山东省济南市重点高中2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题含答案

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2024.11
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，请将答题卡上交.
一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由集合交集的运算定义即可得结果.
【详解】
故选：D
2. 下列各组函数与表示同一函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数的定义逐项判断.
【详解】解：的定义域为R，
，解析式不同，故不是同一函数，故A错误；
B. 的定义域为，两函数定义域不同 ，故B错误；
的定义域为R，故C正确；
的定义域为，故D错误.
故选：C
3. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】通过举反例排除A,C两项，利用不等式的性质进行推理，可以排除D项，证得B项.
【详解】对于A,当时，显然不成立，故A错误；
对于B，由，利用不等式的性质易得，故B正确；
对于C，当时，取，则，故C错误；
对于D，当时，，由不等式的性质，可得，故D错误.
故选：B.
4. 在周长为定值的扇形中，面积最大时扇形的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用半径表示出面积，结合函数知识得结论.
【详解】设扇形半径为，则扇形面积为
，
所以时，取得最大值.
故选：C
5. 命题，，则命题的否定形式是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得到结论．
【详解】命题，，为全称量词命题，
则该命题的否定为：，.
故选：C．
6. 某中学的学生积极参加美育活动，其中有的学生喜欢美术或音乐，的学生喜欢美术，的学生喜欢音乐，则该中学既喜欢美术又喜欢音乐的学生数占该校学生总数的比例为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的交集的定义求解.
【详解】由题意既喜欢美术又喜欢音乐的学生数占该校学生总数的比例为：，
故选：A
7. “函数在上单调递减”是“”（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用幂函数及复合函数的单调性结合充分、必要条件的定义判定即可.
【详解】先判定充分性，若在上单调递减，
由幂函数及复合函数的单调性可知，则，满足充分性；
再判定必要性，可举反例，若，则单调递减，
此时的定义域为，
此时在上单调递减，不满足必要性，
综上“函数在上单调递减”是“”的充分不必要条件.
故选：B
8. 用表示，中的最大者，用表示，中的最小者，若函数在上有最大值，则（ ）
A. 是奇函数B. 在上最大值是2
C. 的值域是D. 的取值范围是
【答案】D
【解析】
【分析】在同一坐标系中作出函数的图象，进而得到函数hx的图象，利用图象分别判断四个选项即可.
【详解】hx定义域，
在同一坐标系中分别作出函数的图象，取与的图象中较高的曲线段，再与的图象对比取较低的曲线段，得到函数hx的图象，如图所示，
因为图象不关于坐标原点对称，所以hx不是奇函数，故A错误；
因为hx在上有最大值，所以，故D正确，且hx在上最大值是1，故B错误；由图象知hx的值域是，故C错误；
故选：D.
【点睛】方法点睛：在研究函数和函数的性质时，通常先画出函数图象，利用数形结合分析函数性质.
二、多项选择题：本大题共3小题.每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错的得0分.
9. 下列函数既是偶函数又在上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据偶函数定义和单调性概念判断即可.
【详解】因为函数的定义域是，所以函数无奇偶性；
函数的定义域是，又，
所以函数为奇函数；
函数的定义域为，且，
所以函数为偶函数，
又因为时，在上单调递增；
函数的定义域为，且，
所以函数为偶函数，在上单调递增.
故选：BC.
10. 定义，则（ ）
A.
B.
C.
D. 若，都是正数，，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据新定义进行去体验判断AC，用新定义转化为结合二次函数性质判断B，用新定义转化后，利用基本不等式判断D.
详解】选项A，，只有时，两者才相等，A错；
选项B，，当且仅当时等号成立，B正确；
选项C，，
，C错；
选项D，，则，
又，
所以，当且仅当，即时等号成立，D正确.
故选：BD
【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是利用新定义把问题进行转化，一是直接利用新定义进行运算，二是进行转化转化为函数知识求解，转化为基本不等式问题求解等.
11. 定义域为R的函数，同时满足： ①当时，；②，当时，；③.则（ ）
A. 是奇函数
B. 在1,2上单调递减
C. 函数y=fx的图像关于点1,0中心对称
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，结合函数的单调性、奇偶性、对称性，依次分析选项是否正确，即可得答案．
【详解】对于A，因为的定义域为R，且当时有，
即，所以是奇函数，故A正确；
对于B、C，因为，所以关于对称，故C错误，
因为对，当即时，，
即，结合奇函数的性质可得，
所以当时，为增函数，结合关于对称的条件可知，
当时，为减函数，故B正确；
对于D，结合①，令可得，所以，
因为关于对称，所以，
结合③，因为，令可得
结合奇偶性可得，所以，
所以，解得，
所以，即，故D正确，
故选：ABD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，则实数的取值集合为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用集合间基本关系及集合元素的互异性计算即可.
【详解】因为，所以，则，
所以实数的取值集合为.
故答案为：
13. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，.则当时，函数的解析式为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据奇函数的定义求解.
【详解】时，，，
所以.
故答案为：.
