2023-2024学年湖南省岳阳市岳阳楼区九年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年湖南省岳阳市岳阳楼区九年级（上）期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）已知tanA=3，则锐角A的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
2．（3分）方程x2﹣4＝0的两个根是（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣2B．x1＝x2＝﹣2
C．x1＝x2＝2D．x1＝2，x2＝0
3．（3分）如图所示，该函数表达式可能是（ ）
A．y＝3x2B．y=3xC．y=−3xD．y＝3x
4．（3分）方程x2﹣2x﹣3＝0经过配方法化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝4B．（x+1）2＝4C．（x﹣1）2＝2D．（x+1）2＝2
5．（3分）如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．丁B．丙C．乙D．甲
6．（3分）将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝x2﹣3，下列叙述正确的是（ ）
A．向左平移3个单位B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位D．向下平移3个单位
7．（3分）大约在2400年前，墨子与其弟子做了历史上第1个小孔成像的实验，如图1．并在《墨经》中记载：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为20cm，像距为30cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是12cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A．6cmB．8cmC．9cmD．10cm
8．（3分）已知a∥b∥c，如图，若AC＝5，CE＝10，DF＝12，则线段BD的长为（ ）
A．6B．8C．9D．10
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象关于直线x＝1对称，与x轴交于点（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论中不成立的是（ ）
A．a＜0
B．a+b+c＝0
C．关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根
D．当y＞0时，﹣1＜x＜3
10．（3分）如图，Rt△ABC中AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，点B、C在两坐标轴上滑动．当边AC⊥x轴时，点A刚好在双曲线y=kx上，此时下列结论不正确的是（ ）
A．点B为（0，165）
B．AC边的高为125
C．双曲线为y=12x
D．此时点A与点O距离最大
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，满分共18分）
11．（3分）若ab=35，则a+bb= ．
12．（3分）抛物线y＝﹣2（x﹣3）2+4的顶点坐标是 ．
13．（3分）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，则ABCD= ．
14．（3分）设x1、x2是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则x1+x2﹣x1•x2＝ ．
二、填空题（本题共2小题，每小题3分，满分共18分）
15．（3分）已知点A（﹣2，a），B（3，b）是反比例函数y=−6x图象上的两点，则a，b的大小关系是a b（用“＞、＜、＝”填空）．
16．（3分）在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°．在AB上取一点F，以B点为圆心，BF为半径作弧，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于12FG的长为半径作弧，两弧交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交AB于点E，连接DE，如图．在结论中：①AEAB=DEBC；②AE＝BC；③2ED=BC；④当AC＝2时，AD=5−1．其中正确结论的序号是 ．
三、解答题（本题共9小题，满分共72分）
17．（6分）计算：tan45°−(12)−1+(2sin60°−1)0．
18．（6分）反比例函数y=kx与一次函数y＝2x﹣2的图象都过A（a，4）．
（1）求A点坐标；
（2）若点B（﹣3，m）在反比例函数的图象上，求m的值．
19．（6分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+a+2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）求当a为正整数时方程的根．
20．（8分）某校为建设“书香校园”，计划购进一批新书，学校图书室随机对九年级（甲）班的同学最近借阅的各类图书进行了统计，通过整理发现借阅的书籍可分为4类（A：科普类；B：文学类；C：艺术类；D：生活与其它类）．根据统计结果，绘制出不完整的两幅统计图，如图．根据图中信息解决问题：
（1）本次采用的调查方式是 调查，九年级（甲）班的人数为 人；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，m＝ ，B扇形的圆心角为 ；
（4）若该校九年级共有720名学生，根据调查结果估算，该校九年级喜欢艺术类学生有多少人？
21．（8分）在坐标平面内，A点的坐标为（20，0），OA＝2OB，sin∠AOB=35，如图.
