2023~2024学年山东省济南市市中区九年级(上)期末数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省济南市市中区九年级(上)期末数学试卷(解析版)，共25页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 从正面观察如图所示的几何体，看到的形状图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】解：从正面看，下方长方体看到的是长方形，上方圆柱看到的也是长方形
且两个长方形在左侧位置对齐
故选：A
2. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解： ，设


故选：B
3. 已知反比例函数的图象经过点，则下列各点中也在该函数图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
A、，故此点不在此函数图象上；
B、，故此点在此函数图象上；
C、，故此点不在此函数图象上；
D、，故此点不在此函数图象上．
故选：B．
4. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵二次函数解析式为 ，
∴顶点坐标为；
故选：B．
5. 在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在25%附近，则口袋中黑球可能有（ ）个．
A. 10B. 11C. 12D. 13
【答案】B
【解析】解：设黑球可能有个，
∵摸到白球的频率稳定在25%附近，
∴口袋中摸到白球的概率为25%，
∴，
∴，
经检验：x=11是原方程的解，也符合题意.
∴黑球可能有11个.
故选：B．
6. 如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，则的值为（ ）

A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】解：如图，在中，，，

则．
故选：B．
7. 如图，C，D是上直径两侧的两点，设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：是的直径，
，
，
，
，
，
故选：B．
8. 如图，在直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为（ ）
A. 3B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】解：延长、分别交x轴于、，作轴于E，交于D，如图，
∵，木杆两端的坐标分别为，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
故选：C．
9. 一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：A、∵一次函数图象经过第一、二、三象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A不符合题意；
B、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B不符合题意；
C、∵一次函数图象经过第一、三、四象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C不符合题意；
D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D符合题意；
故选D．
10. 已知二次函数（其中x是自变量），当时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】解：∵二次函数，
∴对称轴，
当时，
∵当时对应的函数值均为正数，
∴此时抛物线与x轴没有交点，
∴，
∴解得；
当时，
∵当时对应的函数值均为正数，
∴当时，，
∴解得，
∴，
∴综上所述，
当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为或．
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分.填空题请直接填写答案.）
11. 若为锐角，，则________．
【答案】30
【解析】解：∵，
∴．
故答案为：30．
12. 如图，与位似，点O为位似中心，，的面积为2，则的面积为 _______．
【答案】18
【解析】解：∵与位似，点O为位似中心，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴．
故答案为：18．
13. 如图，点A是反比例函数（，）的图象上一点，过点A作轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接，．若的面积等于3，则k的值为 _____．
【答案】6
【解析】连接，
∵轴
∴
∴，
∴，
∵反比例函数图象的一支位于第一象限，
∴，
∴，
故答案为：6
14. 如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为_____．
【答案】﹣5＜x＜3
【解析】解：根据图示知，抛物线y＝ax2+bx+c图象的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点坐标为（﹣5，0），
根据抛物线的对称性知，抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x＝﹣1对称，即
抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与（﹣5，0）关于直线x＝﹣1对称，
∴另一个交点的坐标为（3，0），
∵不等式ax2+bx+c＞0，即y＝ax2+bx+c＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的图形在x轴上方，
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣5＜x＜3．
故答案为﹣5＜x＜3．
15. 如图，将半径为的圆形纸片翻折，使得，，折痕为，则阴影部分的面积为___________________．
【答案】
【解析】解：作于点D，连接．
由折叠知，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴阴影部分的面积，
故答案为：．
16. 如图，，，以为斜边在的右侧作，其中，，当长度最大时，点D到的距离是___________________．

【答案】
【解析】解：作直角三角形，使，，，连接，

∵，，
∴设，，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，当在同一直线上时，即时，长度最大，

∵，
∴，
∴四点共圆，
∴，
作于F，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：
三、解答题（本大题共10个小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 计算：．
解：
．
18. 已知如图，，分别是的边，上的点，，，，．求的长度．
解:，，
．
，
∵，，，
，
∴
19. 如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为，动力臂长为．（杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力忽略不计）
（1）求y关于x的函数解析式．
（2）当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大力？
解：（1）由题意，得，
则，
∴y关于x的函数解析式为．
（2）∵，
∴当时，，
故当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力．
20. 随着高铁、地铁的大量兴建以及铁路的改扩建，我国人民的出行方式越来越多，出行越来越便捷．为保障旅客快捷、安全的出人车站，每个车站都修建了如图所示的出入闸口．某车站有四个出人闸口，分别记为A、B、C、D．

（1）一名乘客通过该站闸口时，求他选择A闸口通过的概率；
（2）当两名乘客通过该站闸口时，请用树状图或列表法求两名乘客选择相同闸口通过的概率．
解：（1）一名乘客通过该站闸口时，他选择A闸口通过的概率为．
（2）根据题意画出画树状图如下：

