2023~2024学年山东省济南市高新区九年级(上)期末数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省济南市高新区九年级(上)期末数学试卷(解析版)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图所示几何体的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：左视图为：
故选D．
2. 如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由图得，，
∵，
∴，
故选：B．
3. 某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ）
A. 0.95B. 0.90C. 0.85D. 0.80
【答案】B
【解析】解：这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.90．
故选：B．
4. 如图，正方形与正方形位似，点O为位似中心，位似比为，若点A的坐标为，则点E的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵正方形与正方形位似，点O为位似中心，相似比为，
∴，
∵点A的坐标为），
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴点E的坐标是．
故选：D．
5. 下列各点，一定在反比例函数图像上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：A、当时，，点不在反比例函数图像上，选项说法错误，不符合题意；
B、当时，，点在反比例函数图像上，选项说法正确，符合题意；
C、当时，，点不在反比例函数图像上，选项说法错误，不符合题意；
D、当时，，点不在反比例函数图像上，选项说法错误，不符合题意；
故选：B.
6. 如图，点A、B、C在上，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵，，
∴，
故选：C．
7. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵ ，
抛物线的顶点坐标是
故选：D．
8. 某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】C
【解析】解：根据题意，可知的值即为该校的优秀人数，
∵描述乙、丁两学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴乙、丁两学校优秀人数相同，
∵点丙在反比例函数图象上面，点甲在反比例函数图象下面，
∴丙学校的的值最大，即优秀人数最多，即优秀人数最少，
故选：C．
9. 如图，在正方形中，点是上一点，且，连接交对角线于点，过点作交的延长线于点，若，则的长度为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：过点作，交延长线于，
∴，

在正方形中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，，
∴，
∴，
∵是正方形对角线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在正方形中，，
则，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选：D．
10. 如图，抛物线的对称轴是，则下列五个结论：①；②；③ ；④；⑤其中正确结论的个数是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】A
【解析】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，故①正确；
∵图象开口向下，
∴，
∵图象交轴于正半轴，
∴，
∵对称轴是直线，
，
∴，
∴，
∴，故②错误；
∵，
∴，故③正确；
根据图像可知关于对称的点为，
故图象与轴交点在和之间，且开口向下，
∴时， ，故④正确；
由图象知:时， ，
∵，
∴，即，故⑤正确；
∴共个正确，
故选:.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
11. 若锐角α满足sinα=，则∠α的度数是_____．
【答案】30°
【解析】解：由锐角α满足sinα=，
则∠α的度数是30°．
故答案为30°．
12. 袋中有红、黄、蓝3球，从中摸出一个，放回，再摸一次，摸到一黄一蓝的概率是______.
【答案】
【解析】解：两次摸得颜色共有如下情况：
共9种情况，其中一黄一蓝共有2种情况，故摸到一黄一蓝的概率是．
故答案为．
13. 如图，A是反比例函数的图象上一点，若的面积为2，则k的值为 _____．
【答案】4
【解析】解：根据题意可知：，
又∵反比例函数的图象位于第一、三象限，
∴．
故答案为：4．
14. 如图，正方形的边长为2，连接，以长为半径画弧，交于E、F两点，则图中阴影部分的面积为__．

【答案】
【解析】解： 是边长为2的正方形，
，
是正方形对角线，
又阴影部分是以长为半径画弧，
分别以B为圆心的阴影部分的面积为：，
第一部分阴影部分的面积为，
两个阴影部分的面积相等，
图中阴影部分的面积为．
故答案为：．
15. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系（如图），发现铅球与地面的高度和运动员出手点的水平距离之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是________m．
【答案】10
【解析】
当时，得：
，
解得：，（舍去）
即铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是
故答案为：10
16. 如图所示，将矩形分别沿，，翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上，若，则_______________．
【答案】
【解析】四边形是矩形，
，，
将矩形分别沿，翻折后点A，点C都落在点H上，
∴， ， ，，
，
，
，
，
，
，
即，
解得或（舍去），
同理可得，
，
即，
解得，
即．
故答案为：．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 计算：
解：原式
．
18. 已知二次函数．
用配方法将其化为的形式；
在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象．

解：
=
=
，
顶点坐标为，对称轴方程为．
函数二次函数的开口向上，顶点坐标为，与x轴的交点为，，
其图象为：

故答案为（1）；（2）见解析.
19. 如图，在中，，点P为边上一动点（不与点B，C重合），过点P作射线交于点M，，．
（1）求证：；
（2）当时，求的值．
解：（1）证明：，
．
，
，
．
（2）解：，，
．
，
，
，
．
20. 如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔海里的A处，台风将在7小时后袭来，他计划沿正北方向航行，若船只移动速度20km/h，问轮船能否在台风到来前赶到避风港B处？（参考数据：，）
解：过点P作于C，
在中，，
∴，
，
在中，，
∴，
∴，
∵轮船的航速是每小时海里，
∴（小时），
∴轮船能在台风到来前赶到避风港B处．
21. 初中学业水平考试中理化科目更重视对学生独立思考、创新能力、分析和解决问题能力的考查．某校为培养学生动手和解决问题的能力，在期末考试中增设实验考试，规定每位学生必须在“A．测量物体运动的速度，B．用电流表和电压表测量电阻，C．粗盐中难溶性杂质的去除，D．溶液酸碱性的检验”四个实验中抽取两个实验完成．
（1）若小明从中任意抽取一个实验，求小明抽到实验D的概率；
（2）若小明从中任意抽取两个实验，请用列表或画树状图（树状图也称树形图）中的一种方法，求小明抽到的两个实验均为化学实验的概率．
解：（1）由题意可得，
小明从中任意抽取一个实验，小明抽到实验D的概率为；
（2）方法一，根据题意列表如下：
由上表可以看出，所有等可能出现的结果共有12种，其中小明抽到的两个实验均为化学实验的结果有2种．
∴小明抽到的两个实验均为化学实验的概率为，．
答：小明抽到的两个实验均为化学实验的概率为．
方法二，画树状图如下：
由上图可以看出，所有等可能出现的结果共有12种，其中小明抽到的两个实验均为化学实验的结果有2种．
∴小明抽到的两个实验均为化学实验的概率为，．
答：小明抽到的两个实验均为化学实验的概率为．
22. 独轮车（图1）俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，北宋时正式出现独轮车名称，在北方，以的边为直径作，交于点P，是的切线且，垂足为点D．

