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北师大版数学七上第二章 有理数及其运算压轴题考点训练(2份,原卷版+解析版)
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【答案】或
【详解】,
,
又,
或,
或,
故答案为:或.
2.如图的数轴上有两处不小心被墨水淹没了,所标注的数据是墨水部分边界与数轴相交点的数据;则被淹没的整数点有_____个,负整数点有_____个,被淹没的最小的负整数点所表示的数是_____.
【答案】 69 52 ﹣72
【详解】解:由数轴可知,
﹣72和﹣41之间的整数点有:﹣72,﹣71,…,﹣42,共31个;﹣21和16之间的整数点有:﹣21,﹣20,…,16,共38个;故被淹没的整数点有31+38=69个,负整数点有31+21=52个,
被淹没的最小的负整数点所表示的数是﹣72.
故答案为:69,52,﹣72.
3.已知数轴上有A和B两点,它们之间的距离为1,点A和原点的距离为2,那么所有满足条件的点B对应的数有______________.
【答案】1、3、、
【详解】解:设点B对应的数为,
∵数轴上A,B两点之间的距离为1,点A与原点O的距离为2,∴点A表示的数为
当点A表示的数为-2时,,∴,∴x=-3,或x=-1,
当点A表示的数为2时,,∴,∴x=3,或x=1,
综上点B对应的数为:1、3、、.故答案为:1、3、、.
4.若a,b互为相反数,c,d互为倒数,且b≠0,则(a+b)2020+(cd)2021+()2022的值为________.
【答案】2
【详解】解:∵a,b互为相反数,c,d互为倒数,且b≠0,
∴a+b=0,cd=1,a=-b,即=-1
∴(a+b)2020+(cd)2021+()2022
=02020+12021+(-1)2022
=0+1+1
=2.
故答案为:2.
5.若,则的值是_______.
【答案】1
【详解】解:∵,
∴x-=0,2y-1=0.
∴x=,y=.
∴x+y=+=1.
故答案为:1.
6.已知,则_______.
【答案】
【详解】∵,
所以,
∴a=1,b=2,
∴原式=
= =
=
7.已知点O是数轴的原点,点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c,且b、c满足(b﹣9)2+|c﹣15|=0,动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动,同时点Q从点C出发,以1个单位/秒速度向左运动,O、B两点之间为“变速区”,规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半,之后立刻恢复原速,从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍,之后立刻恢复原速,运动时间为 _____秒时,P、Q两点到点B的距离相等.
【答案】或30
【详解】∵(b﹣9)2+|c﹣15|=0,
∴b﹣9=0,c﹣15=0,
∴b=9,c=15,
∴B表示的数是9,C表示的数是15,
①当0≤t≤6时,P在线段OA上,Q在线段BC上,此时不存在P、Q两点到点B的距离相等;
②当6<t≤9时,P、Q都在线段OB上,P表示的数为t﹣6,Q表示的数是9﹣3(t﹣6),
∴P、Q两点到点B的距离相等只需t﹣6=9﹣3(t﹣6),解得t=,
③当9<t≤15时,P在线段OB上,Q在线段OA上,此时不存在P、Q两点到点B的距离相等;
④当t>15时,P在射线BC上,Q在射线OA上,P表示的数为9+2(t﹣15),Q表示的数是﹣(t﹣9),
∴P、Q两点到点B的距离相等只需9+2(t﹣15)﹣9=9﹣[﹣(t﹣9)],解得t=30,
综上所述,P、Q两点到点B的距离相等,运动时间为秒或30秒,
故答案为:或30.
8.若|x|=4,|y|=5,则x-y的值为____________.
【答案】±1,±9
【详解】∵|x|=4,|y|=5,
∴x=4或-4,y=5或-5,
当x=4,y=5时,x-y=-1,
当x=4,y=-5时,x-y=9,
当x=-4,y=5时,x-y=-9,
当x=-4,y=-5时,x-y=1,
故答案为±1,±9.
9.如果abc<0,则++=_____.
【答案】1或﹣3
【详解】∵abc<0
∴a,b,c有一个负数,或a,b,c有三个负数
当a,b,c有一个负数时,
则 ++ =1
a,b,c有三个负数
则 ++=﹣3
故答案为:1或﹣3
10.如图,在数轴上点表示,现将点 沿轴做如下移动:第一次点向左移动个单位长度到达点,第二次将点 向右移动个单位长度到达点,第三次将点向左移动个单位长度到达点,按照这种移动规律移动下去,则线段的长度是 .
【答案】42.
【详解】根据观察可知,奇数点在A点的左侧,且根据A1=-2=1+(-3),A3=-5=1+(-3)×2,
故A13=1+(-3)×7=-20;
偶数点在A点的右侧,且根据A2=4=1+3,A4= -5+12=7=1+3×2,
故A14=1+7×3=22;
故A13和A14的长度为|22-(-20)|=42.
11.如图,将一个半径为1个单位长度的圆片上的点A放在原点,并把圆片沿数轴滚动1周,点A到达点的位置,则点表示的数是 _______;若起点A开始时是与—1重合的,则滚动2周后点表示的数是______.
【答案】 或 或
【详解】解:因为半径为1的圆的周长为2,
所以每滚动一周就相当于圆上的A点平移了个单位,滚动2周就相当于平移了个单位;
当圆向左滚动一周时,则A'表示的数为,
当圆向右滚动一周时,则A'表示的数为;
当A点开始时与重合时,
若向右滚动两周,则A'表示的数为,
若向左滚动两周,则A'表示的数为;
故答案为:或;或.
12.我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观,形少数时难入微”.数轴是一个非常重要的数学工具,它使数和数轴上的点建立起对应关系,揭示了数与点之间的内在联系,它是“数形结合”的基础.
