山东省青岛市市南区青岛格兰德中学2023-2024学年八年级上学期9月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份山东省青岛市市南区青岛格兰德中学2023-2024学年八年级上学期9月月考数学试题（解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 的算术平方根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：∵，3的算术平方根是，
∴的算术平方根是．
故选A．
【点睛】本题考查求一个数的算术平方根．掌握算术平方根的定义是解题关键．
2. 给出下列四个说法：
①由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形；
②由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数；
③若，，是勾股数，且最大，则一定有；
④若三个整数，，是直角三角形的三边长，则，，一定是勾股数.
其中正确的是 （ ）
A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理、勾股定理逆定理以及勾股数的定义分别判断各说法即可.
【详解】①由于，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形是直角三角形，但是0.3，0.4，0.5不是整数，所以0.3，0. 4，0.5不是勾股数，故①说法错误；
②虽然以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，但是0.5，1.2，1.3不是整数，所以0.5，1.2，1.3不是勾股数，故②说法错误；
③若，，是勾股数，且最大，则一定有，故③说法正确；
④若三个整数，，是直角三角形的三边长，则，所以，所以，，一定是勾股数故④说法正确.
故选C
【点睛】此题考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．注意：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2＋b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…．
3 下列各式：①，②，③，④中，最简二次根式有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】利用最简二次根式的概念分析得出答案．
【详解】解：①是最简二次根式；
②=，不是最简二次根式；
③，不是最简二次根式；
④，不是最简二次根式；
最简二次根式有1个，
故选：A．
【点睛】本题考查了最简二次根式，正确理解二次根式的定义是解题的关键．
4. 若点M（m+3，m﹣2）在x轴上，则点M的坐标为（ ）
A. （0，﹣5）B. （0，5）C. （﹣5，0）D. （5，0）
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用在x轴上点的坐标特征得出纵坐标为零进而得出答案．
【详解】解：∵M（m+3，m﹣2）是x轴上的点，
∴m﹣2＝0，
解得：m＝2．
∴点M的坐标为（5，0）．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确把握x轴上点的坐标特征是解题关键．
5. 昌平公园建成于1990年，公园内有一个占地10000平方米的静明湖，另外建有弘文阁、碑亭、文节亭、诗田亭、逸步桥、牌楼等园林景观及古建筑．如图，分别以正东、正北方向为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如果表示文节亭的点的坐标为（2，0），表示园中园的点的坐标为（-1，2），则表示弘文阁所在的点的坐标为（ ）
A. （－2，－3）B. （－2，－2）
C. （－3，－3）D. （－3，－4）
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用文节亭的点的坐标为（2，0），进而得出原点位置进而得出答案．
【详解】如图所示：
弘文阁所在的点的坐标为：（-2，-2）．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
6. 如图，已知圆柱的底面直径BC=，高AB=3，小虫在圆柱表面爬行，从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题解析：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．
在RT△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=3，所以AC=，∴从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为2AC=，故选D．
7. 如果，，那么约等于（ ）
A. 28.72B. 0.2872C. 13.33D. 0.1333
【答案】C
【解析】
【分析】由及立方根的性质即可求得结果．
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查了立方根的性质，即，掌握此性质是本题的关键．
8. 如图，已知OA＝OB，点A表示的数为a，则下列说法正确的是（ ）
A. a的值为﹣3.1B. a的绝对值为
C. a的相反数为3.1D. a的倒数为
【答案】B
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出，即可得到，即可求出a的绝对值为，相反数为，倒数为，即可得到答案．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴点A表示的数为，即，
∴a的绝对值为，相反数为，倒数为，
故选B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，倒数，绝对值和相反数的定义，解题的关键在于能够准确求出．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 在平面直角坐标系内，点到x轴的距离是______．
【答案】12
【解析】
【分析】根据点到x轴的距离是其纵坐标的绝对值解答即可．
