北师大版数学七上第五章 一元一次方程压轴题考点训练（2份，原卷版+解析版）

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【详解】解：将代入，
，
，
由题意可知：无论为任何数时恒成立，
，
，，
，
故答案为：
2．已知关于x的方程的解为正整数，则整数k的值为_________．
【答案】3或7．
【详解】解：，
解得，，
∵k为整数，关于x的方程的解为正整数，
∴k-2=1或k-2=5，
解得，k=3或k=7，
故答案为：3或7．
3．已知关于的方程的解为x=4，那么关于的方程的解为___________．
【答案】
【详解】解：∵关于的方程的解为x=4
∴
∵，且
∴ ∴
故答案为：．
4．如图，直线AB⊥OC于点O，∠AOP＝40°，三角形EOF其中一个顶点与点O重合，∠EOF＝100°，OE平分∠AOP，现将三角形EOF以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转至三角形E′OF′，同时直线PQ也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转至P′Q′，设运动时间为m秒（0≤m≤20），当直线P′Q′平分∠E′OF′时，则∠COP′＝___．
【答案】或
【详解】平分，
，
以每秒的速度绕点O逆时针旋转，以每秒的速度点O顺时针旋转，
①如图1中，当平分时，
解得
，
②如图2，当平分时，
解得
故答案为：或
5．我们知道在9点整时，时钟的分针与时针恰好互相垂直，那么从9点开始，到10点之前，经过__________分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105°．
【答案】或30
【详解】解：分针的旋转速度是度/分钟，时针的旋转速度是0.5度/分钟，设经过x分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105°，
分两种情况：
如图：
此时，∠AOC=0.5x，∠BOD=6x，则∠COD=∠AOB+∠BOD-∠AOC= 90°+6x-0.5x=105°，
解得x=；如图：
此时，∠AOC=0.5x，∠BOD=360°-6x，
则∠COD=∠BOD-∠AOB+∠AOC=360°-6x -90°+0.5x=105°，解得x=30；
综上，经过或30分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105°，
故答案为：或30
6．关于x的方程2a （x+5）＝3x+1无解，则a＝______．
【答案】
【详解】解：∵，∴，∴，
∵关于的方程无解，∴，∴，
故答案为：．
7．某超市出售一种礼品混合糖是由两种糖果按一定比例配制而成，其中A糖果的进价为15元/千克，糖果的进价为10元/千克，按现行价格销售每千克获得56%的利润率．物价上涨，A糖果进价上涨20%，糖果进价上涨10%，配制后的总进价增加了12%，公司为了拓展市场，打算再投入现总进价的25%做广告宣传，如果要保证每千克利润不变，则此时这种礼品糖果的利润率是____．
【答案】40%
【详解】解：A糖果的进价为15元/千克，糖果的进价为10元/千克，
涨价后，A糖果进价上涨20%，变为18元；糖果进价上涨10%，变为11元，总成本上涨12%，
设每100千克成品中，原料A占x千克，B占（100-x）千克，
则涨价前每100千克成本为15x+10（100-x），
涨价后每100千克成本为18x+11（100-x），
解得：x=千克，
100-x=千克，
即二者的比例是：A：B=1：6，
则涨价前每千克的成本为元，销售价为元，
利润为6元，
原料涨价后，每千克成本变为元，成本的25%=3元，保证利润为6元，
则利润率为：6÷（12+3）=40%．
故答案为40%．
8．甲、乙两人骑车从学校出发，先上坡到距学校千米的地，再下坡到距学校千米的地，甲、乙两人行驶的路程千米与时间小时之间的函数关系如图所示，若甲、乙两人同时从地按原路返回到学校，返回时，甲和乙上、下坡的速度仍保持不变，则在返回途中二人相遇时离地的距离是______ 千米．
【答案】5
【详解】解：乙上坡的速度是：（千米小时），下坡的速度是：（千米小时）．
甲的速度是：（千米小时），
∵A地距离学校6千米，B地距离学校16千米，
∴AB两地距离10千米，
返回时，上坡，甲与乙之间的距离是越来越大的，甲在乙前面，到了下坡乙追上甲，设小时乙追上甲．
则有：，小时，
此时离地距离千米．
故答案为：．
9．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的y一元一次方程解为__________．
【答案】．
【详解】解：将关于的一元一次方程变形为，
即，
∵一元一次方程，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为： y=3 ．
10．已知数轴上有A，B，C三点，分别代表﹣30，﹣10，10，动点P从A点出发经过2秒后，动点P到A，B，C的距离和为48个单位，则动点P的速度为每秒__________个单位．
【答案】6或14
【详解】解：设动点的速度为每秒个单位，则动点从点出发经过2秒后，动点在数轴上所表示的数为，
由题意得：，
即，
①当时，则，
解得，符合题设；
②当时，则，
解得，符合题意；
③当时，则，
解得，不符题设，舍去；
综上，动点的速度为每秒6或14个单位，
故答案为：6或14．
11．平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润为20元；乙种商品每件进价50元，售价80元．
（1）甲种商品每件进价为 元，每件乙种商品利润率为 ．
（2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲种商品多少件？
（3）在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如下的优惠促销活动：
按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？
【答案】（1）40， ；（2）40；（3）7件或8件
【详解】解：（1）甲种商品每件进价为 元，
每件乙种商品利润率为 ；
（2）设购进甲种商品 件，则购进乙种商品 件，根据题意得：
，
解得： ，
答：购进甲种商品40件；
（3）设小华打折前应付款为y元，
①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，由题意得：
0.9y= 504，
解得：y= 560，
560 ÷ 80 = 7（件），
②打折前购物金额超过600元，
600 × 0.82 +（y-600）× 0.3= 504，解得：y= 640，640÷80=8（件），
