辽宁省大连市知行中学2024-2025学年九年级上学期数学卷10 月考数学试题（解析版）-A4

这是一份辽宁省大连市知行中学2024-2025学年九年级上学期数学卷10 月考数学试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（本试卷共23道题 满分120分 考试时长120分钟）
考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效
参考公式：抛物线的顶点坐标为
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数．根据“形如的函数，称为y是x的反比例函数”，即可求解．
【详解】解：A、y是x的反比例函数，故本选项符合题意；
B、y不是x的反比例函数，故本选项不符合题意；
C、y不是x的反比例函数，故本选项不符合题意；
D、y不是x的反比例函数，故本选项不符合题意；
故选：A
2. 下列抛物线开口向上的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握在二次函数中二次项系数决定开口方向是解题的关键．由二次函数则开口向上可得出答案．
【详解】解：A、，抛物线开口向下，该选项不符合题意；
B、，抛物线开口向上，该选项符合题意；
C、，抛物线开口向下，该选项不符合题意；
D、，抛物线开口向下，该选项不符合题意；
故选：B．
3. 抛物线的对称轴是（ ）
A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式顶点坐标为，对称轴是直线，即可求解．
【详解】抛物线的顶点坐标为，对称轴是直线，
故选：D．
4. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了求反比例函数值．熟练掌握求反比例函数值是解题的关键．分别将各选项的点坐标的横坐标代入，求纵坐标，然后判断作答即可．
【详解】解：A、当时，，故不符合题意；
B、当时，，故不符合题意；
C、当时，，故符合题意；
D、当x=1时，，故不符合题意；
故选：C．
5. 把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，即可求解．
【详解】解：把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的解析式是，
故选：C．
6. 已知二次函数的解析式为，下列关于函数图象的说法正确的是（ ）
A. 对称轴是直线B. 图象经过原点
C. 开口向上D. 图象有最低点
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，依据题意，将二次函数解析式化为顶点式求解．
【详解】解：，
抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，函数图象有最高点，当时，，即图象过原点．
故选：B．
7. 电路上在电压保持不变的条件下，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例关系，I与R的函数图象如图，I关于R函数解析式是（ ）

A. I=B. I=-C. I=D. I=
【答案】A
【解析】
【分析】将已知的坐标代入反比例函数I＝中即可求出U.
【详解】解：∵当R＝20，I＝11时，
∴电压＝20×11＝220，
∴．
故选A．
【点睛】此题主要考查反比例函数的解析式，解题的关键是设反比例函数的解析式，再代入已知点求出解析式.
8. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：对于二次函数 （，，是常数，），决定抛物线与轴的交点个数：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点．抛物线与轴有交点，说明，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，
解得．
故选：C．
9. 如图，A、B两点在双曲线的图象上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知，则=（ ）
A. 8B. 6C. 5D. 4
【答案】B
【解析】
【详解】试题解析：∵点A、B是双曲线y=上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，
则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，
∴S1+S2=4+4-1×2=6．
故选B.
10. 如图1是一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，在正常水位时水面宽米，拱顶O到水面的距离为9米，当水位上升5米时，则水面宽为（ ）
A. 10米B. 15米C. 18米D. 20米
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，根据图形找出相关数据求值是解题的关键．
根据正常水位时水面宽米，找出点A的坐标为，再根据水位上升米时，代入解析式求值即可．
【详解】解：由题可知点A的坐标为，
设抛物线解析式为，则，
解得，
∴抛物线解析式为，
当水位上升5米时，，
即，解得，
∴水面宽为米，
故选：D．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围为_________；
【答案】m＞2
【解析】
【详解】解：∵反比例函数的图象位于一、三象限，
∴＞0，
解不等式即可得结果：m＞2.
