四川省巴中市通江中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份四川省巴中市通江中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了 已知圆与直线相切，则， 下列选项正确的是， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由题意求得点B的坐标，再由向量的模求解.
【详解】解：因为点是点在坐标平面内的射影，
所以，则，所以，
故选：A
2. 已知圆与直线相切，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用点到直线的距离公式，结合圆的切线性质求解即得.
【详解】圆的圆心为，半径为，
依题意，.
故选：D
3. 已知甲、乙两名同学在高二的6次数学周测的成绩统计如图，则下列说法不正确的是（ ）
A. 甲的中位数低于乙的中位数
B. 若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则
C. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差
D. 甲成绩比乙成绩稳定
【答案】A
【解析】
【分析】由折线图甲乙同学成绩的分布情况结合统计相关知识即可作出判断.
【详解】对于A：由折线图可知，甲的中位数大于90，乙同学的中位数小于90，
所以甲的中位数大于乙的中位数，故A错误；
对于B，由折线图可知，甲同学的平均成绩高于乙同学的平均成绩，B正确；
对于C，由折线图可知，甲成绩的极差小于乙成绩的极差，C正确；
对于D，由折线图可知，甲成绩波动性小于乙成绩的波动性，
所以甲成绩比乙成绩稳定，D正确.
故选：A.
4. 如图所示，已知直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，，，，分别是，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系求异面直线，所成角的余弦值即可.
【详解】解：连接，，，并且，的中点为，
因为底面是菱形，所以，
又因为四棱柱为直四棱柱，
所以底面，
又因为，所以底面，
所以，.
以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示）.
则，，，，，
于是，，，
所以，，
设异面直线，所成角为，
则.
故选：D
【点睛】
5. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆方程的概念求解.
【详解】因为方程表示焦点在轴上椭圆，
所以，解得，
故选:C.
6. 过点作一条直线，它夹在两条直线：和：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】当斜率不存在时，不符合题意，当斜率存在时，设所求直线方程为，进而得出交点，根据点为两交点的中点建立等式，求出的值，从而即可解决问题.
【详解】如果直线斜率不存在时，直线方程为：，不符合题意；
所以直线斜率存在设为，
则直线方程为，
联立直线得： ，
联立直线得：，，
所以直线与直线，直线的交点为：
，
又直线夹在两条直线和之间的线段恰被点平分，
所以，
解得：，
所以直线的方程为：，
故选：B.
7. 在棱长为2的正方体中，下列说法正确的是（ ）
A. 平面与平面的距离为B. 三棱锥外接球的表面积为
C. D. 直线BC与平面所成的角为
【答案】A
【解析】
【分析】D选项，作出辅助线，由线面垂直得到⊥，故⊥平面，直线与平面所成的角为，且，故D错误；C选项，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到，所以⊥平面，⊥；B选项，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，从而求出外接球半径，得到外接球表面积；A选项，先证明出平面平面，利用点到平面距离向量公式得到答案.
【详解】D选项，如图1，连接，与相交于O点，

因为⊥平面，且平面，所以⊥，
又因为⊥，，平面，
所以⊥平面，
即直线与平面所成的角为，
且，故D错误；
C选项，如图2，连接，以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，

则，
则，
设平面的法向量为，
则，
令，则，则，
则，所以⊥平面，
又因为平面，则⊥，故C错误；
B选项，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，
设其外接球的半径为R，则，即，
所以，故B错误；
A选项，如图3，因为，平面，平面，