【详解】解：点到x轴的距离是12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查平面直角坐标系内点到坐标轴的距离．掌握点到x轴的距离是其纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是其横坐标的绝对值是解题关键．
10. 比较大小：___．（用“＞”，“＜”或“＝”填空）
【答案】>
【解析】
【分析】先求出，然后利用作差法得到，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：＞．
【点睛】本题主要考查了实数比较大小，解题的关键在于能够熟练掌握实数比较大小的方法．
11. 已知一个正数的平方根是3x﹣2和5x+6，则这个数是 __________．
【答案】
【解析】
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，即可列方程求得x的值，进而求解．
【详解】解：根据题意得：3x-2+（5x+6）=0，
解得：x=，
则这个数是（3x-2）2=（）2=；
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
12. 在平面直角坐标系中，点P在x轴的上侧，在y轴的左侧，距离每个坐标轴都是4个单位，则点P关于y轴的对称点P′的坐标为____．
【答案】（4，4）
【解析】
【分析】根据点P在x轴的上侧，在y轴的左侧，得到点P在第二象限，再由点P距离每个坐标轴都是4个单位，则点P的坐标为（-4，4），然后根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数求解即可．
【详解】解：∵点P在x轴的上侧，在y轴的左侧，
∴点P在第二象限，
又∵点P距离每个坐标轴都是4个单位，
∴点P的坐标为（-4，4），
∴点P关于y轴对称的点的坐标为（4，4），
故答案为：（4，4）．
【点睛】本题主要考查了点到坐标轴的距离，根据点所在的象限求点的坐标，关于y轴对称的点的坐标特征，解题的关键在于能够根据题意求出P点坐标．
13. 在中，给出以下4个条件：
①；②；③；④．
从中任取一个条件，可以判定出是直角三角形的有______．（填序号）
【答案】①②③
【解析】
【分析】由可直接得出是直角三角形，可判断①；由，结合三角形内角和定理可求出，得出是直角三角形，可判断②；由，可设，则，，根据勾股定理逆定理即可证明是直角三角形，可判断③；由，可设，则，，结合三角形内角和定理可求出，从而即可证明，可判断④．
【详解】解：①可直接得出是直角三角形；
②∵，，
∴，
∴，故是直角三角形；
③∵，故可设，则，，
又∵，即，
∴是直角三角形；
④∵，故可设，则，，
∵，
∴，
解得：，
∴，，，
∴不是直角三角形．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查直角三角形的定义，三角形内角和定理，勾股定理逆定理．熟练掌握以上知识点是解题关键．
14. 如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为将线段按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段按逆时针方向旋转45°，长度伸长为的2倍，得到线段；如此下去，得到线段，，…，（n为正整数），则点的坐标为______．

【答案】
【解析】
【分析】首先根据题意，可得，，，，，……，，发现规律，可得，再根据每旋转8次为一个循环组，即可求出点的坐标．
【详解】解：由题意，可得，
，
，
，
，
……，
，
∴，
∵每一次都旋转，，
∴每旋转8次为一个循环组，
，
∴点是第253组的第7次变换对应的点，在x轴的正半轴上，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化−旋转，规律型−点的坐标，解决本题的关键是掌握旋转的性质找出规律．
15. 如图，△ABC在直角坐标系内的位置如图，且C点坐标是(﹣2，1)．
（1）则点A的坐标 和点B的坐标 ；
（2）请在这个坐标系内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于y轴对称；
（3）请直接写出△A1B1C1的面积．
【答案】（1）(0，3)；(﹣4，4)；（2）见解析；（3）5
【解析】
【分析】（1）根据直角坐标系即可写出坐标；
（2）找到各顶点关于y轴的对应点，再顺次连接即可求解；
（3）根据割补法即可求解．
详解】（1）由直角坐标系可得A(0，3)，B(﹣4，4)
故答案为：(0，3)；(﹣4，4)；
（2）如图，△A1B1C1所作；
（3）△A1B1C1的面积＝4×3﹣×2×2﹣×4×1﹣×2×3＝5．
【点睛】此题主要考查坐标与图形，解题的关键是熟知坐标的对称性．
四、解答题（本大题共7道题，共72分）
16. 计算题
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）6
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的加减混合运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（3）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（4）根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算．掌握其运算法则是解题关键．
17. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）或6
（2）
【解析】
【分析】（1）方程整理后，利用平方根性质计算即可求出解；
（2）利用立方根性质计算即可求出解．
【小问1详解】
解：
∴，
∴，
解得：或6；
【小问2详解】
解：
∴，
解得：．
【点睛】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
18. 如图，在三角形ABC中，AB＝10，BC＝12，AD为BC边上的中线，且AD＝8，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）求DE的长．
【答案】（1）证明见详解；（2）4.8；
【解析】
【分析】（1）求出BD，求出AD2+BD2＝AB2，根据勾股定理的逆定理得出∠ADB＝90°即可；