故答案是：m＞2．
12. 边长为的正方形，如果边长增加，则面积与之间的函数关系式是__________（写成一般式）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数关系式的知识，解决本题的关键是找到相应的等量关系，易错点是得到新正方形的边长．根据正方形的面积边长边长即可解答．
【详解】解：新正方形的边长是，
则面积．
所以面积与之间的函数关系式为，
故答案为：．
13. 抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，则抛物线与轴的另一个交点坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的对称性，解题关键是明确二次函数的对称性，根据关于对称轴对称点的坐标特征解答．根据对称性可直接求出坐标．
【详解】解：设抛物线与x轴交点横坐标分别为、，且，
根据两个交点关于对称轴直线对称可知：，
∵抛物线与轴的一个交点坐标为，
∴，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
故答案是：．
14. 广场有一个直径16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头（喷水头高度忽略不计），各方向喷出的水柱呈抛物线型，恰好在喷水池中心的装饰物的顶端处汇合，水柱离喷水池中心3米处达最高5米，则装饰物的高度为__________米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意可得第一象限内抛物线的最高点为，且经过，用待定系数法可求出，求出当时的函数值即可得到得到．
【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，
由题意得第一象限内抛物线的最高点为，且经过，
设抛物线解析式为，
，
解得：，
，
当时，，
∴米，
故答案为：．
15. 如图，为等边三角形，且轴于点B， 反比例函数 经过点A与点C， 则________．

【答案】
【解析】
【分析】作于点D，求出，然后求出和的长，设则，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求解即可．
【详解】如图，作于点D．

∵为等边三角形，
∴．
∵轴
∴，
∴，
∴，
∴．
设则．
∵点A，点C在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴．
故答案：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，以及反比例函数图象上点的坐标特征，正确作出辅助线是解答本题的关键．
三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. （1）反比例函数与一次函数的图象都过．求反比例函数解析式；
（2）二次函数图象的顶点在轴上，点和在这个二次函数的图象上，求这个二次函数的表达式．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，一次函数与反比例函数综合：
（1）先利用一次函数解析式求出点A坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式即可；
（2）设这个二次函数解析式为，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解：（1）在中，当时，，
∴，
把代入中得：，解得，
∴反比例函数解析式为；
（2）设这个二次函数解析式为，
把和代入中得：，
解得，
∴这个二次函数解析式．
17. 如图，反比例函数与一次函数的图象相交于点，．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当时自变量的取值范围．
【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为
（2）或
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：
（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再把A、B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）根据函数图象找到当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
【小问1详解】
解：把代入中得：，
解得，
∴反比例函数解析式为，
把代入中得：，
∴，
把，代入中得：，
解得，
∴一次函数解析式为；
【小问2详解】
解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或，
∴当时自变量的取值范围或．
18. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示：
（1）__________；
（2）利用表格中的点的坐标，在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）当时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，画二次函数图象，二次函数的图象和性质等知识，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
（1）由表格中数据可知抛物线的顶点为，当和时，函数值都是0，即；
（2）根据表格中的数据描点、连线即可；
（3）根据函数图象可直接得出答案．
【小问1详解】
解：∵当和时，；
∴抛物线的顶点为，当和时，函数值都是0，即，
故答案为：．
【小问2详解】
解：如图：
【小问3详解】
解：由函数图象得：对称轴为直线，
∴当时，取得最小值
当时，取得最大值，
∵和时，根据表格可得，函数值都是，即取得最大值为
∴当时，．
19. 为预防流感，某学校对教室采用药熏消毒．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量（单位：）与燃烧时间（单位：min）成正比例；燃烧后，与成反比例（如图所示）．现测得药物1燃烧完毕，此时教室内每立方米空气含药量为．根据以上信息解答下列问题：
（1）分别求出药物燃烧时；药物燃烧后，关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；
（2）研究表明，当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用，那么从药物燃烧完毕开始计时，至少需要经过多长时间，学生才可以返回教室？
【答案】（1）药物燃烧时；，药物燃烧后
（2）至少需要40分钟后学生才能回教室
【解析】
【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的实际应用；
（1）设，将点代入函数解析式求出即可；设，将点代入函数解析式求出即可；
（2）令，解出即可．
【小问1详解】
解：设，
∵函数经过点，
∴，，
∴；
根据函数图象可得
∴药物燃烧时；，
设，
∵函数经过点，
∴，，
∴；
根据函数图象可得
∴药物燃烧后；
【小问2详解】
令，则，，
答：至少需要40分钟后学生才能回教室．
