山东省济南市高新区2022-2023学年八年级（上）期中数学试卷(解析版)

2022-2023学年山东省济南市高新区八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    在，．，，，，中，无理数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2.    小明的钱包原有元，他在新年一周里抢红包，钱包里的钱随着时间的变化而变化，在上述过程中，因变量是(    )

A. 时间 B. 小明 C. 元 D. 钱包里的钱

3.    点关于轴的对称点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    下列各式正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.    已知直线过点和点，则和的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

6.    若是关于、的方程的一个解，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7.    若函数为常数，且中，随的增大而增大，则其图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

8.    若，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

9.    如图，数轴上点、、分别对应、、，过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点对应的数是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 甲、乙两车从地匀速驶向地，甲车比乙车早出发小时，并且甲车图中休息了小时后仍以原速度驶向地，如图是甲、乙两车行驶的路程千米与行驶的时间小时之间的函数图象．下列说法：
    ，；
    甲车的速度是千米小时，乙车的速度是千米小时；
    当甲车距离地千米时，甲车所用的时间为小时；
    当两车相距千米时，则乙车行驶了或小时，
    其中正确的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 若表示教室里第列第排的位置，则教室里第列第排的位置表示为______．
12. 的算术平方根是______ ．
13. 如图，一次函数与一次函数的图象交于，则关于的方程的解是______．

14. 若最简二次根式与是同类根式，则______．
15. 有一个数值转换器，流程如图：
    
    当输入的值为时，输出的值是______．
16. 平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，其中为常数，则称点是点的级派生点，例如点的级派生点是，即如图点是点的级派生点，点在轴正半轴上，且，则点的坐标为______．

三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算：
    ；
    ．
18. 本小题分
    解下列方程组：
    ；
    ．
19. 本小题分
    已知实数，，满足：．
    ______；______；______；
    求的平方根．
20. 本小题分
    在平面直角坐标系中的位置如图所示每个小正方形的边长为．
    作出关于轴对称的；
    直接写出点的坐标；
    若是内部一点，点关于轴对称点为，且，求点的坐标．

21. 本小题分
    某游泳馆夏季开展宣传营销活动，设计了以下两种套餐活动：
    套餐一：每次收费元，不收其他费用；
    套餐二：交元购买会员卡后，每次游泳收费元．
    设小明游泳次数为次，按照套餐一所需费用为元，按照套餐二所需费用为元，两种函数图象如图所示．
    求函数和关于的表达式，并直接写出的值．
    若小明暑假期间准备游泳次，请你告诉他选择哪个套餐所需要的费用较少，并说明理由．

22. 本小题分
    已知，．
    对，进行化简；
    求的值．
23. 本小题分
    阅读下列材料：
    小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令，．
    原方程组化为，
    解得，
    把代入，，
    得，
    解得．
    原方程组的解为．
    请你参考小明同学的做法解方程组：
    ；
    ．
24. 本小题分
    某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过吨，按每吨元收费．如果超过吨，未超过的部分按每吨元收．超过的部分按每吨元收费．
    若该城市某户月份用水吨，该户月份水费是多少？
    设某户某月用水量为吨，应缴水费为元，写出关于的函数关系式．
    某用户月份水费为元，求该用户月份用水量．
25. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点，，与函数的图象交于点．
    求和的值；
    函数的图象与轴交于点，点从点出发沿方向，以每秒个单位长度匀速运动到点到停止运动设点的运动时间为秒．
    当的面积为时，求的值；
    在点运动过程中，是否存在的值，使为直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．

26. 本小题分
    已知函数的图象与轴、轴分别交于点，，与函数的图象交于点在轴上有一动点，过点作轴的垂线，分别交函数和的图象于点，．
    求直线的函数关系式及点的坐标；
    设点，若，求的值及点的坐标；
    在轴上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
故在，．，，，，中，无理数有，，共个．
故选：．
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

2.【答案】 

【解析】解：钱包里的钱随着时间的变化而变化，
因变量是钱包里的钱，
故选：．
根据钱包里的钱随着时间的变化而变化即可得到因变量是钱包里的钱，从而得到答案．
本题考查了常量和变量，掌握主动发生变化的量是自变量，随着自变量变化而发生变化的量是因变量是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：点关于轴对称点的坐标为：．
故选：．
利用关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点关于轴的对称点的坐标是，得出即可．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，，，
故选：．
根据算术平方根、立方根的定义解答即可．
本题考查了算术平方根、立方根的定义．解题的关键是熟练掌握算术平方根、立方根的定义．
 