（1）求B点的坐标；
（2）求tan∠OAB．
22．（9分）随着电商的火爆，某小区新建菜鸟驿站9月份每日平均接收快递64件，11月份该菜鸟驿站每日平均接收快递恰好达到100件，预计10、11、12月每个月内日均接收快递件数的增长率不变．
（1）求每个月内日均接收快递件数的增长率；
（2）请根据月平均增长率预测12月份日均接收快递数量．
23．（9分）某款SUV型汽车后备厢门正常开启时如图所示，该车型高AB＝1.7m，后备厢门长BC＝1.2m，当后备厢门正常开启后，∠ABC＝120°．某车主的储藏室空间高度为2.45m，问该车停入储藏室后能否正常开启后备厢门．
24．（10分）已知：在边长为6的等边△ABC中，点D在直线BC上，连结AD，以AD为边作等边△ADE，直线DE交射线AC于点F，连结CE．
（1）如图（1），若∠BAD＝α，用含α的式子表示∠CDE＝ ；AB与CE的位置关系是 ；
（2）当点D在线段BC上（不与点B、C重合）运动时，
①求证：△ABD∽△DCF；
②求线段CF的最大长度，并求出此时∠BAD的度数；
（3）点D在直线BC上，若BD＝2时，利用备用图（2）求CF的长．
25．（10分）坐标平面内，若点P（a，b）满足ab=12，我们把点P称作“半分点”，例如点（﹣3，﹣6）与(2，22)都是“半分点”．
（1）一次函数y＝3x﹣2的图象上的“半分点”是 ；
（2）若双曲线y=kx上存在“半分点”（t，4），且经过另一点（m+2，m），求m的值；
（3）若关于x的二次函数y＝mx2﹣2x+n（常数m≠0）的图象上恰好有唯一的“半分点”P．
①当m＞1时，求n的取值范围；
②当m＝1时，过双曲线y=8x（其中x＞0）上的“半分点”P作直线PQ∥x轴，若二次函数的图象上存在4个点到直线PQ的距离为d，求d的取值范围．
2023-2024学年湖南省岳阳市岳阳楼区九年级（上）期末数学试卷
参考答案
选择题、填空题答案速查
三、解答题（本题共9小题，满分共72分）
17．解：tan45°−(12)−1+(2sin60°−1)0
＝1﹣2+1
＝0．
18．解：（1）将点A（a，4）代入y＝2x﹣2得：2a﹣2＝4，
解得a＝3，
∴点A的坐标为（3，4）.
（2）将点A（3，4）代入y=kx得：k＝12，
∴反比例函数解析式为y=12x．
将点B（﹣3，m）代入,得m=12−3=−4．
∴m的值为﹣4．
19．（解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+a+2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（a+2）＞0，
解得a＜2，
∴a的取值范围为a＜2.
（2）∵a为正整数，
∴a＝1，
∴原方程为x2﹣4x+3＝0，
即（x﹣1）（x﹣3）＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
∴若a为正整数时，方程的根为1和3．
20．解：（1）抽样 40
本次采用的调查方式是抽样调查，九年级（甲）班的人数为12÷30%＝40（人）.
（2）喜欢艺术类学生有40﹣12﹣16﹣8＝4（人）.
补全条形统计图如下：
（3）40 144°
∵16÷40×100%＝40%，∴m＝40，B扇形的圆心角为360°×40%＝144°.
（4）720×440×100%=72（人）.
答：通过调查可以估计该校九年级喜欢艺术类学生有72人．
21．解：（1）作BC⊥OA，
∵A点的坐标为（20，0），
∴OA＝20，
∴OA＝2OB，
∴OB＝10，
∵sin∠AOB=BCOB=35，
∴BC＝6，
∴OC=OB2−BC2=8，
∴B点的坐标为（8，6）.
（2）如图.∵OA＝20，OC＝8，
∴AC＝12，
∴tan∠OAB=BCAC=612=12．
22．解：（1）设每个月中日均接收快递件数的增长率为x，
根据题意得：64（1+x）2＝100，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）．
答：每个月中日均接收快递件数量的增长率为25%.
