
D、俯视图是三角形，左视图是矩形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．
16．下列立体图形中，俯视图是正方形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据三视图的概念判断即可.
【详解】A．球的俯视图是圆，故本选项错误；
B．正方体的俯视图是正方形，故本选项正确；
C．圆锥的俯视图是圆，故本选项错误；
D．圆柱的俯视图是圆，故本选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图．空间想象能力是解决本题的关键.
17．如图所示的立体图形的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据主视图是从前向后看，即可解题．
【详解】解：此立体图形从正面看所得到的图形为矩形，里面有一条竖线且为实线，故选A．
【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
18．如图所示几何体的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查三视图．画出从左面看的到图形即可，注意存在看不到的用虚线表示．
【详解】解：左视图为：
故选D．
七、2023青岛真题第4
19．中欧班列是共建“一带一路”的旗舰项目和明星品牌，是亚欧各国深化务实合作的重要载体．中欧班列“青岛号”自胶州开往哈萨克斯坦，全程7900公里．将7900用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将一个数表示为的形式，其中，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键．
八、变式题4
20．兆帕是压强的单位，全称为兆帕斯卡，1帕是指1牛顿的力均匀的压在1平方米的面积上所产生的压强，1兆帕＝1000000帕，那么300兆帕换算成帕并用科学记数法表示为（ ）
A．帕B．帕C．帕D．帕
【答案】B
【分析】
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】
解：300兆帕＝300000000帕＝3×108帕，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
21．2023年10月26日，神州十七号3名宇航员汤洪波、唐胜杰、江新林进入中国空间站，与神十六乘组顺利完成“太空会师”．中国的太空空间站离地球大约 400000米，则近似数 400000用科学记数法表示，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数的方法，掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数是关键．
【详解】解：．
故选：C．
22．“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值，袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为，将数据用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
将一个数表示成的形式，其中为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【详解】，
则，
故选：D．
23．“细颗粒物”是指大气中直径小于或等于米（即2.5微米）的颗粒物，米是（ ）
A．米B．2500000米C．0.000025米D．0.0000025米
【答案】D
【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．
【详解】解：．
故选D．
24．5月29日腾讯新闻报道，2022年第一季度，湖南全省地区生产总值约为11000亿元，11000亿用科学记数法可表示为，则的值是（ ）
A．0.11B．1.1C．11D．11000
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，整数位数减1即可．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：因为1亿=108，所以11000亿用科学记数法表示为1.1×104×108=1.1×1012．
故选：B．
【点睛】此题考查了科学记数法表示绝对值大于1的数．解题的关键是关键知道1亿=108，要正确确定a的值以及n的值．
九、2023青岛真题第5
25．如图，将线段先向左平移，使点B与原点O重合，再将所得线段绕原点旋转得到线段，则点A的对应点的坐标是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由平移的性质得，点，再由旋转的性质得点与关于原点对称，即可得出结论．
【详解】
解：如图，