5.【答案】 

【解析】解：是的一次函数，且，随的增大而减小，且

故选：．
是的一次函数，且，随的增大而减小，据此判断即可．
本题考查的是一次函数上点的坐标特征和性质，掌握一次函数的性质是关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：关于、的方程的一个解，
，
解得：．
故选：．
首先把代入关于、的方程，然后根据解一元一次方程的方法，求出的值即可．
此题主要考查了二元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为．
 

7.【答案】 

【解析】解：一次函数，随增大而增大，
，
此函数的图象经过一、二、三象限．
故选：．
根据题意判断出函数的图象所经过的象限即可得出结论．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数中，，时，函数图象经过一、二、三象限是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
．
得，，
即，
故选：．
根据绝对值、偶次幂的非负性得出方程组求解即可．
本题考查绝对值、偶次幂的非负性，掌握绝对值、偶次幂的非负性是解决问题的前提，求解与一元一次方程组是正确解答的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据数轴可知：，，
由勾股定理得：，
所以，
，
，
故选：．
根据数轴求出和，根据勾股定理求出，求出即可．
本题考查了数轴和实数、勾股定理等知识点，能求出长是解此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是结合图形找出点的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，观察图形找出点的坐标，再根据各数量之间的关系即可求出结论．
观察图象找出点，根据“速度路程行驶时间”可以算出甲车的速度，再结合甲车中途休息半个小时即可得出、的值；
根据点，利用“速度路程行驶时间”可以算出乙车的速度；
根据“时间路程速度”可算出甲车距离地千米时行驶的时间，加上休息的小时即可得出结论；
根据点，结合两车速度差即可算出当两车相距千米时，甲车行驶的时间，再根据甲车比乙车早出发小时可得出乙车行驶时间．
对比给定的说法即可得出结论．
【解答】
解：甲车途中休息了小时，
，
甲车的速度为：千米小时．
．
成立；
乙车的速度为：千米时，
甲车的速度是千米小时，乙车的速度是千米小时，成立；
当甲车距离地千米时，甲车所用的时间为：小时，
成立；
两车相遇时时间为时，且甲车速度为千米时，乙车速度为千米时，
当两车相距千米时，甲车行驶的时间为：小时或小时，
又甲车比乙车早出发小时，
当两车相距千米时，则乙车行驶了或小时，不正确．
综上可知：正确的结论有．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：表示教室里第列第排的位置，则教室里第列第排的位置表示为．
故答案为：．
理清有序实数对与教室座位的对应关系，据此说明其它实数对表示的意义．
本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解两个数的实际意义是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：的算术平方根是：．
故答案为：．
直接利用算术平方根的定义计算得出答案．
此题主要考查了算术平方根，正确掌握相关定义是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：一次函数与一次函数的图象交于点，
则关于的方程的解是，
故答案为：．
根据一次函数图象即可确定方程的解．
本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数图象是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：最简二次根式与是同类根式，
，
，
解得：，．
．
故答案为：．
结合同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可．
本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
 

15.【答案】 

【解析】解：当输入的值为时，，
则，
故的算术平方根为：．
故答案为：．
直接利用已知运算顺序计算得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确掌握相关定义是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由点是点的级派生点得，
解得，
，
设，
，
，
解得或舍去，
．
故答案为：．
根据级派生点的定义可求解点坐标，设根据可求解值，即可求得点坐标．
本题主要考查坐标与图形的性质，三角形的面积，求解点坐标是解题的关键．
 

17.【答案】解：

；



． 

【解析】先化简，再算加减即可；
利用平方差公式进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

18.【答案】解：，
，
，
；
，
把代入，得，
解得，
把代入，得
故原方程组的解为． 

【解析】根据立方根的定义求解即可；
把代入方程，可消去未知数，求出未知数，然后求出即可．
本题考查了立方根以及解二元一次方程组，掌握立方根的定义以及消元的方法是解答本题的关键．
 

19.【答案】     

【解析】解：由题意得，，．
．
．
，，
，．
，．
故答案为：；；．
由得，，，．
．
的平方根是．
根据二次根式有意义的条件求得，再根据绝对值以及算术平方根的非负性求得与．
将中、与的值代入，再求得的平方根．
本题主要考查二次根式、绝对值、算术平方根、平方根，熟练掌握二次根式有意义的条件、绝对值的非负性、算术平方根的非负性、平方根的定义是解决本题的关键．
 

