四川省巴中市通江中学2022-2023学年高二数学（文）下学期期中考试试题（Word版附解析）

2022-2023学年四川省巴中市通江中学高二（下）期中数学试卷（文科）

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 在一间长、宽、高分别为7米、5米、4米的长方体形房间内，距离角落的八个顶点一米范围内的区域为“危险区域”，房间内其他区域为“安全区域”，一只苍蝇在房间内飞行到任意位置是随机的，则某时刻这只苍蝇位于“危险区域”的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据几何概型的体积型问题计算即可得答案.

【详解】房间的体积是140立方米，八个“危险区域”所占空间是半径为1米的球的体积，即立方米，

则某时刻这只苍蝇位于“危险区域”的概率为.

故选：C.

2. 曲线在点处的切线的斜率为0，则实数（    ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】D

【解析】

【分析】根据导数的运算法则及导数的几何意义即得.

【详解】由题可得，

则，所以，

故选：D.

3. 甲、乙两人下棋，和棋的概率为40%，甲获胜的概率为40%，则乙不输的概率为（    ）

A. 80% B. 60% C. 40% D. 20%

【答案】B

【解析】

【分析】乙不输即是和棋或者获胜两种情况可求得结果.

【详解】甲、乙两人下棋，和棋概率为40%，甲获胜的概率为40%，

则乙获胜的概率为，

故乙不输的概率有.

故选：B.

4. 在复平面内，由对应的三个点确定圆，则以下点在圆上的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，由条件可得对应的点在以原点为圆心，以为半径的圆上，即可得到结果.

【详解】因为，，，

即，所以对应的点在以原点为圆心，以为半径的圆上，

且只有选项C中，所以其在圆上，

故选：C

5. 已知是函数的导函数，对任意，都有，且，则的解析式为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】设，根据导数的运算法则及基本初等函数的导数公式得到（为常数），再根据求出，即可得解.

【详解】依题意设，则，

因为对任意，都有，即，

所以（为常数），

所以，则，又，

所以，解得，

所以.

故选：D

6. 某人射击一次，设事件A：“击中环数小于8”；事件B：“击中环数大于8”；事件C：“击中环数不小于8”，事件D：“击中环数不大于9”，则下列关系正确的是（    ）

A. A和B为对立事件 B. B和C为互斥事件

C. A和C为对立事件 D. B与D为互斥事件

【答案】C

【解析】

【分析】根据互斥事件和对立事件的概念，进行判定，即可求解.

【详解】由题意可知：设事件A：“击中环数小于8”与事件B：“击中环数大于8”是互斥事件但不是对立事件，故A选项错误；

事件B：“击中环数大于8” 与事件C：“击中环数不小于8”，能同时发生，所以不是互斥事件，故B选项错误；

事件A：“击中环数小于8”与事件C：“击中环数不小于8”是对立事件，故C选项正确；

事件B：“击中环数大于8”与事件D：“击中环数不大于9”能同时发生，不是互斥事件，故D选项错误.

故选：C.

7. 函数的单调增区间（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】的定义域为，

，

令，解得，

故的单调递增区间为.

故选：A

8. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】求导，根据导函数在上恒成立即可求解.

【详解】，

函数在区间单调递增，

在区间上恒成立．在上恒成立，

而在区间上单调递减，．

故选：C

9. 设函数，曲线在点处的切线方程为．则（    ）

A. 0 B. 2 C. 1 D.

【答案】C

【解析】

【分析】对函数求导，再利用导数的几何意义求解作答.

【详解】函数，求导得，显然，

因此，解得，

所以.

故选：C

10. 函数的大致图像是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由排除两个选项，再由时，排除一个选项后可得正确选项．

【详解】∵，所以，故排除C，D，

当时，恒成立，排除A，

故选：B．

11. 若幂函数的图象过点，则函数的递增区间为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设，代入点求出，再求出的导数，令，即可求出的递增区间.

【详解】设，代入点，则，解得，

，

则，

令，解得，

函数的递增区间为.

故选：A.