（2）求出AC＝AB＝10，根据三角形的面积公式求出DE即可．
【详解】（1）证明：∵BC＝12，AD为BC边上的中线，
∴BD＝DCBC＝6，
∵AD＝8，AB＝10，
∴BD2+AD2＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC；
（2）解：∵AD⊥BC，AD为BC边上的中线，
∴AB＝AC，
∵AB＝10，
∴AC＝10，
∵△ADC的面积S，
∴，
解得：DE＝4.8．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
19. 如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，把长方形ABCD沿着直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处，若AE＝5，BF＝3．求：
（1）AB的长；
（2）△CDF的面积．
【答案】（1）9；（2）54
【解析】
【分析】（1）由折叠的性质可知，EF=AE=5，然后再直角△BEF中利用勾股定理求出BE的长即可得到答案；
（2）由四边形ABCD是长方形，得到AD=BC，CD=AB=9，∠C=90°，由折叠的性质可得AD=DF，则BC=AD=DF，设CF=x，则BC=DF=x+3，由，得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：（1）由折叠的性质可知，EF=AE=5，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=90°，
∴，
∴AB=AE+BE=9；
（2）∵四边形ABCD是长方形，
∴AD=BC，CD=AB=9，∠C=90°，
由折叠的性质可得AD=DF，
∴BC=AD=DF，
设CF=x，则BC=DF=x+3，
∵，
∴，
解得，
∴CF=12，
∴
【点睛】本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理与折叠问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
20. 观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：
例1：．
例2：
（1）填空：________，________．
（2）利用上面的结论，求下列式子的值．
（3）根据你的推断，比较大小______（填＞，＜，＝）．
【答案】（1）；．
（2）．
（3）．
【解析】
【分析】利用分母有理化，进行计算即可解答;
利用例的规律，进行计算即可解答；
先求出它们的倒数，然后再进行比较即可解答．
【小问1详解】
；
；
故答案为：；．
【小问2详解】
故答案为：．
【小问3详解】
；
；
而，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化，实数大小比较，规律行：数字的变化类，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21. 解决下列与平面直角坐标系有关的知识：
（1）已知点P（，），解答下列问题
①若点Q的坐标为（4，5），直线轴，直接写出点P的坐标_____；
②若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值．
（2）在如图所示的平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O（0，0）、A（，10）、B（，8）、C（，0），求四边形OABC的面积．
【答案】（1）①（4，8）；②0
（2）100
【解析】
【分析】（1）①根据平行于y轴的直线的横坐标相等，可得关于a的方程，解得a的值，再求得其纵坐标，即可得出答案；②根据第二象限的点的横纵坐标的符号特点及它到x轴、y轴的距离相等，可得关于a的方程，解得a的值，再代入要求的式子计算即可；
（2）作轴于点E，作轴于点D，根据四边形列式计算可得．
【小问1详解】
解：①点Q的坐标为（4，5），直线轴，
，
，
，
点P的坐标为（4，8）．
故答案为：（4，8）．
②点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，
，
，
，
．
【小问2详解】
解：如图，过点A作轴于点E，作轴于点D，
．
【点睛】本题考查了三角形面积、坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点及割补法求不规则几何图形面积是解题的关键．
22. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A(0，m)、B(n，0)，且|m﹣n﹣3|+＝0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒．
(1)求OA、OB的长；
(2)连接PB，设△POB的面积为S，用t的式子表示S；
(3)过点P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)OA=6，OB=3；(2)S＝|6﹣t|(t≥0)；(3)t＝3或9．
【解析】
【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性质即可求得m、n的值，即可解题；
（2）连接PB，t秒后，可求得OP＝6﹣t，即可求得S的值；
（3）作出图形，易证∠OBA＝∠OPE，只要OP＝OB，即可求证△EOP≌△AOB，分两种情形求得t值，即可解题．
【详解】(1)∵|m﹣n﹣3|+＝0，
且|m﹣n﹣3|≥0，≥0
∴|m﹣n﹣3|＝＝0，
∴n＝3，m＝6，
∴点A(0，6)，点B(3，0)；
(2)连接PB，
t秒后，AP＝t，OP＝|6﹣t|，
∴S＝OP•OB＝|6﹣t|；(t≥0)
(3)作出图形，
∵∠OAB+∠OBA＝90°，∠OAB+∠APD＝90°，∠OPE＝∠APD，
∴∠OBA＝∠OPE，
∴只要OP＝OB，即可求证△EOP≌△AOB，
∴AP＝AO﹣OP＝3，或AP′＝OA+OP′＝9
∴t＝3或9．
【点睛】本题考查了算术平方根及绝对值非负性的性质，全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△EOP≌△AOB是解题的关键．