2023~2024学年山东省青岛市市北区八年级(上)期末数学试卷(解析版)

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1. 下列各数中，为无理数的是（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】A
【解析】A、无理数，符合题意；
B、小数点后的是无限循环的，则是有理数，不符题意；
C、0是整数，属于有理数，不符题意；
D、是有理数，不符题意,
故选：A．
2. 平面直角坐标系中，点在第四象限，且P到x轴和y轴的距离分别是3和4，则点P的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵点P在第四象限，且点P到x轴和y轴的距离分别为3和4，
∴点P的横坐标是4，纵坐标是，即点P的坐标为．
故选：A．
3. 在中，，，的对边分别记为，，，则由下列条件能判定为直角三角形的有（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】解：（1），，
，
，
为直角三角形；
（2），，
，
为直角三角形；
（3），
，
为直角三角形；
（4），
设，，（其中，
，
不是直角三角形，
故选：C
4. 若一组数据的平均数为10，方差为，则数据的平均数和方差分别是（ ）
A. ，B. ，C. 10，D. 10，
【答案】B
【解析】解：的平均数是10，
则数据平均数是，
方差是，
则数据的方差是，
故选：B．
5. 某农场去年计划生产玉米和小麦共吨，采用新技术后，实际产量为吨，其中玉米超产，小麦超产，设该农场去年计划生产玉米吨、小麦吨，则所列方程组正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】解：根据题意可得：．
故选：A．
6. 如图，在和中，，，，与相交于点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：在和中，，，，
，，
，
，
．
故选：C
7. 一次函数与正比例函数的图象在同一直角坐标系中的位置可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】解：A、由一次函数的图象可得，，则，而正比例函数图象可得，符合题意；
B、由一次函数的图象可得，，则，而正比例函数图象可得，不符合题意；
C、由一次函数图象可得，，则，而正比例函数图象可得，不符合题意；
D、由一次函数的图象可得，，则，而正比例函数图象可得，不符合题意；
故选：A．
8. 如图，ABCD，∠ABE＝∠EBF，∠DCE＝∠ECF，设∠ABE＝α，∠E＝β，∠F＝γ，则α，β，γ的数量关系是（ ）
A. 4β﹣α+γ＝360°B. 3β﹣α+γ＝360°
C. 4β﹣α﹣γ＝360°D. 3β﹣2α﹣γ＝360°
【答案】A
【解析】解：过E作EN∥AB，过F作FQ∥AB，
∵∠ABE＝∠EBF，∠DCE＝∠ECF，∠ABE＝α，
∴∠ABF＝3α，∠DCF＝4∠ECD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EN∥CD，AB∥FQ∥CD，
∴∠ABE＝∠BEN＝α，∠ECD＝∠CEN，∠ABF+∠BFQ＝180°，∠DCF+∠CFQ＝180°，
∴∠ABE+∠ECD＝∠BEN+∠CEN＝∠BEC，∠ABF+∠BFQ+∠CFQ+∠DCF＝180°+180°＝360°，
即α+∠ECD＝β，3α+γ+4∠DCE＝360°，
∴∠ECD＝β﹣α，
∴3α+γ+4（β﹣α）＝360°，
即4β﹣α+γ＝360°，
故选A．
二.填空题（本题满分24分，共8道小题，每小题3分）
9. 将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为_________________________________________________.
【答案】如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行
【解析】命题可以改写为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行．
故答案为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行
10. 某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如下表：如果按创新性占，实用性占计算总成绩，那么甲、乙、丙、丁中应推荐的作品是______．
【答案】乙
【解析】解：甲的平均成绩（分），
乙的平均成绩（分），
丙的平均成绩（分），
丁的平均成绩（分），
∵，
∴乙的平均成绩最高，
∴应推荐乙．
故答案为：乙．
11. 直线与直线的交点坐标是，则关于x，y方程组的解是 _____．
【答案】
【解析】解：∵直线经过，
∴，解得，
∴交点坐标为，
∵方程组的解就是两个一次函数的交点坐标，
∴关于x，y方程组即的解是．
故答案为．
12. 如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，垂足为O，且BO＝1，以点A为圆心．AB为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为_______．

【答案】##
【解析】解：在Rt△AOB中，AB==，
∴AB=AC=，
∴OC=AC-OA=-1，
∴点C表示的数为1-．
故答案为：1-．
13. 若实数满足，且恰好是直角三角形的两条边，则该直角三角形的斜边长为_____．
【答案】或．
【解析】，
∴，
，
①当是直角边时，
则该直角三角形的斜边，
②当是斜边时，则斜边为，
故答案为或．
14. 在直角坐标系中，Rt的位置如图所示，，，，则点的坐标是______．
【答案】
【解析】解：如图，过点B作于点C，
，，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
15. 在平面直角坐标系中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P、Q两点为“友好点”．如图中的P，Q两点即为“友好点”．已知点A的坐标为．
（1）请在x轴上提供一个点A的“友好点”，它的坐标为 _________________；
（2）在点，，中，为点A的“友好点”的是 ________；
（3）直线，与x轴相交于点C，与y轴相交于点D，M为线段上一点，若第二象限存在点N，使得M，N两点为“友好点”，请你提供一个符合题意的点N，N的坐标为 __________________．
解：（1）∵点的“友好点”在x轴上，
∴纵坐标为0，
∴，
∴，
∴点A的“友好点”的坐标为或；
故答案为：或；
（2）∵点A的坐标为，
∴，
点，，中，
，，，
∴点A的友好点的是R，S；
故答案为：R，S；
（3）由题意，直线与x轴交于，与y轴交于．
点M在线段CD上，设其坐标为，
则有：，，且．
点M到x轴的距离为，点M到y轴的距离为，
则．
∴点M的“友好点”N满足横纵坐标的绝对值之和为5．
∵第二象限存在点N，使得M，N两点为“友好点”，
∴N的坐标为（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
16. 如图a，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点分别落在的位置，再沿折叠成图，若，则___________．
【答案】
【解析】解：，
，，
即，，
．
，
，
由折叠可得：，
．
故答案为：．
三.作图题（本题满分6分）
17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，．
（1）在图中画出关于x轴对称的图形；
（2）点P是y轴上一点，要使的周长最小，则点P的坐标为 ．
解：（1）如图，即为所求．
（2）如图，取点C关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，连接，
此时，为最小值，
∴最小，
即的周长最小，
则点P即为所求．
设直线的解析式为，
将，代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为．
令，得，
∴点P的坐标为．
故答案为：．
四.解答题（本题共有7道小题，满分66分）
18. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式
；
（2）原式
.
