山东省青岛市市北区青岛第三十七中学2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份山东省青岛市市北区青岛第三十七中学2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 在实数，，0，，，（相邻两个2之间依次多一个0），，，，，中有理数有（ ）
A. 8个B. 7个C. 6个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】根据有理数的定义进行判断即可．
【详解】解：，
在实数，，0，，，（相邻两个2之间依次多一个0），，，，，中有理数有，0，，，，，，共7个，
故选B．
【点睛】本题主要考查了有理数的定义，实数的分类，求一个数的算术平方根，解题的关键是掌握有理数的定义，整数和分数统称为有理数．
2. 下列式子为最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义，对选项逐个判断即可.
【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，是最简二次根式，符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
3. 下列各式中，计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的性质，以及二次根式的乘法运算，进行计算即可求解．
【详解】解：A. 不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的性质以及二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则以及二次根式的性质是解题的关键．
4. 由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（ ）
A. 8mB. 10mC. 16mD. 18m
【答案】C
【解析】
【分析】根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．
【详解】解：由题意得BC＝8m，AC＝6m，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB＝＝10米．
所以大树的高度是10＋6＝16米．
故选：C．
．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
5. 数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据数轴上点的位置得到，由此化简绝对值，然后根据整式的加减计算法则求解即可．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了利用数轴比较有理数的大小，化简绝对值，正确得到是解题的关键．
6. 如图，在矩形ABCD中BC=8，CD=6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（ ）
A. 3B. C. 5D.
【答案】C
【解析】
【分析】由折叠可得△BEF≌△BAE，得出AE=EF，然后根据勾股定理列方程即可.
【详解】∵矩形ABCD，
∴∠BAD=90°，
由折叠可得△BEF≌△BAE，
∴EF⊥BD，AE=EF，AB=BF，
在Rt△ABD中，AB=CD=6，BC=AD=8，
根据勾股定理得：BD=10，即FD=10﹣6=4，
设EF=AE=x，则有ED=8﹣x，
根据勾股定理得：x2+42=（8﹣x）2，
解得：x=3（负值舍去），
则DE=8﹣3=5，
故选C.
【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）和矩形的性质．根据勾股定理列方程是解决本题的关键.
7. 如图，每个小正方形边长为1，四边形的顶点都在格点上，则下面4条线段长度为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理求得每条线段的长度即可．
【详解】解：，，，，
故长度为的线段是，
故选：．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
8. 如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】图中正方形的边长为1，则可根据勾股定理求出正方形对角线的长度，以对角线长度为半径作圆与x轴交于点A，则点A表示的数即为1加上对角线的长度．
【详解】解：应用勾股定理得，正方形的对角线的长度，
以正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，所以数轴上的点A表示的数为：；
故答案为：C．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，属于基础题，要熟练掌握．
9. 如图，在△ABC中，AB=10，BC=8，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长是（ ）
A. 3B. 3.5C. 4.2D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】设NB=x，则AN=10-x，由翻折的性质可知ND=10-x，然后在△BND中利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设NB=x，则AN=10-x．
由翻折的性质可知：ND=AN=10-x．
∵点D是BC的中点，
∴BD=BC=4．
Rt△NBD中，由勾股定理可知：ND2=NB2+DB2，
即（10-x）2=x2+42，
解得：x=4.2．
∴BN=4.2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是翻折的性质和勾股定理的应用，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
10. 如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外正方形②和，…，依次类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为（ ）