所以平面，同理平面，
又，平面，所以平面平面，
由B选项可知，平面的一个法向量为，
且，
则两平面间的距离，故A正确.
故选：A
8. 已知圆和点，若点在圆上，且，则实数的最小值是（ ）
A. B. 6C. -6D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，根据得到方程，分，，三种情况，结合两圆有公共点，从而由圆心距和半径之间的关系得到不等式，求出答案.
【详解】设，由，得，
化简得，
若，此时不存在，舍去，
若，此时点坐标，但不满足，
故不合要求，舍去，
若，即点在圆上，
圆心为，半径.
圆的圆心为，半径，又点在圆上，故圆与圆有公共点，
所以，解得596，
所以或，即的最小值为.
故选：D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列选项正确的是（ ）
A. 过点且和直线平行的直线方程是
B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
C. 若直线：与：平行，则与距离为
D. 直线的倾斜角的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】选项A：利用两直线平行的条件求解即可，选项B：利用两直线垂直结合充分必要条件求解即可，选项C:利用两直线平行结合两平行直线的距离求解即可，选项C：利用斜率倾斜角的关系求解即可.
【详解】对于A，所求直线与直线平行，
则可设所求直线方程（），
∵所求直线过点，
∴，解得，
故所求直线方程为，故A正确，
对于B，直线与直线互相垂直，
则当两直线斜率存在时,即当两直线其中一条斜率不存在时，解得
故“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故B错误，
对于C，∵直线：与：平行，
∴，解得，
∴与的距离为，故C正确，
对于D，直线的斜率为，则，
当时，的取值范围是，
当时，的取值范围为，
故直线的倾斜角的取值范围是，故D正确.
故选：ACD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 对于任意两个事件A和B，都有
B. 扔两枚相同的硬币，恰好一正一反的概率为
C. 甲、乙、丙三种个体按1：2：3的比例分层抽样，如果抽取的乙个体数为6，则样本容量为18
D. 若一组数据的方差为16，则另一组数据的方差为4
【答案】CD
【解析】
【分析】A选项由概率的加法公式判断；B选项由古典概型的计算来判断；C选项由分层抽样的性质判断；D选项由方差的性质判断.
【详解】A选项：只有事件A和B是互斥事件时，才有，故A选项错误；
B选项：扔两枚相同的硬币，由古典概型得一正一反的概率为，故B选项错误；
C选项：设样本容量为，则有，得，C选项正确；
D选项：因为，所以当时，，D选项正确.
故选：CD.
11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（ ）
A. 的周长为
B. 存在点，使得
C. 若，则的面积为
D. 使得为等腰三角形的点共有4个
【答案】AB
【解析】
【分析】根据焦点三角形的周长为判断A的真假；考虑为短轴顶点时，焦点三角形的形状判断B的真假；结合椭圆定义和余弦定理，计算焦点三角形的面积，判断C的真假；分情况讨论，找出使为等腰三角形的所有点，判断D的真假.
【详解】对于，由题意，，，故周长为，所以A正确；
对于B，当点位于上下顶点时，为直角，所以B正确.
对于C，当时，如图：
设，，则.
所以，所以C错误；
对于D，若是以为顶点的等腰三角形，点位于上下顶点；若是以为顶点的等腰三角形，则，此时满足条件的点有两个；同理，若是以为顶点的等腰三角形，满足条件的点有两个；故使得为等腰三角形的点共六个，所以D错误.
故选：AB
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 学校组织知识竞赛，某班8名学生的成绩（单位：分）分别是65，60，75，78，86，84，90，94，则这8名学生成绩的分位数是______.
【答案】84
【解析】
【分析】根据百分位数的定义计算即可得出结论.
【详解】8名学生的成绩从小到大排列为：60，65，75，78，84，86，90，94，
因为，所以分位数为第5个数，即84分.
故答案为：84.
13. 若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件可以分析得直线到圆心的距离为2，代入公式即可求得.
【详解】由题意可知，圆心坐标为，半径为，则圆上恰有三个点到直线的距离为1，
则使得圆心到直线的距离2，即，如图所示：
解得.
故答案为：
14. 已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为______________.
【答案】
【解析】
【分析】连接，，根据椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，再利用椭圆定义得到AF2=23a，，在中，由余弦定理可得，即可求得.
【详解】解：设是椭圆的右焦点，连接，，
由对称性可知：，，则四边形为平行四边形，
则，即，且，
因为，则AF2=23a，，
在中，由余弦定理可得，
即，解得，所以椭圆的离心率为.