由题意可知，点，，
由平移的性质得：，点，
由旋转的性质得：点与关于原点对称，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变化﹣旋转、坐标与图形的变化﹣平移，熟练掌握旋转和平移的性质是解题的关键．
十、变式题5
26．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，平移线段，使点落在点处，则点的对应点的坐标为（ ）
A．（0，0）B．（0，－2）C．（－2，0）D．（－3，1）
【答案】C
【分析】根据B点对应点的坐标可得线段AB的平移方法，进而可得A点的对应点坐标．
【详解】解：∵，平移线段AB，使点B落在点处，
∴横坐标减4，纵坐标减1，即线段向左平移4个单位，向下平移1个单位，
∵，
∴点A的对应点的坐标为，
即的坐标为．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化---平移，关键是掌握右加左减，上加下减坐标平移规律是解题关键．
27．在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点B的对应点为，则点B的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．
【详解】解：横坐标从到3，说明是向右移动了，纵坐标从1到，说明是向下移动了，
求原来点的坐标，则为让新坐标的横坐标都减5，纵坐标都加2．
则点的坐标为．
故选：D．
【点睛】本题考查了图形的平移变换，注意左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．求原来点的坐标正好相反．
28．如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点A，B的对应点分别是点C，D，已知点，，，则点C的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据点B、D的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可．
【详解】解：点的对应点D的坐标为，
平移规律为向右平移7个单位，再向下平移2个单位，
的对应点C的坐标为．
故选：D．
29．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，点C的坐标为，．将先绕点C顺时针旋转，再向右平移4个单位长度，则变换后点A的对应点坐标是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据旋转变换的性质得到旋转变换后点的对应点坐标，根据平移的性质解答即可．
【详解】解：点的坐标为，，
点的坐标为，
如图所示，将先绕点顺时针旋转，
则点的坐标为，
再向右平移4个单位长度，则变换后点的对应点坐标为，
故选：A．
【点睛】本题考查的是坐标与图形变化—旋转和平移，掌握旋转变换、平移变换的性质是解题的关键．
30．如图，将线段先绕原点按逆时针方向旋转，再向下平移4个单位，得到线段，则点的对应点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出A点绕O点逆时针旋转90°后的坐标为（-1，2），再求向下平移4个单位后的点的坐标即可．
【详解】解：如图连接OA,将OA点绕O点逆时针旋转90°，得到点A''（-1，2），A''向下平移4个单位，得到A'（-1，-2）；
故选：D．
【点睛】本题考查坐标与图形变化，能够根据题意得出旋转、平移后的点坐标是解题的关键．
十一、2023青岛真题第6
31．如图，直线，，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先根据平行线的性质得，再由三角形的外角定理可得的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵，
∴．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，三角形的外角定理，准确识图，熟练掌握平行线的性质和三角形的外角定理是解答此题的关键．
十二、变式题6
32．如图所示，直线，的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
33．如图，直线a∥b，三角板的直角顶点放在直线b上，若∠1=65°，则∠2的度数为（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【答案】A
【分析】先由直线a∥b，根据平行线的性质，得出∠3＝∠1＝65°，再由已知直角三角板得∠4＝90°，然后由∠2＋∠3＋∠4＝180°求出∠2．
【详解】已知直线a∥b，
∴∠3＝∠1＝65°
∵∠4＝90°，∠2＋∠3＋∠4＝180°，
∴∠2＝180°−65°−90°＝25°．
故选A．

【点睛】此题考查了学生对平行线性质的应用，关键是由平行线性质得出同位角相等求出∠3．
34．如图，，直线分别交，于点E，F，平分，交于点G，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质及角平分线有关计算，先求解，根据平分，得到，结合得到，即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
35．如图，有一足够长的长方形纸片，E、F分别为AD、BC上的动点，沿EF折叠后，FM与AE的所夹的锐角为30°，则的度数为（ ）
A．75°B．60°C．15°或75°D．30°或75°
【答案】C
【分析】分当点F在点E的左侧时，当F在点E右侧时，利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图1所示，当点F在点E的左侧时，
由题意得∠EMF=30°，，
∴∠BFM=∠EMF=30°，
由折叠的性质可知，
∴；
如图2所示，当F在点E右侧时，
由题意得∠DMF=30°，，
由折叠的性质可知，
∵，
∴∠GEM=∠DMF=30°，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠问题，熟知平行线的性质是解题的关键．
36．如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；同时需掌握平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
过点F作，根据平行公理的推论可得，再根据两直线平行，内错角相等求出，两直线平行，同旁内角互补求出，即可求解．
【详解】解：如图，过点F作，
，
故选：C
十三、2023青岛真题第7
37．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的运算法则将各式计算后进行判断即可．
【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
十四、变式题7
38．下列计算错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的四则运算法则和二次根式的性质进行判断．
【详解】解：A、，故正确；
B、，故正确；
C、，故错误；
D、，故正确；
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的四则运算，以及二次根式的性质，解题的关键是掌握运算法则．
39．下列各式计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由二次根式的加减运算可判断A，由二次根式的除法运算可判断B，由二次根式的乘法运算可判断C，由二次根式的乘方运算可判断D，从而可得答案．
【详解】解：不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C符合题意；
，故D不符合题意；
故选C.
【点睛】本题考查的是二次根式的加减乘除乘方运算，掌握“二次根式的加减乘除乘方运算的运算法则”是解本题的关键．
40．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法法则，二次根式的加法，乘法法则进行计算，逐一判断即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、与不能合并，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
41．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据二次根式的加法，减法，乘法法则，进行计算即可解答．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：B
42．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的计算法则解答即可．
【详解】解：A、，错误，不符合题意；
B、，不能进行合并，错误，不符合题意；
C、，正确，符合题意；
D、，错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查二次根式的四则计算，解题的关键是根据二次根式的计算法则解答．
十五、2023青岛真题第8
43．如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接，根据圆内接四边形的性质得出，再根据三角形的内角和求出，进而得出，最后根据弧长公式即可求解．
【详解】解：连接，
∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．

