第17讲：第三章 一元函数的导数及其应用（测）（提高卷）-备战2024年高考数学一轮复习精讲精练高效测（新教材新高考）

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1．（2022·广东·深圳中学高二期中）已知函数满足，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
由可知，，而，所以，解得，即，所以，因此曲线在点处的切线方程为，即．
故选：A．
2．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
，
令，则或（舍），
因为在区间上不单调，故即，
故选：A.
3．（2022·北京市第十二中学高二阶段练习）定义：如果函数在上存在满足，则称函数是上的“双中值函数”，已知函数是区间上“双中值函数”，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
是上“双中值函数”，所以，故 在上有两个不同的实数根，令，对称轴为，则满足 解得：
故选：C
4．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
的定义域为，
因为，所以在上单调递减，
所以不等式等价于，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：D
5．（2022·河南洛阳·高二阶段练习（理））若曲线与曲线：=有公切线，则实数的最大值为（ ）
A．+B．-C．+D．
【答案】C
设在曲线上的切点为，则切线斜率为，
在曲线上的切点为，切线斜率为，
所以切线方程分别为、，
即、，
有，整理得，
设，则，
令，令，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在上，如图，
由图可知，即k的最大值为.
故选：C.
6．（2022·广西河池·高二阶段练习（理））一般地，对于一元三次函数，若，则为三次函数的对称中心，已知函数图象的对称中心的横坐标为（），且有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
由函数求导得：，则，
由解得，则有，
，当或时，，当时，，
则在，上单调递增，在上单调递减，
因此，当时，取得极大值，当时，取得极小值，
因函数有三个零点，即函数的图象与x轴有三个公共点，由三次函数图象与性质知，，
于是得，解得，
综上得：，
实数a的取值范围是.
故选：A.
7．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知，若不等式恒成立，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
解：因为，不等式恒成立，等价于恒成立，
令，则不等式转化为恒成立，
令，则，显然，当且仅当，即时取等号，
所以当时，即在上单调递增，所以，符合题意；
当时，令，则，
故在上单调递增，所以存在满足，且当时，当时，
所以在上单调递减，此时，与题意矛盾，综上可得；
故选：B
8．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校高二期中）若关于x的不等式（其中），有且只有两个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
由不等式（），令，，
，当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，，且当时，恒有，
函数，表示恒过定点，斜率为的直线，
在同一坐标系内作出函数的图象和直线，如图，
因不等式（）有且只有两个整数解，观察图象知，-1和0是不等式解集中的两个整数，
于是得g(−1)>f(−1)g(−2)≤f(−2)，即2a>−3e3a≤−5e2，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：D
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·山东淄博·高二期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数存在三个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．若时，，则t的最小值为2
D．当时，方程有且只有两个实根
【答案】BD
，令，解得或，
当或时，，故函数在，上单调递减，当时，，故函数在上单调递增，
且函数有极小值，有极大值，当趋近负无穷大时，趋近正无穷大，当趋近正无穷大时，趋近于零，故作函数草图如下，
由图可知，选项BD正确，选项C错误，t的最大值为2．
故选：BD．
10．（2022·广东·模拟预测）已知，若不等式在上恒成立，则a的值可以为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】AD
设，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，∴，
∴．
又在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以对恒成立，即恒成立．
令，当时，，故，
∴，解得或，
所以a的值可以为，，
故选：AD.
11．（2022·辽宁·辽师大附中高二阶段练习）我们常用以下方法求形如的函数的导数：先两边同取自然对数得：，再两边同时求导得到：，于是得到：，运用此方法能使函数单调递增的区间可以是（ ）
A．（，4）B．（1，3）C．（，）D．（，1）
【答案】CD
由题意可得函数的导数为，
令，即，解得，即函数的单调增区间为，
由此可得到选项中的CD符合题意，
故选：CD
12．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知函数，，，则下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．当时，方程有且只有2个不同实根
C．的值域为
D．若对于任意的，都有成立，则
【答案】BD
对于A，当时， ；
当时，，此时递增，
故可作出函数的图象如图示：
由此可知，在上单调递增，故A错误；
对于B, 当时，，当时，，
令，解得 ，即此时有一解；
当时，，故是的一个解；
当时，令，，
即，即，此时无解；
故综合上述，当时，方程有且只有2个不同实根，B正确；
由函数的图象可知，其值域为R,故C错误；
对于D, 对于任意的，都有成立,
则当时，，即恒成立，
即，令，
当时，，当时，，
故，故；
当时，恒成立，
当时，，即恒成立，
令，注意到
当时，，不合题意；
当时，令， ，
当时，，
故，不符合题意
当时，，此时，
故递减，则，
即恒成立，
综合上述，可知当时，对于任意的，都有成立，
故D正确，
故选：BD
三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（文））已知对任意不相等的正数都有恒成立，则实数的取值范围为______．
【答案】
由，不妨设，
由可得，
即，
根据单调性的定义可得在为增函数，
所以在恒成立，
所以在恒成立，
所以，.