故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.其中15题13分，16-17题15分，18-19题17分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知椭圆，其中离心率为，且过点
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意，表示椭圆离心率，将点代入椭圆方程，联立方程求解；
（2）分别表示出直线方程，结合弦长公式求解.
【小问1详解】
因为椭圆，其中离心率为，且过点，
所以，解得，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
过点0,1的直线斜率不存在时，直线方程为，此时截得的弦长为，不符题意；
当斜率存在时，设直线方程为，即，
联立，得，
设直线与椭圆的交点为Ax1,y1,Bx2,y2，
则，，
则，
解得，
所以直线的方程.
16. 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，M是AD的中点，N是AB的中点．
（1）求证：平面ADE；
（2）求直线CM与平面DEN所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知线面关系，证明平面，有，又可证，可证得平面；
（2）以C为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值.
【小问1详解】
证明：因为平面，平面，所以，
由，知，，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，是的中点，所以，
又，平面，
所以平面．
【小问2详解】
平面，，以为坐标原点，
以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
故，，，
设平面的法向量，
则，令，则，
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值．
17. 已知圆过原点和点，圆心在轴上.
（1）求圆的方程；
（2）直线经过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（3）过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程.
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）设圆心，根据，可得出关于实数的等式，解出的值，即可得出圆的方程；
（2）求出圆心到直线的距离，然后对直线斜率是否存在进行分类讨论，当直线的斜率不存在时，直接检验即可；当直线的斜率存在时，设出直线的方程，由点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线的方程；
（3）设点，其中，则，设点，根据平面向量的坐标运算可得，根据点在圆上可得出，代入化简即可得出点的轨迹方程.
【小问1详解】
解：设圆心为，由题意可得，
则，解得，所以，圆的半径为，
故圆的方程为.
【小问2详解】
解：由题意可知，圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时，圆心到直线的距离为，合乎题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由题意可得，解得，
此时，直线的方程为，即..
综上所述，直线的方程为或.
【小问3详解】
解：设点，其中，则，设点，
因为，则，
可得，可得，
因为点在圆上，则，即.
故点的轨迹方程为.
18. 单项选择与多项选择题是数学标准化考试中常见题型，单项选择一般从A，B，C，D四个选项中选出一个正确答案，其评分标准为全部选对的得5分，选错的得0分；多项选择题一般从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（两个答案的每个答案3分，三个答案的每个答案2分），有选错的得0分.
（1）考生甲有一道单项选择题不会做，他随机选择一个选项，求他猜对本题得5分的概率；
（2）考生乙有一道答案为ABD多项选择题不会做，他随机选择两个或三个选项，求他猜对本题得4分的概率；
（3）现有2道两个正确答案的多项选择题，根据训练经验，每道题考生丙得6分的概率为，得3分的概率为；考生丁得6分的概率为，得3分的概率为.丙、丁二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题丙丁两位考生总分刚好得18分的概率.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用古典概型的概率求解；
（2）利用古典概型的概率求解；
（3）分丙得12分，丁得6分，丙得9分，丁得9分和丙得6分，丁得12分三种情况，利用独立事件和互斥事件的概率求解.
【小问1详解】
甲同学所有可能的选择答案有A，B，C，D共4种可能结果，样本空间，
其中正确选项只有一个，设M=“猜对本题得5分”，故.
【小问2详解】
乙同学所有可能的选择答案有10种：AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，
样本空间，共有10个样本点，
设N=“猜对本题得4分”，，有3个样本点，故.
【小问3详解】
由题意得丙得0分的概率为，丁得0分的概率为，
丙丁总分刚好得18分的情况包含：
事件A：丙得12分有6+6一种情况，丁得6分有6+0，0+6，3+3三种情况，
则；
事件B：丙得9分有6+3，3+6两种情况，丁得9分有6+3，3+6两种情况，
则；
事件C：丙得6分有6+0，0+6，3+3三种情况，丁得12分有6+6一种情况，
则；
所以丙丁总分刚好得18分的概率.
19. 在空间直角坐标系Oxyz中，这点且以为方向向量的直线方程可表示为，过点且以为法向量的平面方程可表示为．
（1）已知直线的方程为，直线的方程为．请分别写出直线和直线的一个方向向量．
（2）若直线与都在平面内，求平面的方程；
（3）若集合中所有的点构成了多面体Ω的各个面，求Ω的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）的一个方向向量；的一个方向向量（答案不唯一，符合题意即可）
（2）
（3）的体积为，相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为
【解析】
【分析】（1）根据题意即可得直线的方向向量；
（2）由直线方程可得两直线经过的点及方向向量，利用两方向向量求得平面的法向量，结合点与法向量可得平面方程；
（3）由集合可知各面所在平面的方程，利用各面与坐标轴的交点坐标作出图形，结合几何体的对称性求解体积；利用向量夹角求解面面角可得.
【小问1详解】
因为直线的方程为，即，可知直线的一个方向向量；
直线的方程为，即，可知直线的一个方向向量.
【小问2详解】
由题意可知：直线过点，且其一个方向向量为，
直线过点，且其一个方向向量为，
则为平面内一点.
设平面的法向量为，则，
令，则，可得，
所以平面方程为，即.
【小问3详解】
由集合可知，
多面体与坐标轴交于各点，，如图所示，

可知四边形为正方形，
边长，
所以，正方形的面积为，
而正四棱锥的高为，
则，
所以多面体的体积为.
由集合中所有的点构成了多面体的各个面，
点均满足方程.
可知平面的方程为，且该平面的一个法向量为，
同理可知，平面的方程为，该平面的一个法向量为，
平面的方程为，该平面的一个法向量为，
所以.
由对称性可知，任意相邻两平面的夹角的余弦值都为.
故多面体相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为.
综上，的体积为，相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为.