安徽省合肥市重点高中2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题含答案

这是一份安徽省合肥市重点高中2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题含答案，共27页。试卷主要包含了 已知集合，集合，则， “”是“”的， 函数的最小值为等内容，欢迎下载使用。
一．选择题.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. “”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知函数的定义域是，函数，则函数的定义域是（ ）
A B. C. D.
4. 函数的最小值为（ ）
A. 2B. 5C. 6D. 7
5. 若幂函数的图象经过点，则下列判断正确的是（ ）
A. 在上为增函数B. 方程的实根为
C. 的值域为D. 为偶函数
6. 已知定义域为 的奇函数，则的值为（ ）
A. －1B. 0C. 1D. 无法确定
7. 已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数f(x)，对于任意实数，当时，记的最大值为.若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二，多选题
9. 下列各项中，与表示函数相等的是（ ）
A. B.
C D.
10. 当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，，若与B构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（ ）
A. -2B. C. 0D. 1
11. 关于的不等式的解集，下列说法正确的是（ ）
A. 时，解集为B. 时，解集为
C. 时，解集为D. 时，原不等式在时恒成立
12. 若，均为正数，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为9
C. 的最小值为D. 的最大值为4
三、填空题
13. 命题：“”的否定是__________．
14. 已知函数奇函数，当时，，当时，_________.
15. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围为__________.
16. 函数，给出下列四个结论：
①的值域是；
②且，使得；
③任意且，都有；
④规定，其中，则．
其中，所有正确结论序号是______________．
四、计算题
17. 计算．
（1）；
（2）．
18. 设集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
19. （1）解关于的不等式.
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
20. 已知函数（为常数）是定义在上的奇函数，且．
（1）求的解析式；
（2）若存在，使成立，求实数的取值范围．
21. 已知定义域为，对任意都有．当时，，且．
（1）求的值；
（2）判断函数的单调性，并证明；
（3）若对，都有恒成立，求实数的取值范围．
22. 已知集合为非空数集，定义：，
（1）若集合，直接写出集合（无需写计算过程）；
（2）若集合，且，求证：
（3）若集合，记为集合中的元素个数，求的最大值．
2024-2025学年第一学期期中考查
高一数学试题
一．选择题.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先化简集合A、B，再求交集，即可得出结果
详解】由，
或，
所以，
故选：D
2. “”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】解方程，求出方程的根，分别从充分性，必要性两方面验证即可.
【详解】由，得，解得或,
所以时，具有充分性；
而时，或，不具有必要性.
故选：B
3. 已知函数的定义域是，函数，则函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据定义域列出不等式组求解即可.
【详解】函数的定义域是，由，得，且，
函数定义域是，
故选：A.
4. 函数的最小值为（ ）
A. 2B. 5C. 6D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】由基本不等式即可求解.
【详解】由可得，所以，
当且仅当，即时等号成立，
故选:D
5. 若幂函数的图象经过点，则下列判断正确的是（ ）
A. 在上为增函数B. 方程的实根为
C. 的值域为D. 为偶函数
【答案】D
【解析】
【分析】先代点求出幂函数的解析式，然后判断幂函数的性质即可.
【详解】设，代入点可得，所以，
所以，因为，所以，即函数的定义域为，
对于A：因为，所以在上为减函数，错误；
对于B：令，所以，解得，所以方程的实根为，错误；
对于C：因为，所以，所以，所以的值域为，错误；
对于D：因为的定义域为关于原点对称，且，
所以为偶函数，正确.
故选：D
6. 已知定义域为 的奇函数，则的值为（ ）
A. －1B. 0C. 1D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】由奇函数定义域的对称性求得，由奇函数的性质求得，然后求值．
【详解】因为是奇函数，则，，，，
所以，
故，
所以.
故选：B．
7. 已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数和反比例函数的单调性，结合函数单调性的性质进行求解即可.
【详解】二次函数的对称轴为，
因为函数是R上的增函数，
所以有，
故选：D
【点睛】关键点睛：利用增函数的性质结合二次函数和反比例函数的单调性是解题的关键.