A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可知第一个正方形的面积是64，则第二个正方形的面积是32，…，进而可找出规律得出第n个正方形的面积，即可得出结果．
【详解】解：第一个正方形的面积是64；
设第一个等腰直角三角形的直角边长为 由勾股定理可得：
∴
解得：
∴第二个正方形的面积是；
同理：第三个正方形的面积是；
…
第n个正方形的面积是，
当时，正方形的面积为，
∴正方形⑤的面积是4，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理．解题的关键是找出第n个正方形的面积．
二、填空题
11. 的绝对值是______，的相反数是______，的算术平方根是______．
【答案】 ①. ## ②. 2 ③. 2
【解析】
【分析】先求出，再根据负数的绝对值是它的相反数即可求出的绝对值；先求出，再根据负数的绝对值是它的相反数即可求出的相反数；先求出，再由4的算术平方根是2即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
∵，的相反数是2，
∴的相反数是2，
∵，4的算术平方根是2，
∴的算术平方根是2
故答案为：；2；2．
【点睛】本题主要考查了实数的性质，算术平方根和立方根以及实数比较大小，熟知立方根和算术平方根的求解方法是解题的关键．
12. 已知聪明的同学你能不用计算器得出（1）_______．（2）_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据题意，利用小数点移动规律得到结果即可．
【详解】解：（1）∵，
∴．
（2）∵，
∴，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的性质是解本题的关键．
13. 如图，在中，，，．以AB为一边在的同侧作正方形ABDE，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】16
【解析】
【分析】首先根据勾股定理求得AB边的长度，然后利用正方形面积减去三角形的面积即可求得阴影部分面积．
【详解】解：在中，，，，
由勾股定理可知：，
∴正方形面积为：，三角形面积为：，
阴影部分面积为：，
故答案为16．
【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
14. 在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，三棱柱的上底面与下底面是边长为0.4米的正三角形，一只蚂蚁从点处爬行翻过三棱柱到处需要走的最短路程是________米．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意将木块展开，再利用两点之间线段最短求出对角线长是解题关键．
【详解】解：如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，

∴长方形的长为米米，
∵长方形的宽为米，
∴一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是对角线，
∴米，
故答案为：．
15. 图1是我国著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形所围成，将四个直角三角形的较短边（如）向外延长1倍得到点，，，，并连接得到图2．已知正方形与正方形的面积分别为和，则图2中阴影部分的面积是______

【答案】30
【解析】
【分析】由正方形与正方形的面积分别为和,可得大小正方形的边长，设四个直角三角形的较短边为，则在中，由勾股定理可求出，从而可求出相关三角形的边长，即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：∵正方形与正方形的面积分别为和，
∴，，
设四个直角三角形的较短边长为，
∴在中，，，
由题意，根据勾股定理得，，即，
解得，（舍去），
∴，
∴，
，
，
∴图2中阴影部分的面积
，
故答案为：30．
【点睛】本题考查有关勾股定理的应用．解决此题的关键是根据勾股定理求出四个直角三角形的较短边．
16. 如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得，连接，当________时，是以为腰等腰三角形．

【答案】或
【解析】
【分析】对是以为腰的等腰三角形分类讨论，当时，设，可得到，再根据折叠可得到，然后在Rt△ABE中利用勾股定理列方程计算即可；当时，过A作AH垂直于于点H，然后根据折叠可得到，在结合，利用互余性质可得到，然后证得△ABE≌△AHE，进而得到，然后再利用等腰三角形三线合一性质得到，然后在根据数量关系得到．
详解】解：当时，设，则，
∵沿翻折得，
∴，
在Rt△ABE中由勾股定理可得：即，
解得：；
当时，如图所示，过A作AH垂直于于点H，

∵AH⊥，，
∴，
∵，
∴，
∵沿翻折得，
∴，
∴，
在△ABE和△AHE中，
∴△ABE≌△AHE（AAS），
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
综上所述，，
故答案：
【点睛】本题主要考查等腰三角形性质，勾股定理和折叠性质，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰，然后结合勾股定理计算即可．
三．解答题
17. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）2
【解析】
【分析】（1）先计算零指数幂，负整数指数幂以及去绝对值，再计算加减法即可；
（2）先化简二次根式，再利用二次根式的除法计算法则和平方差公式进行求解即可；
（3）先化简二次根式，再合并同类二次根式，最后根据二次根式的除法计算法则求解即可；
（4）根据二次根式的混合计算法则求解即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
；
【小问3详解】
解：原式
；
【小问4详解】
解：原式
．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂和二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
18. 解方程
(1)2(x+1)2＝8
(2)3(2x﹣1)3＝﹣81
【答案】(1)x＝1或x＝﹣3；(2)x＝﹣1.
【解析】
【分析】(1)利用直接开平方法求出x的值即可；
(2)利用立方根的性质开立方求出x+10＝﹣3即可得出答案.
【详解】(1)2(x+1)2＝8，
(x+1)2＝4，
则x+1＝±2；
解得：x＝1或x＝﹣3；
(2)3(2x﹣1)3＝﹣81，
(2x﹣1)3＝﹣27，
2x﹣1＝﹣3.
解得：x＝﹣1.
【点睛】此题考查解一元二次方程-直接开平方法，立方根，解题关键在于掌握运算法则.
19. 如图，已知线段是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为10，圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点、两点嵌有一圈长度最短的金属丝．