（1）求证：；
（2）若，求的半径．
解：（1）证明：连接，如图，

是的切线，
，
，
，
，
，
，
；
（2）连接，如图，

在中，
，
，
为直径，
，
，，
，
，
∴，即，
解得，
，
，
的半径为5．
23. 在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线，如图2所示，已知墙与等高，且、之间的水平距离为8米．

（1）如图2，两墙、的高度是 米，抛物线的顶点坐标为 ；
（2）为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离．
解：（1）由题意得，抛物线的对称轴为，
则，
解得：，
∴抛物线的表达式为，
∴点，
当时，，
故答案为：3；
（2）设抛物线的表达式为，
将点A的坐标代入上式得，
解得，
∴抛物线的表达式为，
当时，（米），
∴点M到地面的距离为2.25米．
24. 如图，已知是一次函数的图像与反比例函数

（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？直接写出点P的坐标．
解：（1）∵点A的坐标为在反比例函数，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
（2）∵点B的坐标为也在上，
∴，
∵A的坐标为都在一次函数的图像上
，解得，
∴一次函数的解析式为；
∵如图：直线与x轴交于点C，，

∴，
∴，
∵A的坐标为，
∴；
（3）当点P在x轴上，
设点，
①如图2：若时，

∵A的坐标为，
∴点P的坐标为
如图3，当时，

∴，，
∵是直角三角形，
∴，即，解得，
∴点P的坐标为；
当点P在y轴上时，
设点，
如图4：若时，

∵A的坐标为，
∴点P的坐标为；
如图5：当时，

∴，
∵是直角三角形，
∴，即，解得，
∴点P的坐标为；
综上可得点P的坐标为或或或．
25. 如图，直线与x轴，y轴分别交于点，过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当时，在抛物线上存在点E，使的面积有最大值，求点E坐标
（3）连接，点N在x轴上，是否存在以B，P，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）将点代入得：
，解得：，
∴，
∴．
（2）如图1：在抛物线上取点E，连接，过E作x轴的垂线交直线于点F，
设点，则点E的坐标为
∴，
∴，
∴当时，的面积有最大值，
此时，点E的坐标为．
（3）存在以B，P，N为顶点的三角形与相似，
如图2：连接，
设，
当时，，解得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
①当时，，
∴，解得，所以点N的坐标为；
②当时，，
∴，解得，所以点N的坐标为．
综上所述，点N的坐标为或．
26. 如图1，在中，，，，点，分别为边，的中点，连接，将绕点逆时针旋转．
（1）如图1，当时，__________，，所在直线相交所成的较小夹角的度数为_________．
（2）将绕点逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）当绕点逆时针旋转过程中，
①请直接写出的最大值；
②当，，三点共线时，请直接写出线段的长．
解：（1）在RtABC中，AC=2，
∴∠ACB=60°，
∴∠ABC=30°，
∴BC=2AC=4，
∵点A1为边AC的中点，
∴AA1=A1C=AC=1，
∵点A1，B1为边AC，BC的中点，
∴A1B1是ABC的中位线，
∴A1B1AB，
∴∠B1A1C=∠BAC=90°，∠A1B1C=∠ABC=30°，
在RtA1B1C中，
B1C=2A1C=2，
∴BB1=BC-B1C=4-2=2，
∴=2，
∵∠ACB=60°，
∴BB1，AA1所在直线相交所成的较小夹角为∠ACB=60°，
故答案为：2，60°；
（2）（1）中结论仍然成立，
证明：延长AA1，BB1相交于点D，如图2，
由旋转知，∠ACA1=∠BCB1，
A1C=1，B1C=2，
∵AC=2，BC=4，
∴=2，=2，
∴=，
∴ACA1∽BCB1，
∴==2，∠CAA1=∠CBB1，
∴∠ABD+∠BAD
=∠ABC+∠CBB1+∠BAC-∠CAA1
=∠ABC+∠BAC
=30°+90°
=120°，
∴∠D=180°-（∠ABD+∠BAD）=60°；
（3）①由题意，得
AC=2，AB=2，CA1=1，
当点A1落在AC的延长线上时，ABA1的面积最大，
最大值=×2×3=3；
②在图1中，在RtA1B1C中，
B1C=A1C=，
∵A1，B1，B三点共线，
当点B1在BA1的延长线上时，如图3，
∴∠BA1C=∠BA1C=90°，
在RtA1BC中，
A1B=
=
=，
∴BB1=A1B+A1B1
=+；
当点B1在线段A1B上时，如图4，
同①的方法，得A1B=，
∴BB1=A1B-A1B1
=-，
故：线段BB1的长为+或-．
红
黄
蓝
红
红红
黄红
蓝红
黄
红黄
黄黄
蓝黄
蓝
红蓝
黄蓝
蓝蓝
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）