【点睛】本题主要考查了圆的内接四边形，圆周角定理，三角形的内角和，弧长公式，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，三角形的内角和为，弧长．
十六、变式题8
44．如图，已知点A、B、C、D都在上，，下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】考查了圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，解题关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和垂径定理，可以得到，，，然后即可判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵，
∴，，故A正确；，
∴， ,
∴，故B正确；,
∴，故C错误；
∵，
∴，故D正确；
故选：C．
45．如图，为的直径，点为圆上两点，且，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了弦、弧、圆心角之间的关系，圆周角定理，直角三角形两锐角互余，连接，由可得，进而得到，又由为的直径，可得，利用直角三角形两锐角互余即可求解，掌握圆的有关性质定理是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
故选：．
46．如图，已知点在上，为的中点．若，，则的长等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查圆的性质及弧长公式，解题的关键是掌握圆周角定理和圆心角，弧的关系．连接，由，得，又为的中点．故，即知，再根据弧长公式计算即可．
【详解】解：连接，如图：
C为的中点，
，
，
，
，
，
故选：B．
47．如图，是的直径，为弦，是弧的中点，连接交于，若，，则（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角、弦、弧的关系，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，连接，，，交于点，由题意得出，证明出为等边三角形，解直角三角形得出的长，即可得出答案．
【详解】解：连接，，，交于点，
，
∵是弧的中点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，，，
故，
故选A．
48．如图，点为上三点，，点为上一点，于，，，则的长为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了弧，弦，圆周角之间的关系，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，在上取一点F，使得，连接，由得到，进而证明，得到，由三线合一定理得到，则．
【详解】解：如图所示，在上取一点F，使得，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
十七、2023青岛真题第9
49．如图，在正方形中，点E，F分别是，的中点，，相交于点M，G为上一点，N为的中点．若，，则线段的长度为（ ）

A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据条件正方形边长为4，由勾股定理求出线段长，利用中位线得到长即可．
【详解】解：连接，，

∵点E，F分别是，的中点，
∴四边形是矩形，
∴M是的中点，
在正方形中，，，
∴，
在中，由勾股定理得，
，
在中，M是的中点，N是的中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质和勾股定理的应用，构造三角形是破解本题的关键．
十八、变式题9
50．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，连接，若正方形的面积为10，，则小正方形的面积为（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，根据，，得到，利用勾股定理求出，即可．
【详解】解：∵正方形的面积为10，
∴，
∵大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴小正方形的面积为；
故选：A．
51．如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，则（ ）
A．2.5B．3C．3.5D．4
【答案】B
【分析】此题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线性质，勾股定理，根据矩形的性质得到，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，再根据勾股定理求出的长度．
【详解】解：由题意得，
在矩形中，，
∵F为的中点，，
∴，
∴，
故选：B．
52．如图，在正方形中，G为边中点，连接并延长，分别交对角线于点F，交边延长线于点E．若，则的长度为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定等知识．根据正方形的性质得到，，先证明，从而求出，进而得到．再证明，求出，即可进出．
【详解】解：∵G为边中点，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴=2，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D
53．如图，在中，连接，且，过点作于点，过点作于点，且，在的延长线上取一点，满足，则的长为（ ）
A．5B．C．D．7
【答案】B
【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰直角三角形，三角形的面积．由平行四边形的性质推出，而，得到，由三角形面积公式得到的面积，推出，由三角形外角的性质得到，而，得到，推出，判定是等腰直角三角形，即可求出．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
于点，于点，
的面积，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
．
故选：B．
54．如图，在中，，，把绕点A逆时针旋转得到，点D与点B对应，点D恰好落在上，过E作交的延长线于点F，连接并延长交于点G，连接交于点H．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）