故答案为：.
14．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数的导函数为，定义域为，且满足，则不等式恒成立时m的取值范围为__________.
【答案】
由题意，函数的定义域为，
因为，可得，
设，可得，所以函数在上单调递减，
又由，所以，且，
则，解得，即m的取值范围为.
故答案为：.
15．（2022·天津·崇化中学高二期中）已知函数，，，，使不等式成立，则的取值范围是______.
【答案】
因为对，，使不等式成立，所以，
当时，，由，得，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为在上单调递减，所以，
所以，即.
故答案为：.
16．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知函数，（e为自然对数的底数，…），当时，函数在点处的切线方程为____________；若对）成立，则实数a的最大值为____________.
【答案】
由题意当时，，，
则，，
所以函数在点处的切线方程为，即
.
因为，，即，则，
令，，在上恒成立，
故在上单调递减，故，得，即，
记，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，故的最小值是，故，即实数a的最大值是.
故答案为：；.
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2022·山西太原·三模（文））已知函数
(1)若在时取得极小值，求实数k的值；
(2)若过点可以作出函数的两条切线，求证：
【答案】(1)(2)证明见解析
(1)解：
∴，
∴
当时，令，得
∴在单调递减，在单调递增，
所以在时取得极小值，
∴
(2)证明：设切点为，
∴切线为，
又切线过点，
∴
∴，(*)
设
则
∴在单词递减，在单调递增.
∵过点可作的两条切线，
∴方程(*)有两解
∴，
由，得
∴，即.
18．（2022·江西·南城县第二中学高二阶段练习（理））已知函数，当时，的极小值为，当时，有极大值．
(1)求函数；
(2)存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1);(2).
(1)∵，
由，得且，解得，，
又，∴，
经检验，时，满足题意,
∴；
(2)存在，使得，等价于，
∵，
当时，，当时，，
∴在上递减，在上递增，
又，，
∴在上的最小值为，
∴，解得或，
所以的取值范围是．
19．（2022·山东师范大学附中高三期中）设函数
(1)当时，求的单调区间；
(2)任意正实数，当时，试判断与的大小关系并证明
【答案】(1)增区间为，减区间为，
(2)，证明见解析
(1)时，，，
令得；令得或
故的单增区间为，单减区间为，
(2)结论：，证明如下：
设，由 均为正数且得
设，则
①当时，由得即
故单调递减，从而
而，此时成立
②当时，在上单调递减，在上单调递增
故的最小值为
此时只需证，化简后即证
设，
故单调递增，从而有，即证
综上：不等式得证．
20．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（理））已知函数．
(1)若在上仅有一个零点，求实数a的取值范围；
(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)或(2)
(1)解：，，
当时，恒成立，所以在上单调递增．
又，，
所以此时在上仅有一个零点，符合题意；
当时，令，解得；令，解得，
所以在上单调递增，所以在上单调递减．
要使在上仅有一个零点，则必有，解得．
综上，当或时，在上仅有一个零点．
(2)因为，所以对任意的，恒成立，
等价于在上恒成立．
令，则只需即可，
则，
再令，则，
所以在上单调递增．
因为，，所以有唯一的零点，且，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为，所以，
设，则，
所以函数在上单调递增．
因为，所以，即．
所以，
则有．
所以实数a的取值范围为．
21．（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高二期中（理））已知函数．
(1)证明：函数的图象与直线只有一个公共点．
(2)证明：对任意的，．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
(1)要证函数的图象与直线只有一个交点，只需证方程只有一个根，
即证只有一个根，即只有一个根．
令，，则．
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，．
恒成立，当且仅当时，，方程只有一个根，
即函数的图象与直线只有一个公共点．
(2)由（1）知：恒成立，
即恒成立（在时等号成立）．
，，即，
，，，…，
，，
，即．
22．（2022·山东威海·三模）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若有两个极值点，且，从下面两个结论中选一个证明．
①；
②．
【答案】(1)的单增区间为；单减区间为，
(2)证明见解析
(1)，
当时，，
令，解得；令，解得或，
所以的单增区间为；单减区间为，．
(2)证明①：由题意知，是的两根，则，
，
将代入得，，
要证明，
只需证明，
即，
因为，所以，
只需证明，
令，则，只需证明，即，
令，
，
所以在上单调递减，可得，
所以，
综上可知，．
证明②：
设，
因为有两个极值点，所以，
解得，
因为，
所以，
，
由题意可知，
可得代入得，，
令，
，
当，所以在上单调递减，
当，所以在上单调速增，
因为，所以，
由，
可得，所以，
所以，
所以，即．