高考数学一轮复习：9统计与概率-重难点突破2练习（题型归纳与重难专题突破提升）

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（1）设投掷2次骰子，最终得分为，求随机变量的分布与期望；
（2）设最终得分为的概率为，证明：为等比数列，并求数列的通项公式．
【解答】解：（1）的可能取值为2，3，4，
，
，
，
的分布列为：
数学期望．
证明：（2）由题意知，
，
，，
，
是以为首项，为公比的等比数列，
，
当时，
，
当时，上式也成立，
综上：．
某运动员多次对目标进行射击，他第一次射击击中目标的概率为，由于受心理因素的影响，每次击中目标的概率会受前一次是否击中目标而改变，若前一次击中目标，下一次击中目标的概率为；若第一次未击中目标，则下一次击中目标的概率为．
（1）记该运动员第次击中目标的概率为，证明：为等比数列，并求出的通项公式；
（2）若该运动员每击中一次得2分，未击中不得分，总共射击2次，求他总得分的分布列与数学期望．
【解答】解：（1）由题意知，，
整理得，，
又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以．
（2）总得分的所有可能取值为0，2，4，
，
，
，
所以总得分的分布列为
数学期望为．
第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．
（1）扑点球的难度一般比较大．假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数的分布列和期望；
（2）好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住，记第次传球之前球在甲脚下的概率为，易知，．
①证明：为等比数列；
②设第次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小．
【解答】解：（1）的所有可能取值为0，1，2，3，
在一次扑球中，扑到点球的概率，
所以，，，，
所以的分布列如下：
．
（2）证明：①第次传球之前球在甲脚下的概率为，
则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，
第次传球之前球不在甲脚下的概率为，
则，
即，又，
所以是以为首项，公比为的等比数列．
②由①可知，所以，
所以，
故．
深圳中学足球社团是一个受学生欢迎的社团．
（1）现社团招新，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下：踢点球一次，若踢进，则被录取；若没踢进，则继续踢，直到踢进为止，但是每人最多踢点球3次．某同学进行“点球测试”，依据平时的训练数据，获得其单次点球踢进的概率为，该同学每次点球是否踢进相互独立．他在测试中所踢的点球次数记为，求的分布列及数学期望；
（2）社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即．
证明：数列为等比数列：
判断第19次还是第20次触球者是甲的概率大．
【解答】解：（1）由题意，可能取1，2，3，
则，，
，
的分布列为：
即；
（2）证明：第次触球者是甲的概率记为，则当时，第次触球者是甲的概率为，第次触球者不是甲的概率为，
则，
从而，又，
是以为首项，公比为的等比数列；
，
，
，故第19次触球者是甲的概率大．
随着疫情的有效控制，某校学生开始返校复课学习．为了减少学生就餐时的聚集排队时间，学校食堂从复课之日起，每天中午都会提供、两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生第一天选择类套餐的概率为、选择类套餐的概率为．而前一天选择了类套餐第二天选择类套餐的概率为、选择套餐的概率为；前一天选择类套餐第二天选择类套餐的概率为、选择类套餐的概率也是，如此往复．记某同学第天选择类套餐的概率为．
（1）记高三某宿舍的3名同学在复课第二天选择类套餐的人数为，求的分布列并求；
（2）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（3）为了贯彻五育并举的教育方针，培养学生的劳动意识，一个月后学校组织学生利用课余时间参加志愿者服务活动，其中有20位学生负责为全体同学分发套餐．如果你是组长，如何安排分发、套餐的同学的人数呢，说明理由．
【解答】解：（1）第二天选择类套餐的概率，
第二天选择类套餐的概率，
故3人在第二天的有个人选择套餐，则的可能取值为0、1、2、3，
根据，1，2，，
则，
，
，
，
则的分布列为
故．
（2）依题意，，则．
当时，可得，
数列是首项为公比为的等比数列．．
（3）由（1）知：，
，即第30次以后购买套餐的概率约为．
则，，
负责套餐的8人，负责套餐的12人．
安庆市某学校高三年级开学之初增加晚自习，晚饭在校食堂就餐人数增多，为了缓解就餐压力，学校在原有一个餐厅的基础上增加了一个餐厅，分别记做餐厅甲和餐厅乙，经过一周左右统计调研分析：前一天选择餐厅甲就餐第二天选择餐厅甲就餐的概率是、选择餐厅乙就餐的概率为，前一天选择餐厅乙就餐第二天选择餐厅乙就餐的概率是、选择餐厅甲就餐的概率也为，如此往复．假设学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第天选择甲餐厅就餐的概率为．
（1）记某班级的3位同学第二天选择餐厅甲的人数为，求的分布列，并求；
（2）请写出与的递推关系；
（3）求数列的通项公式并帮助学校解决以下问题：为提高学生服务意识和团队合作精神，学校每天从20个班级中每班抽调一名学生志愿者为全体学生提供就餐服务工作，根据上述数据，如何合理分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数？请说明理由．
【解答】解：（1）第二天选择类套餐的概率，
第二天选择类套餐的概率，
记3人在第二天的有个人选择套餐，的所有可能取值为0，1，2，3，
则，
故的分布列为：
故．
（2）依题意，，即．
（3）．
，
当时，可得，
数列是首项为公比为的等比数列．
，即第30次以后购头套餐的概率约为，
负责套餐的8人，负责套餐的12人．
某超市开展购物抽奖送积分活动，每位顾客可以参加次抽奖，每次中奖的概率为，不中奖的概率为，且各次抽奖相互独立．规定第1次抽奖时，若中奖则得10分，否则得5分．第2次抽奖，从以下两个方案中任选一个：
方案①：若中奖则得30分，否则得0分；
方案②：若中奖则获得上一次抽奖得分的两倍，否则得5分．
第3次开始执行第2次抽奖所选方案，直到抽奖结束．
（1）如果，以抽奖的累计积分的期望值为决策依据，顾客甲应该选择哪一个方案？并说明理由．
（2）记顾客甲第次获得的分数为，2，，，并且选择方案②．请直接写出与的递推关系式，并求的值．（精确到参考数据：．
【解答】解：（1）若甲第2次抽奖选方案①，两次抽奖累计积分为，
则的可能取值为40，35，10，5．
，
，
，
，
所以．
若甲第2次抽奖选方案②，两次抽奖累计积分为，
则的可能取值为30，15，10，
则，
因为，所以应选择方案①．
（2）依题意得，的可能取值为10，5，
其分布列为
所以，则，
由，得，
所以为等比数列，其中首项为，公比为．
所以，
故．
2
3
4
0
2
4
0
1
2
3
1
2
3
0.6
0.24
0.16
0
1
2
3
0
1
2
3
10
5