A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】连接，可证四边形是矩形，，即可判断①③；根据①③的结论可推出垂直平分，进而可得是等腰直角三角形，从而可判断②；根据条件无法证明④的准确性．
【详解】解：连接，如图所示：

∵，，
∴
由题意得：
∴
∴
∴
∵，
∴
∴四边形是矩形，
∴，，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴点是的中点
即：，故①正确；
∵,
∴
∵
∴
∴
同理可证
∴，故③正确；
∵
∴垂直平分
∴
∵
∴是等腰直角三角形
∴
∵
∴，故②正确；
根据条件无法证明，
故选：B．
【点睛】本题综合考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、斜中半定理等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的几何基础．
十九、2023青岛真题第10
55．一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（ ）

A．31B．32C．33D．34
【答案】B
【分析】根据正方体展开图的特征，得出相对面上的数字，再结合正方体摆放方式，得出使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，即可解答．
【详解】解：由图①可知：1的相对面是3，2的相对面是4，5的相对面是6，
由图2可知：
要使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，
上面的正方体有一个面被遮住，则这个面数字为6，
能看见的面数字之和为：；
左下的正方体有3个面被遮住，其中两个为相对面，则这三个面数字分别为4，5，6，
能看见的面数字之和为：；
右下的正方体有2个面被遮住，这两个面不是相对面，则这两个面数字为4，6，
能看见的面数字之和为：；
∴能看得到的面上数字之和最小为：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方体的相对面，掌握正方体展开图中“相间一行是相对面”，是解题的关键．
二十、变式题10
56．如图是一个正方体的展开图，相对的面上的数互为倒数，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】正方体的表面展开图，同行隔一个，异行隔一列，由此可知a与是相对面，c与是相对面，再根据倒数的性质求得a、c的值，即可得到答案．
【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中a与是相对面，c与是向对面，
相对面上的数互为倒数，
，，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方体的展开图，倒数，代数式求值，理解其各面的对立关系是解题关键．
57．如图所示正方体，相邻三个面上分别标有数字，它的展开图可能是下面四个展开图中的（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由原正方体的特征可知，含有数字4,6,8的三个面一定相交于一点且均互为邻面，4,6,8所在的平面不可能是对面，据此逐一判断，可得结论.
【详解】A选项，折叠后4,8互为对面，故A错误；
B选项，折叠后6,8互为对面，故B错误；
C选项，折叠后和原正方体相符，故C正确；
D选项，折叠后6,8互为对面，故D错误；
故选C.
【点睛】本题考查的是正方体的展开图，主要考查学生的识图能力和空间想象能力，属于基础题目.
58．如图，一个正方体纸盒的六个面上分别印有1，2，3，4，5，6，并且相对面上的两数之和为7，它的表面展开图可能是

