2024-2025学年湖南省岳阳市九年级(上)11月期中数学试卷(解析版)

这是一份2024-2025学年湖南省岳阳市九年级(上)11月期中数学试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了选择题．，三象限B. 第一，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题．（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列函数中是反比例函数的是（ ）
A. y＝3xB. C. D. （a为常数且a≠0）
【答案】D
【解析】解：A、y＝3x是正比例函数，故A错误；
B、不符合反比例函数的一般形式，故B错误；
C、是正比例函数，故C错误；
D、（a为常数且a≠0）符合反比例函数定义，故D正确，
故答案：D．
2. 已知反比例函数的图像经过点P(－1,－3)，则这个函数的图像位于( )
A. 第二、三象限B. 第一、三象限C. 第三、四象限D. 第二、四象限
【答案】B
【解析】解：反比例函数的图像经过点P(－1,－3)，
，
反比例函数图像经过一、三象限，
故选：B．
3. 若，相似比为，则对应边的中线比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：与的相似比为，
∴与对应边上中线的比是，
故选：A．
4. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 只有一个实数根B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 有两个相等的实数根
【答案】D
【解析】解：把一元二次方程化为一般形式为：
∵△=122-4×4×9=0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：D．
5. 如图，，，，则的长为（ ）
A. 5B. 7C. 10D. 无法确定
【答案】B
【解析】解：，
，
，，，
，
，
．
故选B．
6. 如图，已知直线与双曲线的一个交点坐标为（－1，3），则它们的另一个交点坐标是（ ）
A. （1，3）B. （3，1）C. （1，－3）D. （－1，3）
【答案】C
【解析】解：∵反比例函数的图象关于原点对称，直线经过原点，
∴它们的另一个交点坐标是（1，－3）
故答案为：C．
7. 近年来，我国数字技术不断更新，影响着全民阅读形态．为预计某市2024年数字阅读市场规模，经查询得数据：该市2021年数字阅读市场规模为432万元，2023年数字阅读市场规模为507万元．设该市年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解：设该市年平均增长率为x，
依题意，得：．
故选：C．
8. 已知一次函数的图像如图，那么正比例函数和反比例函数在同一坐标系中的图像大致是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：根据一次函数的图像可知，
图像经过二、三、四象限，随x增大而减小，函数图像与轴交于负半轴，
，
正比例函数的图形经过二、四象限，
反比例函数经过二、四象限，
则正比例函数和反比例函数在同一坐标系中的图像大致是：
故选：D．
9. 如图,E为平行四边形ABCD的边AB延长线上的一点,且BE:AB=2：3,△BEF的面积为4,则平行四边形ABCD的面积为()

A. 30B. 27C. 14D. 32
【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，AD//BC，
∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED，
∴ ，
∵BE：AB=2：3，AE=AB+BE，
∴BE：CD=2：3，BE：AE=2：5，
∴ ，
∵S△BEF=4，
∴S△CDF=9，S△AED=25，
∴S四边形ABFD=S△AED-S△BEF=25-4=21，
∴S平行四边形ABCD=S△CDF+S四边形ABFD=9+21=30，
故选A.
10. 如图，A、B是双曲线上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C，若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ）
A. B. C. 3D. 4
【答案】B
【解析】解：过点B作BE⊥x轴于点E，
∵D为OB的中点，
∴CD是△OBE的中位线，即CD=BE，
设A（x，），则B（2x，），
故CD=，AD=，
∵△ADO的面积为1，
∴AD•OC=1，，
解得，
∴．
故选B．
二、填空题．（本题共8小题，每小题3分，满分24分）
11. 若是关于x的一元二次方程，则m的值是________．
【答案】
【解析】解：∵是关于x的一元二次方程，
∴且，
解得：．
故答案为：
12. 如图，点A在反比例函数的图象上，AB垂直轴于B，若=2，则这个反比例函数的解析式为_______________．
【答案】
【解析】由于点A在反比例函数的图象上，
则S△AOB=|k|=2，
∴k=±4；
又由于函数的图象在第二象限，k＜0，
∴k=-4，
∴反比例函数的解析式为；
故答案为：．
13. 若m是方程的一个根，则的值为______．
【答案】2027
【解析】解：∵m是方程的一个根，
∴，即，
∴．
故答案是：2027．
14. 已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为________．
【答案】4
【解析】解：∵a，b，c，d是成比例线段，
∴，
∵，，，
∴，
故答案为：4．
15. 定义为二阶行列式．规定它的运算法则为，那么当二阶行列式时，______．
【答案】
【解析】解：∵，，
∴，
整理得：，
解得：，
故答案为：．
16. 已知点P是线段的黄金分割点（），，那么的长是______．
【答案】
【解析】解：∵P为线段的黄金分割点，，且是较长线段；
∴，
故答案为：．
17. 直线与函数（）的图象只有一个公共点A，且直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，则下列说法正确的有________（将正确的序号填在横线上）．
①；
②点恒在抛物线上；
③是定值；
④矩形面积为定值；
⑤和的面积之和为定值．