综上可得：小华在该商场购买乙种商品件7件或8件．
12．某中学在2021年元旦前夕，由校团委组织全校学生开展一次书法比赛，为表彰在书法比赛中的优秀学生，计划购买钢笔30支，毛笔20支，共需1070元，其中每支毛笔比钢笔贵6元．
（1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？
（2）后来校团委决定调整设奖方案，扩大表彰面，需要购买上面的两种笔共70支（每种笔的单价不变）．张老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领1574元．”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么帐肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他算错了．
（3）张老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔．如果签字笔的单价不大于10元，且金额数为整数，请通过计算，直接写出签字笔的单价可能为_______元．
【答案】（1）钢笔的单价为19元，毛笔的单价为25元；（2）见详解；（3）4或10
【详解】解：（1）设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x＋6）元，
由题意得：30x＋20（x＋6）＝1070，解得：x＝19，则x＋6＝25，
答：钢笔的单价为19元，毛笔的单价为25元；
（2）设单价为19元的钢笔y支，则单价为25元的毛笔为（70−y）支，
根据题意得：19y＋25（70−y）＝1574，
解得：y＝，不合题意，即张老师肯定搞错了；
（3）设单价为19元的钢笔z支，签字笔的单价为a元，
根据题意得：19z＋25（70−z）＝1574−a，即6z＝176＋a，
由a，z都是整数，且176＋a应被6整除，
经验算当a＝4时，6z＝180，即z＝30，符合题意；
当a＝10时，6z＝186，即z＝31，符合题意，则签字笔的单价为4元或10元．故答案为：4或10．
13．某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：获利=售价-进价）
（1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？
（3）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多180元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？
【答案】（1）购进甲种商品150件、乙种商品90件；（2）1950元；（3）8.5折
【详解】解：（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，
根据题意得：22x+30=6000，
解得：x=150，
∴=90，
答：该超市第一次购进甲种商品150件、乙种商品90件．
（2）（29-22）×150+（40-30）×90=1950（元）．
答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润1950元．
（3）设第二次乙种商品是按原价打y折销售，
根据题意得：（29-22）×150+（40×-30）×90×3=1950+180，
解得：y=8.5．
答：第二次乙商品是按原价打8.5折销售．
14．挑战：
（1）在高速公路上，一辆车长，速度为的轿车准备超越一辆长，速度为的卡车，则轿车从开始追及到超越卡车，需要花费的时间约是______秒；
（2）实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的高度处连通（即管子底端离容器底），现三个容器中，只有甲中有水，水位高，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升，则开始注入______分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是．
（3）某个体服装店销售的服装只要高出进价的便可盈利，但个体服装店老板们常高出进价标价，假如你准备买一件标价为200元的服装，应在______至______元的范围内还价，个体服装老板们便可盈利．
【答案】（1）5.76秒；（2）0，，分钟；（3）120；160
【详解】解：（1）花费时间x秒，根据题意得：
，
解方程得x=5.76，
∴需花费时间约是5.76秒；
（2）甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为，
注水1分钟，乙的水位上升cm，
注水1分钟，丙的水位上升cm，
设开始注入分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是1cm，
甲与乙的水位高度之差是1cm有三种情况：
①当乙的水位低于甲的水位时，
有，
解得：分钟；
②当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时，
，
解得：，
，
此时丙容器已向乙容器溢水，
分钟，，即经过分钟丙容器的水到达管子底部，乙的水位上升，
，解得：；
③当甲的水位低于乙的水位时，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，
乙的水位到达管子底部的时间为：分钟，
，
解得：，
综上所述开始注入0，，分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是1cm．
（3）设进价为x元，那么x应该符合的范围是
，解得100≤x≤，那么还价范围为120≤（1+20%）x≤160，
即应该在120至160元之间讨价．
15．解下列方程：
(1)；
(2)278(x－3)－463(6－2x)－888(7x－21)＝0；
(3)；
(4)．
【答案】(1) x＝－1.(2) x＝3.(3) x＝－8.(4) x＝0.
【详解】(1) x＋＝x－；
解： x－x＝－－，x＝－1.
(2)278(x－3)－463(6－2x)－888(7x－21)＝0；
解：278(x－3)＋463×2(x－3)－888×7(x－3)＝0，
(278＋463×2－888×7)(x－3)＝0，x＝3.
(3) [ (－1)－2]－x＝2；
解：－1－3－x＝2，
x＝－8.
(4)x－ [x－ (x－9)]＝ (x－9)．
解：x－x＋ (x－9)＝ (x－9)，
x＝0，
x＝0.
打折前一次性购物总金额
优惠措施
少于等于450元
不优惠
超过450元但不超过600元
按售价打九折
超过600元
其中600元部分八点二折优惠，超过600元的部分打三折优惠
甲
乙
进价（元/件）
22
30
售价（元/件）
29
40