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
【详解】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
∵相对面上的两数之和为7，
∴3与4相对，5与2相对，6与1相对
观察选项，只有选项D符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
59．一个小正方体的六个面分别标有数字，将它按如图所示的方式顺时针滚动，每滚动算一次，则滚动第次时，小正方体朝下一面标有的数字是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了正方体相对两个面上的数字，先找出正方体相对面的数字，然后从数字找规律即可解答，从数字找到规律是解题的关键．
【详解】解：由图可知：和相对，和相对，和相对，
将正方体沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动算一次，
正方体朝下一面的点数依次为且依次循环，
∵，
∴滚动第次后，骰子朝下一面的点数是，
故选：．
60．如图一个正方体的六面都标上数字，请问5对面是（ ）
A．1B．2C．4D．6
【答案】A
【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，找出一个面的四个相邻面是判断其对面的关键．
根据图形可知，4与1、6、3、5相邻，可以判断出4与2是相对面，3与1、2、4、5相邻，可以判断出3与6是相对面，然后得出1与5是相对面，然后即可进行选择．
【详解】解：根据图形的相邻面，因为4与1、6、3、5相邻，
所以4与2是相对面，
因为3与1、2、4、5相邻，
所以3与6是相对面，1与5是相对面．
故选：A.
二一、2023青岛真题第11
61．计算： ．
【答案】
【分析】利用积的乘方及单项式除以单项式的法则进行计算即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
二二、变式题11
62．计算： ．
【答案】
【分析】根据积的乘方､单项式的乘法运算法则求解即可．
【详解】
．
【点睛】本题考查了积的乘方､单项式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
63．(-2ax2)2-4ax3·(ax-1)=
【答案】4ax3
【详解】(-2ax2)2-4ax3·(ax-1)＝4a2x4-4a2x4+4ax3=4ax3.
故答案是：4ax3.
64．计算
（） ．
（） ．
【答案】
【分析】（）利用积的乘方和同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解；
（）根据多项式除以单项式的运算法则进行计算即可求解；
本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：（）原式，
故答案为：；
（）原式，
故答案为：．
65．计算 ．
【答案】
【分析】本题主要考查整式的除法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂相除及负指数．
先根据积的乘方计算括号里面的，再按照单项式除法法则进行计算即可．
熟练掌握幂的乘方，积的乘方，同底数幂相除的法则及负指数是解题的关键．注意：．
【详解】
．
故答案为：．
66．已知，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式，平方差公式，是解题的关键．
先利用因式分解和完全平方公式变形，然后代入数据进行计算即可．
【详解】解：
当时，
，
原式
，
故答案为：．
二三、2023青岛真题第12
67．小颖参加“歌唱祖国”歌咏比赛，六位评委对小颖的打分（单位：分）如下：7，8，7，9，8，．这六个分数的极差是 分．
【答案】3
【分析】
根据极差的定义：一组数据中最大数与最小数的差叫数据的极差直接判断即可得到答案；
【详解】解：由数据得，
极差为：，
故答案为：3．
【点睛】本题考查极差的定义：一组数据中最大数与最小数的差叫数据的极差，理解极差的定义是解题关键．
二四、变式题12
68． 已知一组数据2， 1，－1，0， 3，则这组数据的极差是
【答案】4.
【详解】此题考查极差的概念
极差就是一组数的最大数减去最小数，
答案 4
点评：一定要掌握基本概念
69．一组数据3，－4，1，x的极差为8，则x的值是 ．
【答案】4或-5/-5或4
【分析】根据极差的定义分两种情况讨论，当x最大时和x最小时，分别列出算式进行计算即可．
【详解】解：∵数据3，-4，1，x的极差是8，
∴当x最大时：x-（-4）=8，
解得：x=4；
当x最小时，3-x=8，
x=-5，
故答案为：4或-5．
【点睛】此题主要考查了极差的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值，分两种情况讨论是解决本题的关键．
70．一组数据3、5、x、9、6的平均数是7，那么这组数据的极差是 ．
【答案】9
【分析】由平均数公式求出x，再根据极差的公式：极差最大值最小值求解即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得： ，
∴极差．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了平均数和极差公式．极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．
71．某市6月上旬前5天的最高气温如下（单位：℃）：28，29，31，29，32，对于这组数据，众数是 ，中位数是 ，极差是 ．
【答案】 29 29 4
【详解】∵29出现的次数最多，∴众数是29；
∵从小到大排列后，29排在中间，∴中位数是29；
∵32-28=4，∴极差是4.
72．已知一组数据，，，，的平均数是，方差是，那么另一组数据，，，，的平均数 ， 方差 ．
【答案】 4 9
【分析】本题考查的是样本平均数的求法及运用，方差的计算与运用，解题的关键是掌握平均数公式：及方差公式：由平均数的计算方法是利用原数据的平均数，扩大3倍求新数据的平均数，利用原数据的方程，扩大倍计算新数据的方差．
【详解】解：∵一组数据，，，，的平均数为，
方差
∴另一组数据，，，，的平均数为，
方差为
故答案为：4，9．
二五、2023青岛真题第13
73．反比例函数的图象经过点，则反比例函数的表达式为 ．
【答案】
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，列出关于m的方程解出即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点的坐标之积是常数是解题的关键．
二六、变式题13
74．点在反比例函数的图像上，则m的值为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标符合函数的解析式．将点代入反比例函数，即可求出m的值．
【详解】解：把代入得：，
解得，
故答案为：．
75．若函数是y关于x的反比例函数，则 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查反比例函数的定义，根据定义列出且，求出的值即可．
【详解】解：∵函数是y关于x的反比例函数，
∴且，
解得，．
故答案为：5．
76．点在反比例函数的图像上，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，把点代入，进行计算，即可作答．
【详解】解：∵点在反比例函数的图像上
∴把点代入
得
解得
故答案为：
77．在平面直角坐标系中，若函数的图像经过点和，则m的值为 ．
【答案】1
【分析】根据反比例函数图像上的点的两个坐标的积等于定值k，得，解答即可．本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握性质，并列出等式是解题的关键．
【详解】∵函数的图像经过点和，
，
，
故答案为：1．
78．已知点，都在反比例函数的图象上，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征求解即可，熟知反比例函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键．
【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上，
∴，
解得：或（舍去），
∴，，
∴，
解得：，
故答案为：．
二七、2023青岛真题第14
79．某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元．设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式方程为 ．
【答案】
【分析】根据两种劳动工具单价间的关系，可得出乙种劳动工具单价为元，利用数量=总价÷单价，结合乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：∵乙种劳动工具的单价比甲种劳动工具的单价贵了4元，且甲种劳动工具单价为x元，
∴乙种劳动工具单价为元．
根据题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
二八、变式题14
80．某工厂现在平均每天比原计划多生产60台机器，现生产800台机器所需时间与原计划生产650台所需时间相同．设原计划每天生产x台，根据题意，可列方程为： ．
【答案】/
【分析】根据时间相等的关系列出方程．
【详解】解：原计划每天生产x台，现在平均每天比原计划多生产60台机器，
∴现在每天生产（x＋60）台，
由现生产800台机器所需时间与原计划生产650台所需时间相同得： ．
故答案为：
【点睛】本题考查了用等量关系列方程的应用，根据生产机器所用时间相等列方程是作答关键．
81．有两块面积相同的小麦试验田，分别收获小麦9000kg和15000kg．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg，若设第一块试验田每公顷的产量为xkg，根据题意，可得方程 ．
【答案】．
【详解】关键描述语是：“两块面积相同的小麦试验田”；等量关系为：第一块试验田的面积=第二块试验田的面积．
解：第一块试验田的面积为：，第二块试验田的面积为：．方程应该为：．
82．某玩具厂生产一种玩具，甲车间计划生产500个，乙车间计划生产400个，甲车间每天比乙车间多生产10个，两车间同时开始生产且同时完成任务 ．设乙车间每天生产个，可列方程为 ．
【答案】
【分析】设乙车间每天生产x个，根据甲车间计划生产500个，乙车间计划生产400个，甲车间每天比乙车间多生产10个，两车间同时开始生产且同时完成任务可列出方程．
【详解】解：设乙车间每天生产x个，则．
故答案为：．
【点睛】本题考查理解题意的能力，关键设出生产个数，以时间作为等量关系列分式方程．
83．甲、乙两同学参加电脑汉字输入比赛，甲比乙每分钟多输入10个汉字，在相同时间内，甲输入900个，乙输入840个，设甲每分钟输入汉字个，可得方程 ．
【答案】.
【分析】依据甲比乙每分钟多输入10个汉字，在相同时间内，甲输入900个，乙输入840个，即可得到方程．
【详解】∵甲输入900个汉字需要的时间为，乙输入840个汉字需要的时间为，
∴可得方程，
故答案为:．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
84．某中学全体同学到距学校15千米的科技馆参观，一部分同学骑自行车先走40分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达科技馆，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求汽车的速度，设汽车的速度是x千米/小时，根据题意列方程 ．
【答案】
【分析】根据汽车的速度是x千米/小时，则自行车的速度是，根据题意，自行车比汽车多走40分钟列方程即可．
【详解】解：根据题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程得应用，读懂题意，找准等量关系是解本题的关键．
二九、2023青岛真题第15
85．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，过原点O，且与x轴交于另一点D，为的切线，为切点，是的直径，则的度数为 ．

