初中数学北师大版（2024）八年级下册1 等腰三角形教学ppt课件

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等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等 (等边对等角)（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合. (三线合一)
思考：等腰三角形的“等边对等角”的条件和结论分别是什么？
条件：一个三角形是等腰三角形；
结论：相等的两边所对应的角相等.
思考：条件和结论反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？
命题：两个角相等的三角形是等腰三角形
如何证明两条边相等呢？
可以运用全等三角形的性质“对应边相等”来证
思考：如何构造两个全等的三角形？
已知：如图，△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC
证明：过A作AD平分∠BAC交BC于点D ∴ ∠1=∠2
证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形
方法一：作角∠BAC的平分线
证明：过A作AD⊥BC于点D ∴ ∠1=∠2=90°
证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
方法二：过A作BC的高线
思考：作BC的中点D， ∴BD=CD 请问能不能证明命题？
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形
等腰三角形的判定定理
∵在△ABC中，∠B=∠C,
∴AB=AC(等角对等边)
定理简述为：等角对等边
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）.
等腰三角形的判定方法：
定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义法）
例1：已知：如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E. 求证：△AED是等腰三角形.
证明：∵AB=DC，BD=CA，AD=DA,
∴△ABD≌△DCA(SSS),
∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）,
∴AE=DE(等角对等边）,
∴ △AED是等腰三角形.
知识点一：等腰三角形的判定
思考：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗?
在△ABC中, 如果∠B≠∠C，那么AB≠AC.
如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C,此时，AB与AC要么相等，要么不相等.
假设AB=AC, 那么根据“等角对等边”定理可得∠B=∠C, 但已知条件是 ∠B≠∠C.“∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC.
你能理解他的推理过程吗?
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．
用反证法证题的一般步骤：
1. 假设: 先假设命题的结论不成立;2. 归谬: 从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果;3. 结论:由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.
例2：用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.已知：△ABC．求证：∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角．
【分析】按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面“∠A,∠B,∠C中有两个角是直角”成立，然后，从这个假定出发推下去，找出矛盾．
例：用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.已知：△ABC．求证：∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角．
证明：假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°，则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．这与三角形内角和定理矛盾，∠A=∠B=90°不成立．所以一个三角形中不能有两个角是直角．
1．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝3，则AC的长为（　　）
A．2B．3C．4D．5
2．下列条件中能判定△ABC是等腰三角形的是（　　）A．∠A＝30°，∠B＝60°B．∠A＝50°，∠B＝80°C．AB＝AC＝2，CB＝4D．AB＝3，BC＝7，周长为13
3．如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，则图中的等腰三角形共有（　　）个． A．0 B．3 C．1 D．2
4.用反证法证明命题“三个数的和是正数，则这三个数中至少有一个数是正数”的第一步是（ ）A. 假设这三个数都是正数；B. 假设这三个数都是负数C. 假设这三个数中没有一个数是正数；D. 假设这三个数中至少有一个数是负数。
5.用反证法求证：三角形中最多有一个钝角．下列假设正确的是（　　）A．假设三角形中至少有两个钝角B．假设三角形中最多有两个钝角C．假设三角形中最少有一个钝角D．假设三角形中没有钝角
6. 已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和 ∠ACB的平分线相交于点O. 求证：△OBC为等腰三角形.
∴ ∠DBC =∠ECB，
∴ △OBC是等腰三角形.
又∵ △ABC是等腰三角形，
∴ ∠ABC =∠ACB，
7．如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD＝BE，求证：△ABC为等腰三角形．
证明：∵DF⊥AC，∴∠DFA＝∠EFC＝90°．∴∠A+∠D＝90°，∠C+∠CEF=90°，∵BD＝BE，∴∠BED＝∠D．∵∠BED＝∠CEF，∴∠D＝∠CEF．∴∠A＝∠C．∴△ABC为等腰三角形．
8．用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.已知：△ABC求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角小于或等于60°.
证明：假设∠A，∠B，∠C中没有一个内角小于或等于60°.即∠A > 60°，∠B > 60°，∠C > 60°，∴∠A＋∠B＋∠C >180°，这与三角形的内角和等于180°矛盾∴∠A，∠B，∠C中至少有一个内角小于或等于60°.
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）若∠C＝42°，求∠BAD的度数；（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F，试判断△AEF的形状并证明．
（1）解：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°，∴∠C＝42°，∴∠BAD＝∠CAD＝90°﹣42°＝48°．（2）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∴EF∥AC，∴∠F＝∠CAD，∴∠BAD＝∠F，∴AE＝FE，∴△AEF为等腰三角形．
小结：通过本节课的学习，谈谈收获及疑惑
1.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）
2.反证法：先假设结论不成立，然后推导与已知定理相矛盾的结果，从而证明原命题成立.
完成课本P9习题1.3中第1、2、3、4题