【点睛】本题考查待定系数法求幂函数解析式，考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题.

12. 已知函数，，对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据已知条件，将原问题转化为，再利用导数研究函数、的极值、最值，即可求解.

【详解】，则，

令，解得或；令， 解得，

，

故在单调递减，在单调递增，在单调递减，

且，

故，

任意的，都有成立，则，

因为，则，

当时，在单调递增，

所以，

故，即(舍去)；

当时，

令，解得；令， 解得，

故在上单调递减， 在上单调递增，

所以，

所以，即， 解得，

综上所述，实数的取值范围为.

故选：A

【点睛】不等式恒成立问题常见方法：

①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；

②数形结合( 图象在 上方即可)；

③分类讨论参数.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知数表如图，记第行，第列的数为，如，记，则__________．

                     0

                   1  2

                3  4  5  6

         7  8  9  10  11  12  13  14

      15  16  17  18  19  20  21    30

                      ……

【答案】2022

【解析】

【分析】先根据图找规律，为等差数列，公差为1，故需根据规律求出首项即得.

【详解】表示前项出现的数字个数总和，即第行的第1个数字，

，

如，

所以，，

，，

所以是以首项为，公差为1的等差数列．

．

．

故答案为：2022

14. 若存在实数，使得是方程的解，但不是方程的解，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据是的解，不是解直接可得.

【详解】由题意知，，且，故，

显然，即，若，此时显然不满足题意，

故.

故答案为：

15. 已知复数为实数，则__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据实数的定义可得，再根据模长公式求解即可.

【详解】依题意，，解得，故.

故答案为：

16. 执行如图所示的程序框图后，输出的值为______.

【答案】5

【解析】

【分析】根据给定的程序框图，运行程序，依次计算判断作答.

【详解】运行程序，输入，进入循环体，，不成立；

，不成立；，不成立；

，成立，退出循环体，输出，

所以输出的值为5.

故答案为：5

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知复数，，是虚数单位．

（1）若复数为虚数，求的值；

（2）若复数为纯虚数，求的值；

（3）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围．

【答案】（1）且   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）复数为虚数，则虚部不为零，求解不等式即可；

（2）复数为纯虚数，则实部为零，虚部不为零，求解不等式即可；

（3）复数在复平面内对应的点在第四象限，则虚部小于零，实部大于零，求解不等式即可.

【小问1详解】

因为复数为虚数，所以，解得且.

故的值为且.

【小问2详解】

因为复数为纯虚数，所以，解得.故的值为.

【小问3详解】

因为复数在复平面内对应的点在第四象限，所以，解得，

故的取值范围为.

18. 已知函数在处取得极值3.

（1）求a，b的值；

（2）求函数在区间上的最值.

【答案】（1），   

（2）的最小值为0，最大值为12

【解析】

【分析】（1）求出函数的导函数，利用极值的性质列方程组，即可求解，的值；

（2）由（1）可得函数及其导函数，利用导数求出的单调区间，从而求出极值与端点处的函数值，从而可得最值．

【小问1详解】

依题意，，因为在处取得极值3，

所以，解得，．

此时，显然当和时，，

当时，，故在单调递增，在单调递减，

所以在处取得极大值，

所以，．

小问2详解】

由（1）知，，，

当或时，，当时，，

所以在，，，上单调递增，在上单调递减，

，，，，

所以的最小值为0，最大值为12．

19. 越来越多的人喜欢运动健身，其中徒步也是一项备受喜欢的运动.某单位为了鼓励更多的职工参与徒步运动，对一个月内每天达到10000步及以上的职工授予“运动达人”称号，其余的职工称为“运动参与者”.为了解职工的运动情况，选取了该单位120名职工某月的运动数据进行分析，结果如下：

（1）根据上表，判断是否有99%的把握认为获得“运动达人”称号与年龄段有关？

（2）从具有“运动达人”称号的职工中按年龄段采用分层抽样的方法抽取6人参加某地区“万步有约”徒步大赛.若从选取的6人中随机抽取2人作为代表参加开幕式，求“选取的2人中，中年职工最多有1人”的概率.