【答案】
【分析】先根据点，的坐标得，进而得的半径为1，然后再在中利用锐角三角函数求出，进而得，最后再证为等边三角形即可求出的度数．
【详解】解：点，，
，
过原点，
为的半径，
为的切线，
，，
在中，，，，
，
，
，
又，
三角形为等边三角形，
，
即的度数为．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，切线的性质，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质等，熟练掌握切线的性质，锐角三角函数的定义和等边三角形的判定和性质是解答此题的关键．
三十、变式题15
86．如图，分别以等边三角形的顶点A，B，C为圆心，以长为半径画弧，我们把这三条弧组成的封闭图形就叫做圆弧三角形．若，则圆弧三角形的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，弧长公式，根据弧长公式计算出每段弧的长度，即可求出圆弧三角形的周长．理解题意求出一段弧的长度是解题的关键．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，
∵半径都为的长，
∴这三段弧的长度相等，
∴每段弧的长度为：，
∴圆弧三角形的周长为，
故答案为：．
87．如图 ，在平面直角坐标系中 ，平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A(﹣1，﹣2) ， D(1，1) ，C(5，2) ，则顶点B的坐标为
【答案】
【分析】设点的坐标为，根据平行四边形的对角互相平分，利用中点坐标公式即可求解．
【详解】解：设点的坐标为，
∵平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A(﹣1，﹣2) ， D(1，1) ，C(5，2) ，
∴，
解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
88．如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是（8，0），点C的坐标是（2，6），则点B的坐标是 .