由树状图可知共有16种等可能的结果，其中两名乘客选择相同闸口通过的有4种结果，
∴两名乘客选择相同闸口通过的概率．
21. 如图大楼的高度为，小可为了测量大楼顶部旗杆的高度，他从大楼底部B处出发，沿水平地面前行到达D处，再沿着斜坡走到达E处，测得旗杆顶端C的仰角为．已知斜坡与水平面的夹角，图中点A，B，C，D，E，G在同一平面内（结果精确到）
（1）求斜坡的铅直高度和水平宽度．
（2）求旗杆的高度．（参考数据：，，，）
解：（1）在中，，
∴，，
∴斜坡的铅直高度约为，水平宽度约为；
（2）过点E作，垂足为H，
由题意得：，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴旗杆的高度约为．
22. 如图，在中，，以为半径的与相交于点E，与相切于点D
（1）求证：平分；
（2）已知，，求的半径r．
解：（1）证明：连接，如图所示：
∵切于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即平分；
（2）解：在中，，
∵，，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，即，
解得：．
23. 把边长为的正方形硬纸板（如图），在四个顶点处分别剪掉一个小正方形，折成一个长方体形的无盖盒子（如图），长方体形的无盖盒子的侧面积为．

（1）求与的函数关系式；
直接写出的取值范围；
（2）求当取何值时，达到最大，并求出最大值．
解：（1）由题意得，长方体形的无盖盒子的底面边长为，
∴盒子的侧面积；
由题意，，
∴；
（2）由题意得，，
即，
即，
∴当时，，
即当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为．
24. 在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足．
（1）求的值；
（2）如图，过点分别作平行于轴，轴的直线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为（含边界），
当时，区域的整点个数为 ；
直线过一个定点，若点为此定点，直线上方（不包含直线）的区域记为，直线下方（不包含直线）的区域记为，当与的整点个数之差不超过时，请求出的取值范围．
解：（1）∵双曲线经过点，
∴，
即的值为；
（2）当时，由图可知，
上的整点有个，
上的整点有个，
双曲线上段的整点有个，
区域内部的整点有个，
又点，，都被算了次，
所以区域的整点个数为：，
故答案为：；
由题知，，
则不论为何值，时，即直线过定点，
∴，
如图所示，当时，区域内的整点共有个，
又被分成的区域和的整点个数之差不超过，
则当直线经过点时，的整点个数是，的整点个数是，满足要求，
此时，得，
当直线过点时，的整点个数是，的整点个数是，不满足要求，故当点在直线上方时，即可，
此时，得，
故的取值范围是：．
25. （1）问题发现：如图1，在和中，，，连接，填空： ； ；
（2）类比探究：如图2，在和中，，连接交的延长线于点M，请判断，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将绕点O旋转至点C与点M重合，，填空： ．
解：（1）如图1中，设交于J．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
故答案为：1，．
（2）如图2中，结论：
理由：设交于J．
在中，∵，
∴，
同理可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）拓展延伸
①点C与点M重合时，如图（3），同（2）得：，
∴，，
在中，
；
∵，，
∴，
∴，
设，则，
中，，
∴，
∴，
中，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
整理得：，
∴，
∴（舍去），
∴，
∴；
②点C与点M重合时，如图（4），同理得：，，
设，则，
在中，，
由勾股定理得：，
∴，
整理得，
∴，
∴（舍去），，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
故答案为：或
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，点A的坐标为．

（1）该抛物线的表达式为 ；
（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接．当时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点Q，将线段绕点Q顺时针旋转，使点恰好落在抛物线上？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）对称轴为直线，点的坐标为，
，
；
（2）设抛物线对称轴交x轴于点F，交于点D，连接并延长交于，如图，
∵对称轴为直线，
∴，
，，
∴；

在中，令，得，
∴，
，
，
∵，
，
∵，
∴，
∴，
∴由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴，，
，，
∴，
∴，
由中点坐标公式得：，
设直线的关系式为：，
把C、E两点坐标分别代入得：，解得：，
直线关系式为：，
联立二次函数与一次函数解析式并消去y得：，
解得：（舍，，
当时，，
；
（3）存在；
点旋转后的对应点为，作对称轴于，对称轴于，
当在上方时，

则，设，
将线段绕点顺时针旋转得线段，
∴，则，
又，
∴，
又，，
，
，，，
，
恰好落在抛物线上，
，
解得，（舍），
∴点Q的纵坐标为；
，
当在上方时，作对称轴于，

可知：为等腰直角三角形，
∴，
∴点Q的纵坐标为，
，
综上：或．