八上数学全等三角形的模型专题用于周末托管练习题

这是一份八上数学全等三角形的模型专题用于周末托管练习题，共10页。
全等三角形的模型【角平分线模型】一、角平分线的性质模型辅助线：过点G作GE⊥射线AC1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB的距离是 cm.2、如图，已知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC.3、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A＋∠C＝180°.二、角平分线＋垂线→等腰三角形辅助线：延长ED交射线OB于F辅助线：过点E作EF∥射线OB1、如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F .求证：BE=12(AC−AB).2、如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，且AB＝AD，作CM⊥AD交AD的延长线于M. 求证：AM=12(AB+AC).三、角分线，分两边，对称全等要记全两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B，使OB＝OA，从而使△OAC≌△OBC .1、如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB＋BP＝BQ＋AQ .2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由 .3、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，P是线段AD上任意一点（不与A重合）.求证：AB－AC＞PB－PC .4、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交AC于D，求证：AD＋BD＝BC .5、如图，△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于D，求证：AC＋CD＝AB .【等腰直角三角形模型】一、旋转中心为直角顶点，在斜边上任取一点的旋转全等操作过程：（1）将△ABD逆时针旋转90°，得△ACM ≌ △ABD，从而推出△ADM为等腰直角三角形.（2）辅助线作法：过点C作MC⊥BC，使CM＝BD，连结AM.二、旋转中心为斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等操作过程：连结AD.（1）使BF＝AE（或AF＝CE），导出△BDF ≌ △ADE.（2）使∠EDF＋∠BAC＝180°，导出△BDF ≌ △ADE.1、如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点M、N在斜边BC上滑动，且∠MAN＝45°，试探究 BM、MN、CN之间的数量关系.2、两个全等的含有30°，60°角的直角三角板ADE和ABC，按如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC. 试判断△EMC的形状，并证明你的结论.3、已知，如图所示，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC中点，若M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN＝CM.（1）试判断△OMN的形状，并证明你的结论.（2）当M、N分别在线段AC、AB上移动时，四边形AMON的面积如何变化？4、在正方形ABCD中，BE＝3，EF＝5，DF＝4，求∠BAE＋∠DCF为多少度.三、构造等腰直角三角形（1）利用以上方法都可以构造等腰直角三角形（略）；（2）利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形.（3）将等腰直角三角形补全为正方形，如下图： 1、如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，P为三角形ABC内部一点，满足PB＝PC，AP＝AC，求证：∠BCP＝15°.【手拉手模型】已知：△ABE和△ACF均为等边三角形.结论：（1）△ABF≌△AEC； （2）∠BOE＝∠BAE； （3）OA平分∠EOF .（四点共圆证）拓展：直线AB的同一侧作△ABD和△BCE都为等边三角形，连接AE，CD，二者交点为H.结论：①△ABE≌△DBC；②AE＝DC；③∠DHA＝∠ABD；④△AGB≌△DFB，△EGB≌△CFB；⑤连接GF，GF∥AC；⑥连接HB，HB平分∠AHC；（四点共圆证）⑦△BGF为等边三角形；（A、B、C三点共线且∠ABD=60°时）⑧AH＝DH＋HB，CH＝EH＋HB.（需构造等边三角形证明）【模型应用】1、如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，连接CD，BE，CD，BE相交于点O，判断CD与BE的位置关系，并说明理由．2、如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，D在AB上．(1)求证：△AOC≌△BOD；(2)判断△CAD是什么形状的三角形，说明理由．3、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形，AS⊥BC交FD于T，求证：（1）T为FD中点；（2）S△ABC=S△ADF.变式：四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形，T为FD中点，TA交BC于S，求证：AS⊥BC .4、如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费尔马点．若点M为△ABC的费尔马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图②，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费尔马点．试说明这种作法的依据．5、如图，以△ABC的边AB、AC为边构造正多边形时，总有：∠1=∠2=180°−360°n.【半角模型】已知：正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点，且∠EAF＝45.思路1：旋转辅助线：①延长CB到G，使BG=DF，连接AG.②将△ADF绕点A顺时针旋转90°得△ABG.(注意：旋转需证G、B、E三点共线)结论：①△AGE≌△AFE；②EF＝DF＋BE；③△CEF的周长为正方形ABCD周长的一半.思路2：翻折（对称）辅助线：①作AH⊥EF交EF于点H； ②将△ADF、△ABE分别沿AF、AE翻折，但一定要证明E、H、F三点共线.结论：①△ABE≌△AHE，△AHF≌△ADF；②EF＝BE＋DF；③△CEF的周长为正方形ABCD周长的一半.拓展：正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点，且∠EAF＝45°，将△AEB绕点A为旋转90°到△ADE′，则：EF＝DF－BE.【模型应用】1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN＝BM＋DN.求证：（1）∠MAN＝45°； （2）C△CMN=2AB； （3）AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM .变式：在正方形ABCD中，已知∠MAN＝45°，若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动，AH⊥MN，垂足为H.（1）试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系；（2）求证：AB＝AH.2、在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AB＝AD，若E、F分别为边BC、CD上的点，且满足EF＝BE＋DF，求证：∠EAF=12∠BAD.变式：在四边形ABCD中，∠B＝90°，∠D＝90°，AB＝AD，若E、F分别为边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，求证：EF＝BE＋DF .3、如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB＝2AG；③∠GDE＝45°；④DG＝DE.在以上4个结论中，正确的共有(　　)A. 1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4个4、如图，在正方形ABCD中，AB＝1，E，F分别是边BC，CD上的点，连接EF，AE，AF，过A作AH⊥EF于点H.若EF＝BE＋DF，那么下列结论：①AE平分∠BEF；②FH＝FD；③∠EAF＝45°；④S△EAF＝S△ABE＋S△ADF；⑤△CEF的周长为2.其中正确结论的个数是(　　)A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【一线三垂直模型】已知：AE＝DE，AE⊥DE，∠B＝∠C＝90°.结论：①△ABE≌△ECD；②BC＝AB＋CD.拓展：在正方形ABCD中，∠ABF＝∠C＝90°，AF⊥BE，交于点H.结论：①△ABF≌△BCE；②EC＝AB－FC. 【模型应用】1、如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与B，C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB∶S四边形CBFG＝1∶2；③∠ABC＝∠ABF.其中正确的结论的个数是(　　)A. 1 B. 2 C. 3 D. 02、如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，则下列结论：①∠AME＝90°；②∠BAF＝∠EDB；③MD＝2AM＝4EM.其中正确的结论有(　　)A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个3、如图，ABCD是正方形，G是BC上(除端点外)的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F.给出以下结论：①△AED≌△BFA；②DE－BF＝EF；③△BGF∽△DAE；④DE－BG＝FG.其中正确的有(　　)A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个4、如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E，A，B三点共线，AB＝4，则阴影部分的面积是________． 【倍长中线模型】已知：在△ABC中，AD是BC边中线.思路1：倍长中线辅助线：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE.结论：①△ADC≌△EDB；②AD< 12 (AB＋AC).思路2：作垂直辅助线：作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E，连接BE.结论：①△BDE≌△CDF；②BE∥FC.【模型应用】1、在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF.【对角互补模型】已知：∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.辅助线：过点C作CM⊥AO，CE⊥BO.结论：①△CMD≌△CNE；②CD=CE；③OD+OE=2OC；④S四边形ODCE=OC2的一半.【模型应用】1、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC＝5，OC＝62，则另一直角边BC的长为________． 2、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝________．