20. 某商品的进价为每件40元，售价为每件60元，平均每天可卖出80件．如果每件商品的售价每下降1元，则每天可多卖出10件．设每件商品的售价下降元（为正整数），每天的销售利润为元．
（1）求销售利润（元）与下降价格（元）的函数关系式；
（2）每件商品的售价下降多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）
（2）每件商品的售价下降6元时，每天的销售利润最大，最大利润是1960元
【解析】
【分析】（1）根据利润（原售价降价）销售量进行求解即可；
（2）根据（1）所求，结合二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得，
；
【小问2详解】
解：由（1）得
，
∵，
∴当时，y最大，最大值为1960，
∴每件商品的售价下降6元时，每天的销售利润最大，最大利润是1960元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系是解题的关键．
21. 足球比赛中引入技术后，使足球比赛更加公平．如图分别为足球比赛中某一时刻的系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），进攻球员位于点处起脚射门，守门员位于点，的延长线与球门线交于点且点，均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．足球距离点的水平距离与离地高度的数据如下表：
以点为坐标原点，直线为横轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．
（1）根据表中数据预测足球落地时，；求关于的函数解析式；
（2）当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度时，视为防守成功．若守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明．
【答案】（1），
（2）守门员不能成功防守．
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，理解题意，明确函数图象上点的横坐标与纵坐标的含义是解本题的关键．
（1）根据抛物线的对称轴可直接得出结论；根据抛物线的对称性找到顶点，设出顶点式，再代入可求出参数，由此可解答；
（2）把代入二次函数解析式求出，再与最大防守高度比较即可．
【小问1详解】
解：由表格可知，时和时，相等，时，时，相等，
抛物线关于直线对称，
当时，，
时，；
抛物线关于对称，设，
把代入上述解析式，
，解得，
．
【小问2详解】
解：当，
∴，
∴守门员不能成功防守．
22. 如图，抛物线与轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，点在抛物线上．
（1）求抛物线表达式；
（2）连接，，，求证：；
（3）点在抛物线上，当时，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）根据顶点式求出点的坐标，然后令求出点A的坐标，然后根据两点间距离公式求出、、，然后利用勾股定理的逆定理解题即可；
（3）分为点F在下方和点F在上方两种情况，求出直线的解析式，联立解方程即可．
【小问1详解】
解：把和代入得：
，
解得，
∴抛物线的表达式为，
【小问2详解】
解：如图，
∵，
∴ 点的坐标为，
令，则，解得，，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
∵，
即，，，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图，当点F在下方时，设与AD交于点G，
∵，
∴，
又∵，
∴，
则，
∴，
∴，
∵
则
∴点G的坐标为，
设直线的解析式为，
把和代入得：
，解得，
∴直线解析式为，
解方程组
得或，
∵，
∴点的坐标为；
当点F在上方时，如图，
则直线，
设直线AD的解析式为y=mx+n，
代入和得：
，
解得，
∴直线AD的解析式为，
设直线的解析式为，
代入可得，
解得，
∴直线的解析式为，
解方程组
得或，
∵
∴点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法解一次函数和二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理是解题的关键．
23. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如就是“友好点”；若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数就是“友好二次函数”．
（1）直线上的“友好点”坐标为_________；
（2）如图，点是反比例函数图象上的“友好点”，点在线段的延长线上，轴于点，交反比例函数图象于点，若，求点的坐标；
（3）若“友好二次函数”的图象与轴的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式；
（4）若“友好二次函数”的图象过点，且顶点在第一象限，当时，这个“友好二次函数”的最大值与最小值的差为，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）或
（4）
【解析】
【分析】（1）根据“友好点”的定义可知“友好点”在直线上，联立，求解即可；
（2）根据新定义求得，进而可得直线的解析式，设，根据，得出点的横坐标为，代入反比例函数解析式，即可求解；
（3）根据“友好二次函数”的定义，设顶点为，继而得出该函数的解析式为，再推出与轴交点为，再代入求解即可；
（4）设“友好二次函数”的解析式为，且图象过点，确定“友好该二次函数”的解析式为，进而根据，分情况讨论，分别求得函数的最值，即可求解．
【小问1详解】
解：依题意，“友好点”在直线上，
联立
解得：
∴直线上的“友好点”坐标为，
故答案为：．
【小问2详解】
解：联立，
解得：或
∵点是反比例函数图象上的“友好点”，且在第一象限，
∴，
∵点在线段的延长线上，
∴点在直线上，
设，
∵轴于点，，
∴
解得：
∴点的横坐标为，
将代入得，
∴
【小问3详解】
解：∵函数是“友好二次函数”，设它的顶点为，
∴，
∵“友好二次函数”的图像与轴的交点是“友好点”，
∴与轴交点为，
将代入中，得：，
解得：，，
当时，；
当时，，
∴这个“友好二次函数”的表达式为或；
【小问4详解】
设“友好二次函数”的解析式为，且图象过点，
∴，
解得，，
∵这个“友好二次函数”的图象顶点在第一象限，
∴，
∴，
∴，
∵“友好二次函数”，，图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，在对称轴左侧，随的增大而减小，
∴当时，函数有最小值，
当时，函数的最大值为
∴
当，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大，
∴当时，函数有最小值，
当时，函数的最大值为，
∴
当时，
当时，即，当时，函数的最大值为，函数的最小值为，
∴
当时，即，当时，函数的最大值为，函数的最小值为，
∴
综上所述，；
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，两直线交点问题，新定义，二次函数的性质，理解新定义以及二次函数的性质是解题的关键．
9
12
15
18
21
4.2
4.8
5
4.8
4.2