14. 已知，，，，，，，是在集合中的不同数，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】记，根据条件将所求式子表示为，先分析的可行性，然后确定出最小值即可.
【详解】不妨设，
因为，
所以，
所以，
若要值最小，则，
下面分析的可能性：
当时，则四个数全为偶数，或全为奇数，或两奇两偶，
若四个数全为偶数，则和的结果为，不满足要求；
若四个数全为奇数，则和的结果为，不满足要求；
若四个数两奇两偶，其中两个奇数之和可能 ，两个偶数之和可能为，
此时两奇两偶的四个数之和不可能等于，
所以不成立，
所以当时，此时取值最小，最小值为，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个，一方面是对所给表达式能利用已知关系进行化简变形，将双变量转化为单变量；另一方面是对于二次函数取最小值的可行性分析，此处无法直接确定成立.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）或.
（2）
【解析】
【分析】（1）确定集合，由交集、补集运算即可；
（2）由条件确定，构造不等式组求解即可.
【小问1详解】
由可得：A=x2≤x≤3，
所以或，
又，
所以或.
【小问2详解】
因为“”是“”的充分不必要条件，
所以，
所以解得：，
所以实数的取值范围是
16. 若关于的不等式的解集是.
（1）求，；
（2）求不等式的解集.
【答案】（1），.
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可知，为方程的两根，且，由根与系数的关系即可求出答案.
（2）将的值代入不等式，解不等式即可.
【小问1详解】
由题意可知，为方程的两根，且，
所以，解得：.
【小问2详解】
由（1）可得不等式为，
所以，
因为，所以，解得：.
所以不等式的解集为：.
17. 如图，居民小区要建一座八边形休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为.设总造价为（单位：元），长为（单位：m）

（1）请用表示的长；
（2）请写出关于的函数关系式；
（3）若总造价不超过138000元，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）设，根据十字形地域的面积得出的关系式，即可求解；
（2）由（1）可求得，从而可求出各个图形的的面积，将花坛、地坪、草坪的各个区域造价相加，求得总造价，即可求解；.
（3）根据不等式求解可求得的取值范围.
【小问1详解】
设，因为两个相同的矩形和构成的面积为，
所以可得，解之可得，且
所以
【小问2详解】
由（1）知，所以
矩形的面积为
正方形为，
所以
.
【小问3详解】
由（2）知，
若总造价不超过138000元，即
化简可得，即，
解之可得，所以的取值范围.
18. 已知函数，.
（1）若，试判断的单调性并用定义法证明；
（2）若，求函数的最大值的表达式.
【答案】（1）在区间上单调递增；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用定义法证明函数单调性；
（2）先化简函数，再利用单调性分别求在区间和上的最大值，取较大者即可.由于在区间上单调递增，在区间上单调递减，需对区间中的分类讨论.
【小问1详解】
在区间上单调递增，证明如下：
若，因为，所以，
，且，
有.
因为，且，所以，.
于是，即.
故在区间上单调递增；
【小问2详解】
若，则，
先判断在上的单调性，
由于，
当，且时，，，所以，
即，故在区间上单调递增；
当，且时，，，所以，
即，故在区间上单调递减；
综上，在区间上单调递增，在区间上单调递减.
①当时，由（1）知，在区间上单调递增，所以；
②当时，
（i）若，则在上单调递增，所以，
所以函数的最大值；
（ii）若，则在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以函数的最大值；
（iii）若，则在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以函数的最大值；
综上.
19. 定义：表示实数到与它最近整数的距离.
（1）求，，的值；
（2）求证：；
（3）给定正整数，函数，用表示，中的最小者.
（ⅰ）若为奇数，求证：的最大值为；
（ⅱ）若为偶数，求的最大值.
【答案】（1）;;.
（2）证明见解析 （3）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）.
【解析】
【分析】（1）对于第一问，根据的定义，直接计算实数到与其最近整数的距离.
（2）第二问要证明，需要根据整数与的关系，结合定义来证明.
（3）第三问中，对于为奇数和偶数的情况分别讨论的最大值.需要分析和的取值情况，根据的定义来求解.
【小问1详解】
对于，到最近整数的距离为，所以.
对于，到最近整数的距离为，所以.
对于，到最近整数的距离为，所以.
【小问2详解】
设，其中，.
当时，.
如果，则；如果，则.
对于，如果，到最近整数的距离为，
即；
如果，到最近整数的距离为，
即.所以成立.
【小问3详解】
由（2）可知；则可取即可.
（ⅰ）若为奇数，则，
令，则，
可得，，所以；
考虑的定义，取和中的较小值，
显然对任意，，则，可得；
综上所述：的最大值为；
（ⅱ）不妨取，，，.
猜想最大值为.
不妨取，，，.
猜想最大值为.
继续猜想当r为偶数时，最大值为.
当r为偶数时，为正整数，
注意到.
下证
假设存在，使得.则
从而
又，且.则
与矛盾，因此假设不成立.
则当r为偶数时，最大值为.