例如,式子的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离;因为,所以的几何意义就是数轴上所对应的点与-1所对应的点之间的距离.
结合数轴与绝对值的知识回答下列问题:
(1)若,则 ;的最小值是 .
(2)若,则的值为 ;若,则的值为 .
(3)是否存在使得取最小值,若存在,直接写出这个最小值及此时的取值情况;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)5或-1;5;(2)或4;或;(3)的最小值为17,此时
【详解】解:(1)∵,
∴,
∴,
∴或;
设A点表示的数为-2,B点表示的数为3,P点表示的数为x,
∴表示的意义即为数轴上一点P到A的距离和到B的距离之和,
如图所示,当P在AB之间(包含A、B)时,;
当P在A点左侧时;
同理当P在B点右侧时;
∴的最小值为5,
故答案为:5或-1;5;
(2)设A点表示的数为-2,B点表示的数为3,P点表示的数为x,
由(1)可知当当P在AB之间(包含A、B)时,,当P在A点左侧时,当P在B点右侧时
∵,∴当P在A点左侧时即,∴;
同理当P在B点右侧时即,∴;
∴当时,或4;
当时,∵,
∴,解得符合题意;
当时,∵,
∴,解得符合题意;
当时∵,∴,解得不符合题意;
当时∵,
∴,解得不符合题意;
∴综上所述,当,或;
故答案为:或4;或;
(3)当时,∴,
当时,∴,
当时∴,
当时∴,
∴此时
∴综上所述,的最小值为17,此时.
13.已知数轴上三点A,O,B表示的数分别为8,0,,
(1)动点P从A出发,以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动.另一动点R从B出发,以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动,若点P、R同时出发,点P运动________秒追上点R,此时点P在数轴上表示的数是________.
(2)若点M以每秒4个单位的速度从A点出发,点N以每秒3个单位的速度运动从B点出发,设点M、N同时出发,运动时间为t秒,试探究:经过多少秒时,点M、N两点间的距离为5个单位?
【答案】(1)6,28;
(2)M,N都向左运动,经过7秒或17秒时,点M、N两点间的距离为5个单位,M向左运动,N向右运动,经过1秒或秒时,点M、N两点间的距离为5个单位.
【解析】(1)解:设点P、R运动时间是t秒,则运动后P表示的数是8-6t,R运动后表示的数是-4-4t,
根据题意得:8-6t=-4-4t,解得t=6,
∴点P运动6秒追上点R,此时点P在数轴上表示的数是8-6×6=-28,
故答案为:6,28;
(2)解:①M,N都向左运动,M表示的数是8-4t,N表示的数是-4-3t,
∴(8-4t)-(-4-3t)=5或(-4-3t)-(8-4t)=5,
解得t=7或t=17;
②M向左运动,N向右运动,M表示的数是8-4t,N表示的数是-4+3t,
∴(8-4t)-(-4+3t)=5或(-4+3t)-(8-4t)=5,
解得t=1或t=,
综上所述,M,N都向左运动,经过7秒或17秒时,点M、N两点间的距离为5个单位,M向左运动,N向右运动,经过1秒或秒时,点M、N两点间的距离为5个单位.
14.已知点A在数轴上对应的数为a,点B在数轴上对应的数为b,且,A、B之间的距离记为或,请回答问题:
(1)直接写出a,b,的值,a=______,b=______,______.
(2)设点P在数轴上对应的数为x,若,则x=______.
(3)如图,点M,N,P是数轴上的三点,点M表示的数为4,点N表示的数为-1,动点P表示的数为x.
①若点P在点M、N之间,则______;
②若,则x=______;
③若点P表示的数是-5,现在有一蚂蚁从点P出发,以每秒1个单位长度的速度向右运动,当经过多少秒时,蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是8?
【答案】(1)-3,2,5;(2)8或-2;(3)①5;②-3.5或6.5;③2.5秒或10.5秒
【解析】(1)∵,
∴a+3=0,b-2=0,
∴a=-3,b=2,,
故答案为:-3,2,5.
(2)∵,
∴,
∴x=8或-2;
故答案为:8或-2.
(3)①点P在点M、N之间,且M表示4,N表示-1,动点P表示的数为x,
∴点P在定N的右侧,在点M的左侧,
∴PN=|x+1|=x+1,PM=|x-4|=4-x,
∴.
故答案为:5;
②根据10>5,判定P不在M,N之间,
当点P在M的右边时,
∴PN=|x+1|=x+1,PM=|x-4|=x-4,
∵,
∴x+1+x-4=10,
解得x=6.5;
当点P在点N的左侧时,
∴PN=|x+1|=-1-x,PM=|x-4|=4-x,
∵,
∴-1-x +4-x =10,
解得x=-3.5;
故答案为:6.5或-3.5;
③设经过t秒,则点P表示的数为-5+t,则PN=|-5+t+1|=|-4+t|,PM=|-5+t-4|=|-9+t|,
当点P在M的右边时,∴PN=|-5+t+1|=-4+t,PM=|-5+t-4|=-9+t,
∵PM+PN=8,∴-4+t-9+t =8,解得t=10.5;
当点P在点N、点M之间时,
∴PN=|-5+t+1|=-4+t,PM=|-5+t-4|=9-t,
∵PM+PN=8,∴-4+t+9-t =8,不成立;
当点P在N的左边时,∴PN=|-5+t+1|=-1-(t-5)=4-t,PM=|-5+t-4|=4-(t-5)=9-t,
∵PM+PN=8,∴4-t+9-t =8,解得t=2.5;
综上所述,经过2.5秒或10.5秒时,蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是8.
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