北师大版（2024）九年级上册2 反比例函数的图象与性质第2课时教学设计

这是一份北师大版（2024）九年级上册2 反比例函数的图象与性质第2课时教学设计，共6页。教案主要包含了教学目标，教学重点及难点，教学用具，相关资，教学过程，课堂小结，板书设计等内容，欢迎下载使用。
第2课时
一、教学目标
1．复习巩固反比例函数图象与性质．
2．理解和掌握反比例函数图象的增减性．
二、教学重点及难点
重点：反比例函数图象的增减性．
难点：运用反比例函数图象的增减性．
三、教学用具
多媒体课件、直尺或三角板．
四、相关资
动画，知识卡片.
五、教学过程
【复习导入】
1．一般地，反比例函数 的图象是双曲线，它具有以下性质：
（1）当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限；
（2）当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限．
2．反比例函数 的图象是轴对称图形，对称轴是直线y=x或y=-x；反比例函数的图象也是中心对称图形，对称中心是坐标原点．
设计意图：通过对反比例函数图象与性质的复习，为接下来学习反比例函数图象的增减性做好铺垫．
【探究新知】
议一议 1．观察反比例函数，，的图象（如下图所示），你能发现它们的共同特征吗？
（1）函数图象分别位于哪几个象限内？
（2）在每一个象限内。随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，师生共同得出答案．
答：（1）函数图象均位于第一、三象限内．
（2）在每一象限内，随着x值的增大，y的值减小；理由：在每一象限的图象上任意取两点A（x1，y1），B（x2，y2），当k＞0，x2＞x1时，y2-y1=＜0，即y2＜y1．因此，在每一象限内，随着x值的增大，y的值减小．
2．观察当k=-2，-4，-6时，反比例函数的图象（如下图所示），它们有哪些共同特征？
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，师生共同得出答案．
答：它们的图象均位于第二、四象限；在每一象限内，随着x值的增大，y的值增大；它们的图象都不与x轴、y轴相交．
教师总结：反比例函数的图象，当k＞0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；当k＜0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大．
想一想 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q．过点P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1；过点Q分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2．S1与S2有什么关系？为什么？
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师引导，师生共同得出答案．
答：S1=S2；由：在反比例函数(k≠0)的图象上任意取一点，过这个点分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积总等于常数．
设计意图：引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质，同时鼓励学生用自己的语言进行表述，从而提高学生的语言表达能力与数学语言的组织能力．
【典例精析】
例1 已知反比例函数的图象经过点A（2，6）．
（1）这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？
（2）点B（3，4），，D（2，5）是否在这个函数的图象上？
师生活动：师生共同分析，教师引导并提出下列问题：
（1）点A（2，6）在图象上的含义是什么？
（2）图象的位置由哪个量确定？我们如何求出这个量？
（3）反比例函数y随x的变化情况与哪个量有关？y随x的变化情况有没有限制条件？
（4）某点不在图象上的含义是什么？
学生解答，在小组里讨论，互相检查，小组代表展示解答过程．
解：（1）因为点A（2，6）在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小．
（2）设这个反比例函数的解析式为．
因为点A（2，6）在这个函数的图象上，
所以点A的坐标满足，即．
解得k=12．
所以这个反比例函数的解析式为．
把点B，C，D的坐标代入，可知点B，点C的坐标满足函数关系式，点D的坐标不满足函数关系式，所以点B，点C在函数的图象上，点D不在这个函数的图象上．
设计意图：从学生已有的数学知识出发，理解点在图象上的含义，运用待定系数法求函数解析式．通过解析式分析图象及性质，让学生感悟由“数”到“形”的过程，初步体会数形结合的数学思想．
例2 如图，点P是反比例函数图象上一点，作PM⊥y轴于点M，若图中阴影部分的面积为3，则该反比例函数的解析式为 ．
x
y
P
O
M
师生活动：教师出示问题，学生思考，教师请学生代表回答，讲解出现的问题．
解析：设点P的坐标为（x，y）．∵S△POM=3，S△POM=PM·OM，∴PM·OM=6，即．
设该反比例函数的解析式为，∴xy=k．∵k＜0，∴k=-6．∴．
设计意图：让学生理解k的几何意义．
【课堂练习】
1．对于反比例函数y=，下列说法不正确的是（ ）．
A．点（-2，-1）在它的图象上
B．它的图象在第一、第三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
2．如图，函数y1=x-1和函数y2=的图象相交于点M(2，m)，N(-1，n)，若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）．
A．x＜-1或0＜x＜2 B．x＜-1或x＞2
C．-1＜x＜0或0＜x＜2 D．-1＜x＜0或x＞2
3．下列函数中，其图象位于第一、三象限的有______________；在其图象所在象限内，y的值随x值的增大而增大的有_____________．
（1）；（2）；（3）；（4）．
4．已知反比例函数，当m_____________时，其图象的两个分支在第一、三象限内；当m_____________时，其图象在每个象限内y随x的增大而增大．
5．在函数的图象上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），已知x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3由小到大的顺序是___________．
师生活动：教师找几名学生代表回答，讲解出现的问题．
6．反比例函数y=(k＞0)在第一象限的图象如下图所示，点M是图象上一点，MP垂直x轴于点P．如果△MOP的面积为1，那么k的值是_______．
7．设函数，当m取何值时，它是反比例函数？它的图象位于哪个象限？
参考答案
1．C．2．D．3．（1）（2）（3）；（4）．4．，．5．y2＜y1＜y3．6．2．
7．解：由题意，得解得m=3．
所以当m=3时，函数是反比例函数．
当m=3时，代入可得．因为k=1＞0，所以它的图象位于第一、第三象限．
设计意图：进一步巩固所学知识，加深对所学知识的理解．
六、课堂小结
1．一般地，反比例函数的图象是双曲线，它具有以下性质：
（1）当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；
（2）当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
2．反比例函数(k为常数，k≠0)中k的几何意义
如图．
（1）过反比例函数图象上的任意一点P作x轴、y轴的垂线，两条垂线与x轴、y轴围成的长方形的面积等于．
（2）若点A是反比例函数图象上任意一点，过点A作x轴（或y轴）的垂线，则所作垂线、x轴（或y轴）与线段OA围成的三角形的面积等于．
注意：因为反比例函数(k为常数，k≠0)中的k有正负之分，所以在利用解析式表示长方形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．
师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．
设计意图：帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系．
七、板书设计
6.2 反比例函数的图形与性质（2）
1．反比例函数图象的增减性
2．反比例函数中k的几何意义