20.【答案】解：如图，即为所求；

点的坐标为；
点关于轴对称点为，
，
，
，
，
点的坐标为． 

【解析】根据轴对称的性质即可作出关于轴对称的；
结合即可写出点的坐标；
根据点关于轴对称点为，且，即可求点的坐标．
本题考查了作图轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
 

21.【答案】解：由题意可得，
函数关于的函数解析式为；
设函数关于的函数解析式为，
点，在该函数图象上，
，
解得，
即函数关于的函数解析式为，
的值为；
当时，套餐一所需的费用较少，当时，套餐二所需的费用较少．
理由：令，
解得，
当时，套餐一所需的费用较少，当时，套餐二所需的费用较少． 

【解析】根据题意和函数图象中的数据，可以计算出函数和关于的表达式，并写出的值；
先计算两者相等的情况，然后观察图象，即可写出选择哪个套餐所需要的费用较少．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】解：，
；
，，
，，
． 

【解析】利用分母有理化即可；
先计算出，，再根据完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．灵活运用整体代入的方法可简化计算．
 

23.【答案】解：令，，
原方程组化为，
解得，
把代入，，
得，
解得，，
原方程组的解为；
令，，
原方程组化为，
解得，
将代入，，
得，
解得，
原方程组的解为． 

【解析】令，，原方程组化为，解出和的值代入，，即可求出和的值；
令，，原方程组化为，解出和的值代入，，即可求出和的值．
本题考查了解二元一次方程组，换元法，理解给定的例题并灵活运用换元法是解题的关键．
 

24.【答案】解：根据题意：该户用水吨，按每吨元收费，
元，
答：该户月份水费是元；
设某户某月用水量为吨，超出吨的水量为吨，
则该户吨的按每吨元收费，吨按每吨元收费，
应缴水费，
整理后得：，
答：关于的函数关系式为；
若用水量为吨，则收费为：元，
元元，
该用户用水超过吨，
，解得，
该用户月份用水量为吨． 

【解析】每户每月用水量如果未超过吨，按每吨元收费，而该城市某户月份用水吨，未超过吨，根据水费每吨水的价格用水量，即可得出答案；
如果超过吨，未超过的部分按每吨元收费，超过的部分按每吨元收费，设某户某月用水量为吨，那么超出吨的水量为吨，根据水费每吨水的价格用水量，即可得出答案；
根据题意可知，该用户用水超过吨，所以，解得，由此可得结论．
本题考查的是一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题的关键．
 

25.【答案】解：点在直线上，
，
点，
函数的图象过点，
，得，
即的值是，的值是；
函数的图象与轴，轴分别交于点，，
点，点，
函数的图象与轴交于点，
点的坐标为，
，
的面积为，
，
解得，．
即当的面积为时，的值是；
当或时，是直角三角形，
理由：当时，，
点，点，点，点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
解得，；
当时，
，，
，
，
，
解得，；
由上可得，当或时，是直角三角形． 

【解析】根据点在直线上，可以求得的值，从而可以得到点的坐标，再根据点在函数的图象上，可以得到的值；
根据中的结果可以求得点、点、点、点的坐标，然后用含的代数式表示出的长度，然后根据的面积为，即可得到的值；
先写出使得为直角三角形时的值，然后利用分类讨论的方法分别求得当和对应的的值即可解答本题．
本题是一道一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、动点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答．
 

26.【答案】解：把点代入中，可得：，
解得：，
所以直线的函数关系式是，
把代入得，
点坐标为；

把代入得，
点坐标为，
，
，
，
轴，点，
点坐标为，点坐标为，
，
或，
当时，；
当时，；
点的坐标为或；

设点，
点．
，
，，
时，，
，
，
点的坐标为或；
时，，
，
，
点的坐标为；
时，，
，
或舍去，
点的坐标为；
综上，存在，点的坐标为或或或． 

【解析】把点代入解答即可；
先确定点坐标为，则，，再表示出点坐标为，点坐标为，所以，然后解方程即可；
分三种情况：，，，根据等腰三角形的性质即可求解．
本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、等腰三角形的性质、方程思想等知识．在中求得的值是解题的关键，在中求得的长是解题的关键，在中分类思想的运用是解题的关键．