附表及公式：

其中，.

【答案】（1）有99%的把握认为获得“运动达人”称号与年龄段有关系   

（2）

【解析】

【分析】（1）将表中数据带入计算出答案，再与比较即可得出结论.

（2）分层抽样的方法抽取的6人中，中年职工有4人,青年职工有2人，利用列举法即可计算出答案.

【小问1详解】

由题，

所以，有99%的把握认为获得“运动达人”称号与年龄段有关系.

【小问2详解】

由已知，按照年龄段采用分层抽样的方法抽取的6人中，中年职工有4人，记为，，，；青年职工有2人，记为，.

从这6人中选取2人包含的所有基本事件分别为：

，，，，，，，，，，，，，，，共15个基本事件.

“选取的2人中，中年职工最多有1人”包含的基本事件有：，，，，，，，，，共9个.

设C表示事件“选取的2人中，中年职工最多有1人”，则.

20. 某食品加工厂新研制出一种袋装食品（规格：/袋），下面是近六个月每袋出厂价格（单位：元）与销售量（单位：万袋）的对应关系表：

并计算得，，.

（1）计算该食品加工厂这六个月内这种袋装食品的平均每袋出厂价格、平均月销售量和平均月销售收入；

（2）求每袋出厂价格与月销售量的样本相关系数（精确到）；

（3）若样本相关系数，则认为相关性很强；否则没有较强的相关性.你认为该食品加工厂制定的每袋食品的出厂价格与月销售量是否有较强的相关性.

附：样本相关系数，.

【答案】（1）平均每袋出厂价格为（元），平均月销售量为（万袋），平均月销售收入为（万元）   

（2）   

（3）该食品加工厂制定的每袋食品的出厂价格与月销售量有较强的相关性

【解析】

【分析】（1）由表格中数据和参考数据进行计算即可；

（2）将样本相关系数公式转化，利用表中数据和参考数据进行计算即可；

（3）将（2）中样本相关系数的绝对值与进行比较即可.

【小问1详解】

该食品加工厂这六个月内这种袋装食品的平均每袋出厂价格为：

（元），

平均月销售量为（万袋），

平均月销售收入为（万元）.

【小问2详解】

由已知，每袋出厂价格与月销售量的样本相关系数为：

.

【小问3详解】

由于每袋出厂价格与月销售量的样本相关系数，所以该食品加工厂制定的每袋食品的出厂价格与月销售量有较强的相关性.

21. 已知（e为自然对数的底数）

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个不同零点，求证：．

【答案】（1）答案见解析   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）求导函数，根据导函数正负求函数的单调性即可；

（2）构造函数，根据函数的单调性证明已知不等式即可.

【小问1详解】

，

当时，，在上是减函数；

当时，令，得，在上是减函数，在上是增函数；

综上所述，当时，，在上是减函数；当时，递减区间为，单调递增区间为

【小问2详解】

有两个不同零点，则，，故，即，

要证，只要证明，即证，

不妨设，记，则，，因此只要证明，即，

记，则，

令，则，所以函数在上递增，

则，即，∴在上单调递增，

∴，即成立，∴．

22. 已知函数．

（1）时，求的极值；

（2）若，求的取值范围．

【答案】（1）极小值，无极大值；（2）.

【解析】

【分析】（1）首先求出函数的导函数，即可得到导函数的单调性，又，即可得到的单调性，从而得到其极值；

（2）依题意可得，求出函数的导函数，从而得到函数的单调性与最值，依题意可知，即可得到，其中，再根据的性质求出的取值范围，从而求出参数的取值范围；

【详解】解：（1）时，，，则，

可知为的增函数，且，

当，，单调递减；当，，单调递增，

所以时，取得极小值，无极大值．

（2）由题知，，，

可知在区间上单调递增，

且当时，，当时，，

所以，存，使得，即，

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增，

所以，，

即，由，得，即，

所以，即，

由于为的单调递增函数，且，

则有，

因为，，所以为上的增函数，则当时，，

所以的取值范围为．