（2）根据题意得：100×（1+25%）＝125（件）．
答：预测12月份日均接收快递件数为125件．
23．解：如图，过点C作CD⊥AB交延长线于点D，
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBD＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD＝30°，
∴BD=BC⋅sin∠BCD=1.2×12=0.6（米），
∴AD＝AB+BD＝1.7+0.6＝2.3（米），
∵2.3＜2.45，
∴该车停入储藏室后能够正常开启后备厢门．
24．（1）解：α AB∥CE
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝60°，AB＝AC，AD＝AE，∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝∠ABC+∠BAD，∴∠BAD＝∠CDE＝α，∵∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE＝60°，∴∠BAC＝∠ACE，∴AB∥CE.
（2）①证明：在等边△ABC与△ADE中，∠B＝∠ACB＝∠ADE＝60°，
∴∠ADB+∠CDF＝∠ADB+∠BAD＝120°，
∴∠BAD＝∠CDF，
∴△ABD∽△DCF.
②解：设BD＝x，CF＝y，则DC＝6﹣x，
由①得：△ABD∽△DCF，
∴ABBD=DCCF，
∴6x=6−xy，
∴y=−16x2+6x=−16(x−3)2+32．
∵−16＜0，
∴当x＝3时，y有最大值，
即当BD＝3时，CF的最大长度为32，
此时点D为BC的中点，则AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝30°.
（3）解：①当点D在BC边上时，根据△ABD∽△DCF，
∴ABBD=DCCF，
∴62=6−2CF，
解得CF=43.
②当点D在B点左侧时，如图，
∵△ADE为等边三角形，
∴∠ADB+∠CDF＝60°，
又∠ADB+∠BAD＝60°，
∴∠CDF＝∠BAD，
由∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABD＝∠DCF＝120°，
∴△ABD∽△DCF，
∴ABBD=DCCF，
∴62=6+2CF，
∴CF=83.
③∵BD＝2，BC＝6，∴BD＜BC，
∴点D不能在点C的右侧．
综合①②③可知：当BD＝2时，线段CF长为43或83．
25．解：（1）（2，4） 设一次函数y＝3x﹣2的图象上的“半分点”为（a，3a﹣2），∴3a﹣2＝2a，解得a＝2，∴“半分点”为（2，4）.
（2）∵点（t，4）为反比例函数y=kx图象上的“半分点”，
∴t＝2，
把（2，4）代入y=kx得：k＝8，
∴y=8x，
∵双曲线y=8x经过（m+2，m），
∴m（m+2）＝8，
解得：m1＝2，m2＝﹣4，
∴m的值为2或﹣4；
（3）①由y=mx2−2x+ny=2x，
整理得mx2﹣4x+n＝0.
∵抛物线y＝mx2﹣2x+n（m，n均为常数）上有且只有一个“半分点”，
∴方程mx2﹣4x+n＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4mn＝0，
解得n=4m，
∵m＞1，
∴0＜n＜4.
②当m＝1时，n=4m=4，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，
令x＝0，则y＝4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，3），与y轴的交点坐标为（0，4），
由y=8xy=2x，
解得x1=2y1=4，x2=−2y2=−4，
∵x＞0，
∴x2=−2y2=−4（舍去），
∴反比例函数y=8x(x＞0)图象上的“半分点”为P（2，4），
∴平行于x轴的直线PQ为y＝4，
∵抛物线上有四个点到直线PQ的距离为d，
∴在直线PQ下方的抛物线上必须有两点到直线PQ的距离为d，
∴0＜d＜4﹣3，即0＜d＜1．
甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
186
182
186
182
方差
3.2
3.2
6.5
6.0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
A
C
A
D
D
B
A
B
D
11. 85 12. （3，4） 13.25 14.1 15. ＞ 16. ①②④