【答案】①②④⑤
【解析】解：令直线，得，即B的坐标为，
令，，即C的坐标为，
令，得①，
∵与（）的图象只有一个公共点A，
∴，
∴方程①的解，
∴A的坐标为，
∴A为的中点，即，
由直角三角形斜边中线等于斜边一半得：，故①正确；
∵，
∴点恒在抛物线上，故②正确；
∵，
∴的值与b相关，不是定值，故③错误；
由反比例函数k的几何意义得：矩形面积为2，恒为定值，故④正确；
∵的面积，
∴和的面积之和的面积矩形面积，恒为定值，故⑤正确．
故答案为：①②④⑤．
18. 如图，点、、、……、(为自然数)在反比例函数图象上，且横坐标分别为1、2、3、……、，分别以、、、…、为斜边向下作直角三角形，使两条直角边平行于坐标轴，得到个直角三角形，则前2024个直角三角形的面积之和为______．
【答案】##
【解析】解：设前2024个直角三角形的面积分别为、、……、，
∵点、、、……、在图象上，且横坐标分别为1、2、3、……、，
∴，，
，，
……
，，
∴当时，，
当时，，
∴
．
三、解答题（本大题共8个小题，第19-20题每题6分，第21-24题每题8分，第25题10分，第26题12分，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 解方程：
（1）；
（2）．
解：（1），
，，，
，
方程有两个不相等的实数根，
，
，，
（2），
移项得：，
可得：或，
解得，．
20. 已知反比例函数（常数，）．
（1）若点在这个函数的图象上，求的值；
（2）若，试判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由．
解：（1）∵点在这个反比例函数的图象上，
∴，
解得．
（2）∵，
∴反比例函数解析式为，
当时，，
∴点在这个函数的图象上．
21. 已知关于的一元二次方程为．
（1）当为何值时，该方程有实数根；
（2）当时，求出这个方程的两个根．
解：（1）∵方程有实数根，
∴，
即，解得，
∴当为何值时，该方程有实数根；
（2）将代入原方程得，即，
∴,
即，．
22. 如图，在中，点D在上，点E在上，且，，，．
（1）求的长；
（2）若四边形的面积为，求的面积．
解：（1）∵，
∴，
设，
∵cm，，
∴，解得，
∴CE长为；
（2）∵，
∴，
∴相似比为，
∴，
∵四边形的面积为，即，解得．
∴的面积为．
23. “嫦娥”揽月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“北斗”指路、“天和”遨游星辰．新中国成立75年来，中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件成本30元，当模型售价为50元/件时，每月可售出360件．为了让利于消费者，商店决定降价销售．已知模型单价每降低1元，平均每月可多售出6件．若要使该商店销售这种模型每月能获利6144元，则每件模型应降价多少元？
解：设每件模型降价x元，根据题意，得
，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每件模型应降价4元．
24. 某工程队修建一条村村通公路，所需天数（单位：天）与每天修建该公路长度（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图．

（1）求与之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）；
（2）其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前多少天完成此项工程?
解：（1）设与之间的函数表达式为，
∵该函数关系的图象经过点，
∴，
∴，
∴与之间的函数表达式为；
（2）当时，，
当时，，
∵，
∴该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前天完成此项工程．
25. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍（n为正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
（1）根据上述定义，是“______倍根方程”；
（2）若关于x的方程是“三倍根方程”，求m的值；
（3）若关于x的方程是“n倍根方程”，请探究b与c之间的数量关系（用含n的代数式表示）；
（4）由（3）中发现的b、c之间的数量关系，不难得到的最小值是______．（参考公式：，x、y均为正数）
解：（1），
，
解得和，
∵，
∴一元二次方程是“四倍根方程”；
故答案为：四；
（2）由题意可设：与是方程的解，
∴，
解得：，
∴m的值为；
（3）∵关于x的方程是“n倍根方程”，
∴可设与是方程的解，
∴，
消去得：，
（4）由参考公式：（x、y均为正数）可得，
∴，
故答案为：1．
26. 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．
（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．
（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．

解：（1）如图1中，∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°，∴∠ACD=∠A=40°，∴△ACD为等腰三角形，∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线．
（2）①当AD=CD时，如图2，∠ACD=∠A=45°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．
②当AD=AC时，如图3中，∠ACD=∠ADC=（180°-48°）÷2=66°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°．
③当AC=CD时，如图4中，∠ADC=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃，∴∠ACB=96°或114°．
（3）由已知AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴设BD=x，∴），∵x＞0，∴x=，∵△BCD∽△BAC，∴=，∴CD=×2=．