【答案】
【分析】根据平行四边形的性质，结合A点和C点的坐标，就可以写出B点的坐标．
【详解】解：根据平行四边形的性质可得： ，根据已知条件A（8，0）可知OA=8，C（2，6），可知B点的横坐标为2+8=10，B点的纵坐标为6，所以B（10，6）.
故答案为：（10，6）.
【点睛】本题主要考查坐标的表示，再结合考查平行四边形的性质，难度系数较低，但应当熟练掌握．
89．如图，在直角坐标系中，点，，，则 度．

【答案】45
【分析】连接，分别求出，，得到，继而判定是等腰直角三角形，即可得解．
【详解】解：如图，连接，
∵，，，
∴，
，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：45．

【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是根据已知点的坐标求出相应边．
90．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．以点为圆心，以为半径画弧交轴正半轴于点，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查平面直角坐标系中勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和点在坐标系中的表示方法是解题的关键．
首先利用勾股定理求出的长，进而得到的长，因为，所以可求出，即可求出点C的坐标．
【详解】解：∵点A，B的坐标分别为，．
∴，
∴根据勾股定理，得，
∵以点A为圆心，以长为半径画弧，
∴，
∴，
∵交x轴正半轴于点C，
∴点C的坐标为．
故答案为：．
三一、2023青岛真题第16
91．如图，二次函数的图象与正比例函数的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③关于x的方程的两根为，；④．其中正确的是 ．（只填写序号）

【答案】①③
【分析】依据题意，根据所给图象可以得出，，再结合对称轴，同时令，从而由根与系数的关系，逐个判断可以得解．
【详解】解：由图象可得，，，又，
．
．
①正确．
由题意，令，
．
又二次函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，已知点的横坐标为，点的横坐标为2，
的两根之和为，两根之积为．
，．
．
又，
．
．
②错误，③正确．
，，
．
④错误．
故答案为：①③．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
三二、变式题16
92．如图，抛物线与轴交于点，则下列结论中正确的是 ．（填序号）