8. 已知函数f(x)，对于任意实数，当时，记的最大值为.若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先计算，利用数形结合，画出图像，根据新定义，结合分类讨论的方法，可得结果.
【详解】由题意得：，
∴，，
又，
可得的图象如图所示，
∵，∴区间长度为2，
当时，
所以；
当时，
所以，
∴的取值范围为：.
故选：A
【点睛】本题主要考查对新概念的理解，以及利用数形结合解决分段函数的问题，属中档题.
二，多选题
9. 下列各项中，与表示的函数相等的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据函数的定义，一一判断各选项函数的定义域和对应法则是否相同，即可得到答案.
【详解】对于A，，定义域为R，，定义域为R，
但对应法则与前者不同，故两函数不相等，故A错误；
对于B，由得，故的定义域为，
由得，故的定义域为，
又两者对应法则相同，故两函数相等，故B正确；
对于C, 定义域为R，定义域为，故两函数不相等，故C错误；
对于D，，，两函数相等，故D正确.
故选：BD.
10. 当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，，若与B构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（ ）
A. -2B. C. 0D. 1
【答案】BCD
【解析】
【分析】考虑时，，时，，依次将各个选项中的数据带入，计算集合，再判断和之间的关系得到答案.
【详解】当时，，
当时，，
对选项A：若，，此时，不满足；
对选项B：若，，此时，满足；
对选项C：若，，此时，满足；
对选项D：若，，此时，满足；
故选：BCD.
11. 关于的不等式的解集，下列说法正确的是（ ）
A. 时，解集为B. 时，解集为
C. 时，解集为D. 时，原不等式在时恒成立
【答案】BD
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法判断ABC；利用二次函数的性质判断D.
【详解】时，不等式为，即，解得，解集为，故A错误；
不等式可化为，
当时，，不等式的解集为，
当时，，不等式的解集为，
故B正确，C错误；
令，对称轴为，
当时，，
又时，，
所以，即不等式在时恒成立，故D正确．
故选：BD．
12. 若，均为正数，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为9
C. 的最小值为D. 的最大值为4
【答案】BC
【解析】
【分析】根据基本不等式“1”的妙用与（，）逐项判读即可.
【详解】对于A选项，因为，均为正数，且，所以，所以，
当且仅当，即，时，等号成立，所以A错误；
对于B选项，，
当且仅当，即时，等号成立，所以B正确；
对于C选项，，
当且仅当，即，时，等号成立，所以C正确；
对于D选项，，
当且仅当，即，时，等号成立，
而，均为正数，故等号不成立，所以D错误.
故选：BC
三、填空题
13. 命题：“”否定是__________．
【答案】
【解析】
【分析】由存在量词命题的否定是全称量词命题，写出命题的否定.
【详解】命题：“”的否定是“”.
故答案为：
14. 已知函数是奇函数，当时，，当时，_________.
【答案】
【解析】
【分析】当时，由已知条件求出，结合函数的奇偶性即可求出解析式.
【详解】解：当时，，则，则，
故答案为:.
15. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】分离参数，转化成恒成立问题，再利用单调性求最小值即可.
【详解】不等式对恒成立等价于在恒成立，即，
设，，
则，
因为，所以，，
所以在上为递增函数，
当取得最小值，所以.
故答案为：
16. 函数，给出下列四个结论：
①的值域是；
②且，使得；
③任意且，都有；
④规定，其中，则．
其中，所有正确结论的序号是______________．
【答案】①④
【解析】
【分析】根据绝对值的性质，结合分式型函数的性质、代入法逐一判断即可；
【详解】对于①：因为的定义域为，关于原点对称，
且，可知为奇函数，
当时， ，可知函数在内单调递增，
且，可得，则，
结合为奇函数，可知：当时， 函数在内单调递增，且,
所以值域是，故①正确；
对于②：由①可知： 可知函数是上的增函数，
所以对任意且，均有，故②错误；
对于③：当任意且时，
令，，
，显然，
因此不成立，故③不正确；
对于④：当时， ，
可得，，
，，
以此类推可得，因此，故④正确；
故答案为：①④.