19. 解方程组：
（1）；
（2）．
解：（1），
把①代入②，得，
解得，
把代入①，得，
故原方程组的解为；
（2）原方程组整理，得，
，得，
解得，
把代入①，得，
故原方程组的解为．
20. 目前，重庆市正全面开展生活垃圾分类工作．随着生活垃圾分类的全面推广，一些街镇也积极行动起来，通过入户宣传、开展各种趣味活动等，提高居民参与生活垃圾分类的积极性．为了进一步提高垃圾分类的准确度，某社区对甲、乙两个小区的居民进行了有关垃圾分类常识的测试，并从甲、乙两小区各随机抽取20名居民的测试成绩进行整理分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），
下面给出了部分信息：
甲小区20名居民测试成绩：13，15，16，19，20，21，22，23，24，25，25，26，27，27，28，28，28，29，30，30．
乙小区20名居民测试成绩在C组中的数据是：20，23，21，24，22，21．
甲、乙两小区被抽取居民的测试成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）___________，___________．
（2）根据以上数据，你认为___________小区（填“甲”或“乙”）垃圾分类的准确度更高．
（3）若甲、乙两个校区居民共2400人，估计两小区测试成绩优秀的居民人数是多少？
解：（1）∵乙小区20名居民测试成绩在C组中的数据所占百分比为，
∴，
∵A、B组数据的个数为，
∴中位数为，即；
故答案为：40、22.5；
（2）根据以上数据，认为甲小区垃圾分类的准确度更高，理由如下：
甲小区垃圾分类的平均数及中位数均大于乙小区，所以甲社区的平均成绩高且高分人数多，
故答案为：甲；
（3）估计两个小区测试成绩优秀的居民人数是（人）．
21. 小明和小亮参加庆元旦健步行活动．小明先走60米，然后小亮才开始走，设小明走的路程为（米），小亮走的路程为（米），、与小亮所走时间x（分钟）之间的部分函数图象如图所示，
请回答下面的问题：
（1）时，小亮走的路程 米．
（2）时，小明走的路程 米．
（3）若小亮行走6分钟后，仍保持原来的速度前进，小明则提高速度改为慢跑，这样又过了2分钟，两人相距10米，小明慢跑速度为每分钟 米．
解：（1）设，
∵当时，，
∴，解得，
∴，
∴当时，，
故答案为：240．
（2）设，
∵当时，；当时，，
∴，解得，
∴，
∴当时，，
故答案为：420．
（3）设小明慢跑速度为每分钟a米．
当时，小亮走的路程为（米）；小明走的路程为米，
根据题意，得，
经整理，得，即或，
解得或105，
∴小明慢跑速度为每分钟115米或105米，
故答案：115或105；
22. 已知：如图，点B、C在线段的异侧，点E、F分别是线段、上的点，，．
（1）求证：；
（2）若，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，则 度．
解：（1）证明：∵，，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴．
故答案为：60．
23. 爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏．随着春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年．某百货超市计划购进春联和灯笼这两种商品．已知第一次购进5个灯笼和4副春联花费185元，第二次购进3个灯笼和8幅春联花费195元．
（1）求每个灯笼和每副春联的进价各是多少元？
（2）由于灯笼和春联畅销，超市决定第三次购进灯笼和春联这两种商品共300件，其中灯笼的数量不低于75个，且灯笼和春联的进价保持不变．若每个灯笼的售价为30元，每副春联的售价为25元，在销售中灯笼有的损坏，春联有的损坏．若第三次购进的灯笼和春联全部售出（损坏的灯笼和春联不能售出），请问当第三次购进多少个灯笼时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是多少元？
解：（1）设每个灯笼和每副春联的进价各是x元和y元，根据题意，得：
，解得，
∴每个灯笼和每副春联的进价各是25元和15元．
（2）设第三次购进灯笼m件，那么购进春联件，．
设第三次购进的灯笼和春联全部售出（损坏的灯笼和春联不能售出）获得的利润为w，根据题意，得：
，
∵，
∴w随m的减小而增大，
∵，
∴当时，w最大，此时，
∴当第三次购进75个灯笼时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是2085元．
24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点．
（1）求m的值及的解析式；
（2）若点M是直线上的一个动点，连接OM，当的面积是面积的2倍时，请求出符合条件的点M的坐标；
（3）一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出k的值．
解：（1）与交于点．
设的解析式为，将点的坐标代入的解析式，可得，
，，
解得，，
的解析式为
（2）设，
，令，则，令，则
，
又
的面积是面积的2倍，
即
解得或
或
（3）一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，
或
当过点C（2,4）时,将点C坐标代入y=kx＋2并解得:k=l,
或或1.项目作品
甲
乙
丙
丁
创新性
实用性
平均数
中位数
方差
甲小区
23.8
25
25.75
乙小区
22.3
b
24.34