四川省名校联盟2024-2025学年高三上学期12月联考数学试卷（Word版附解析）

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2024年12月
一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求）
1 已知，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知单位向量满足，则（ ）
A. 8B. 3C. D.
3. 已知命题，命题，则（ ）
A. 命题与均为真命题
B. 命题与均为真命题
C. 命题与均为真命题
D. 命题与均为真命题
4. 已知平行四边形的顶点，边所在直线方程是，对角线的交点为，边所在直线方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 设为两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列说法一定成立的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，，则D. 若与所成角相等，则
6. 点P在边长为1的正三角形的外接圆上，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知实数满足，则函数的零点个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
8. 已知函数，设，则的大小关系是（ ）
A B.
C. D.
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 为了研究某校高三年级学生的性别和身高是否低于的关联性，研究小组从该校高三学生中获取容量为500的有放回简单随机样本，由样本数据整理得到如下列联表：
附：，其中．
小组成员甲用该列联表中数据进行独立性检验，小组成员乙将该列联表中的所有数据都缩小为原来的后再进行独立性检验，则下列说法正确的是（ ）
A. 依据的独立性检验，小组成员甲可以认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联
B. 依据的独立性检验，小组成员甲不能认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联
C. 小组成员甲、乙计算出的值相同，依据的独立性检验，他们得出的结论也相同
D. 小组成员甲、乙计算出的值不同，依据的独立性检验，他们得出的结论也不同
单位：人
性别
身高
合计
低于
不低于
女
140
60
200
男
120
180
300
合计
260
240
500
α
10. 已知数列为无穷等差数列，公差为d，前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B 若且互不相等，则
C. 若，则
D. 若，则
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 当时，函数与图像恰有5个交点
C. 当时，函数的图象关于直线成轴对称图形
D. 当时，记函数的最小值为，则
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上）
12. 已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，且经过点，则椭圆C的标准方程为______．
13. 已知棱长为1的正四面体，分别为的中点，若以的中点为球心的球与该正四面体的棱有公共点，则球半径的最大值为______．
14. 整数的商（其中）称为有理数，任一有限小数或无限循环小数可以化为整数的商（其中）的形式，则______（写成的形式，与为互质的具体正整数）；若构成数列，令，为数列的前n项和，则的取值范围为______.
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 已知的内角的对边分别为，向量，，且．
（1）求角；
（2）如图，的平分线交于，，求的取值范围．
16. 已知圆，圆经过点，且与圆C相切于点.
（1）求圆的标准方程；
（2）已知直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线l的方程.
17. 已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若，证明：.
18. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，且，侧面是正三角形，侧面底面，E为中点，作交于F．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值；
（3）在平面内是否存在点Q．使得，若存在，求动点Q的轨迹长度；若不存在，请说明理由．
19. 定义：如果在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标分别为，那么称为两点间的曼哈顿距离；为两
点间的欧几里得距离.
（1）已知，求的最小值；
（2）已知，求的最大值；
（3）已知，点在函数图像上，点在函数图像上，且，点有的最小值为4，求实数a的取值.