【点睛】关键点点睛：对于分式型函数常利用分离常数法结合单调性的性质分析求解.
四、计算题
17. 计算．
（1）；
（2）．
【答案】（1）112 （2）2
【解析】
【分析】（1）利用分数指数幂运算法则计算出答案；
（2）利用指数运算法则及根式的性质化简即可.
【小问1详解】
原式；
【小问2详解】
原式
.
18. 设集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，写出集合，利用交集的定义可得出集合；
（2）分析可知，分、两种情况讨论，结合可得出关于实数不等式（组），综合可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
解：当时，B=x2≤x≤7，
又因为，则.
【小问2详解】
解：因为，则，
当时，则，解得；
当时，则，解得，
因为，则，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
19. （1）解关于的不等式.
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）分类讨论解含参的不等式即得.
（2）根据给定条件，分离参数，借助恒成立求出的范围.
【详解】（1）不等式化为：，
当时，解得；当时，不等式无解；当时，解得，
所以当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
（2）当时，恒成立，则，
当时，不等式，
依题意，，，而最大值为2，因此，
所以实数的取值范围是.
20. 已知函数（为常数）是定义在上的奇函数，且．
（1）求的解析式；
（2）若存在，使成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）取结合求，并根据奇函数的定义分析证明；
（2）先利用单调性的定义可得在上是增函数，进而可知在上的最值，由存在性问题可知，代入运算求解即可.
【小问1详解】
由是上的奇函数，则，
可得，所以，
又因为，可得，
所以，
因为的定义域为，且，
可知为奇函数成立，
所以.
【小问2详解】
任取，且，
则，
因为，则，
可知，即，
所以在上是增函数，
可得在上的最小值为，
又因为存在，使成立，
则，即，
解得：或，
所以实数的取值范围为或.
21. 已知定义域为，对任意都有．当时，，且．
（1）求的值；
（2）判断函数的单调性，并证明；
（3）若对，都有恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）是上的单调递减函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用赋值法取可得，再令可得；
（2）结合函数满足，且当时，，按照单调性定义证明步骤证明即可；
（3）利用可将不等式化为，即可得，在利用换元法令，结合单调性可得对于，恒成立，即可解得.
【小问1详解】
取，
则，于是，
令，
则，
又，则；
【小问2详解】
是上的单调递减函数．
证明：
任取，
则，
由于当时，，易知，则，
故，
可得是上的单调递减函数．
【小问3详解】
不等式可化为，
也即，
令
于是，都有恒成立，
由于为上的单减函数，则，
都有恒成立，
即成立，即恒成立；
令，它是关于的一次函数，
故只需，解得．
即，
解得
【点睛】方法点睛：在求解不等式恒成立问题时，要充分利用已知条件和函数单调性将不等式转化为求解自变量大小恒成立问题，再结合题意通过合理变形转化解不等式即可求得参数取值范围.
22. 已知集合为非空数集，定义：，
（1）若集合，直接写出集合（无需写计算过程）；
（2）若集合，且，求证：
（3）若集合，记为集合中的元素个数，求的最大值．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）1349
【解析】
【分析】（1）根据题目的定义，直接计算集合S，T即可;
（2）根据集合相等的概念，能证明；
（3）通过假设集合，求出对应的集合S，T，通过，建立不等式关系，求出对应的值即可.
【小问1详解】
，，
集合，集合.
【小问2详解】
，，且，
T中也只包含4个元素，即，
剩下的元素满足，
；
【小问3详解】
设集合满足题意，其中，
则
，
，
，由容斥原理，，
的最小元素为0，最大元素为，，
解得
实际上时满足题意，证明如下：
设，
则，
题意有，即，
m的最小值为675，当m= 675时，集合A中元素最多，
即时满足题意
综上，的最大值为1349.
【点睛】关键点点睛：根据所给定义判断，据此得出，由关系，得出关于不等式，求出最小值即可得解.