①； ②； ③； ④．
【答案】②④
【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
由图象可知，，可判断①的正误；当时，，可判断②的正误；由函数图象与轴有两个交点，则有两个不相等的实数根，即，可判断③的正误；将代入得，，可判断④的正误．
【详解】解：由图象可知，，①错误，故不符合要求；
当时，，②正确，故符合要求；
函数图象与轴有两个交点，
∴有两个不相等的实数根，即，③错误，故不符合要求；
将代入得，，④正确，故符合要求；
故答案为：②④．
93．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），点M是以为圆心，2为半径的圆上的动点，连接，N是的中点，连接，则的最大值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了中位线的性质，二次函数的性质，定点到圆上的最大距离，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
由题意可得：，求出的最大值，即可求解．
【详解】解：抛物线与x轴交于A，B两点，
令得：，，
故，，
原点O是的中点，
N是的中点，
，
当最大时有最大值，
当点M、C、B在一条直线上时，取最大值，最大值为：，
的最大值为，
故答案为4．
94．如图，已知正方形的顶点A，C在二次函数第一象限的图象上，当点B在y轴上时，设点A，C的横坐标分别为m，n，且，则m，n满足的等量关系式是 （用含m的式子表示n）．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
依据题意，连接交于点，过点作轴于点，过点作于点，先证明，得，从而，设，则，又，故，则，再结合，进而可以判断得解．
【详解】解：如图，连接交于点，过点作轴于点，过点作于点，
∵四边形是正方形，
∴互相平分，，
∴，
∴．
，
，
∵点的横坐标分别为，
∴．
，
设，则，
，
又，
，
，
，
，
∵点在轴的同侧，且点在点的左侧，
，
，
，
故答案为：．
95．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列论中∶①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为 ．
【答案】①③④
【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子符号，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合思想．将代入，可判断①；根据抛物线的对称轴及增减性可判断②；根据抛物线的顶点坐标可判断③；根据的图象与x轴的交点的位置可判断④．
【详解】解：将代入，可得，
故①正确；
二次函数图象的对称轴为直线，
点到对称轴的距离分别为：4，1，3，
，
图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小，
，
故②错误；
二次函数图象的对称轴为直线，
，
又，
，
，
当时，y取最大值，最大值为，
即二次函数的图象的顶点坐标为，
若m为任意实数，则
故③正确；
二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，
与x轴的另一个交点坐标为，
的图象向上平移一个单位长度，即为的图象，
的图象与x轴的两个交点一个在的左侧，另一个在的右侧，
若方程的两实数根为，且，则，
故④正确；
综上可知，正确的有①③④，
故答案为：①③④
96．如图，抛物线的顶点为D，与x轴交点A，B的横坐标分别为，3，与y轴负半轴交于点C．下面五个结论：①；②；③对任意实数x，；④，是抛物线上两点，若，则；⑤使为等腰三角形的a值可以有3个．其中正确的结论有 （填序号）．
【答案】①③④
【分析】主要考查抛物线的顶点坐标、根与二次函数系数的关系、二次函数图象特点以及等腰三角形的定义．由抛物线与轴的交点坐标判断系数、、之间的关系、二次函数图象的特点，进而对所得结论进行推断．
【详解】解：①抛物线与轴交于、，
，
．
故①正确．
②：由①分析知：，
，，
，
若，即，且，
．
根据题目已有条件，无法推断出，
②无法定论．
③对于任意实数，成立，
即对于任意实数，成立．
令．
，
，
关于实数的二次函数图象开口向下．
若对于任意，，故需判断与0的数量关系．
，，
，
对于任意实数，．
故③正确．
④，
．
，
．
，，，
，，
，
，
．
故④正确．
⑤：经分析，，．
若为等腰三角形，则或．
，，，
，．
当时，则，
（不合题意，舍去）．
当时，则，
（不合题意，舍去）．
综上所述：值有两个．
故⑤不正确．
故答案为①③④．