（1）现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是_______．
A. B. C. D.
（2）求该金属丝的长．
【答案】（1）C （2）26
【解析】
【分析】（1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题；
（2）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．
【小问1详解】
因为圆柱的侧面展开面为长方形，展开应该是两线段，且有公共点C．
故答案为：C；
【小问2详解】
如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度．

∵圆柱底面的周长为10，圆柱的高，
∴，
∴该长度最短的金属丝的长为．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
20. 某工厂的大门如图所示，其中四边形是长方形，上部是以为直径的半圆，其中米，米，现有辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，问这辆车能否通过厂门？说明理由．

【答案】能通过，理由见解析
【解析】
【分析】因为上部是以为直径的半圆，O为中点，同时也为半圆的圆心，为半径，的长度为货车宽的一半，根据勾股定理可求出的长度．的长度等于的长度．如果的长度大于2.5米货车可以通过，否则不能通过．
【详解】解：能通过，理由如下：
设点O为半圆的圆心，则O为的中点，为半圆的半径，

如图，∵直径米，
∴半径米，（米），
在中，（米），
∴（米），
∵，
∴能通过．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用勾股定理求出的长度．
21. 阅读材料：
黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：，．像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
（1）的有理化因式可以是 ，分母有理化得 ．
（2）计算：
①．
②已知：，，求的值．
【答案】（1），
（2）①，②14
【解析】
【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；
（2）①原式各分母有理化，合并即可得到结果．
②将x与y分母有理化求的值，求的值，把化为，整体代入计算即可得到结果．
【小问1详解】
∵，
∴的有理化因式可以是；
；
故答案为：；；
【小问2详解】
①原式；
②∵，，
∴．
【点睛】此题主要考查了二次根式的有理化因式，分母有理化，二次根式的混合运算，代数式求值等，解决问题的关键是熟练掌握阅读材料中二次根式的有理化因式的定义，分母有理化的定义及计算，二次根式的加减计算，完全平方公式，整体代入法求代数式的值．
附加题：
22. 在直线上次取A，B，C三点，分别以AB，BC为边长在直线的同侧作正三角形，作得两个正三角形的另一顶点分别为D，E．
（1）如图①，连结CD，AE，求证：；
（2）如图②，若，，求DE的长；
（3）如图③，将图②中的正三角形BEC绕B点作适当的旋转，连结AE，若有，试求∠的度数．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）∠DEB＝30°.
【解析】
【分析】（1）欲证明CD＝AE，只要证明△ABE≌△DBC即可；
（2）如图②，取BE中点F，连接DF，首先证明△DBF是等边三角形，然后证明△BDE是直角三角形，再利用勾股定理计算即可；
（3）如图③，连接DC，先证明△ABE≌△DBC，再利用勾股定理的逆定理证明△DEC是直角三角形，得到∠DEC＝90°即可解决问题．
【详解】解：（1）∵△ABD和△ECB都是等边三角形，
∴AD＝AB＝BD，BC＝BE＝EC，∠ABD＝∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝∠DBC，
在△ABE和△DBC中，，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴CD＝AE；
（2）如图②，取BE中点F，连接DF，
∵BD＝AB＝1，BE＝BC＝2，∠ABD＝∠EBC＝60°，
∴BF＝EF＝1＝BD，∠DBF＝60°，
∴△DBF是等边三角形，
∴DF＝BF＝EF，∠DFB＝60°，
∵∠BFD＝∠FED＋∠FDE，
∴∠FDE＝∠FED＝30°
∴∠EDB＝180°−∠DBE−∠DEB＝90°，
∴DE＝；
（3）如图③，连接DC，
∵△ABD和△ECB都是等边三角形，
∴AD＝AB＝BD，BC＝BE＝EC，∠ABD＝∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝∠DBC，
在△ABE和△DBC中，，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴AE＝DC，
∵DE2＋BE2＝AE2，BE＝CE，
∴DE2＋CE2＝CD2，
∴∠DEC＝90°，
∵∠BEC＝60°，
∴∠DEB＝∠DEC−∠BEC＝30°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理以及勾股定理逆定理、等边三角形的性质等知识，寻找全等三角形是解决问题的关键，要学会添加辅助线的方法，属于中考常考题型．