江西省九江市都昌县2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试卷(解析版)-A4
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这是一份江西省九江市都昌县2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试卷(解析版)-A4,共19页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、单选题(本题共6小题,每题3分)
1. 下列说法正确的是( )
A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形B. 有一个角是直角的平行四边形是菱形
C. 对角线相等的平行四边形是菱形D. 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的判定定理和菱形的判定定理,熟知矩形和菱形的判定定理是解题的关键.
【详解】解:A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形,原说法正确,符合题意;
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形,原说法错误,不符合题意;
C、对角线相等的平行四边形是矩形,原说法错误,不符合题意;
D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形,原说法错误,不符合题意;
故选:A.
2. 关于x的一元二次方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根D. 没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式,掌握根的判别式是解题的关键.根的判别式,根据的值可以判断方程的根的情况:当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个相等的实数根;当时,方程没有实数根.
根据一元二次方程根的判别式来判断即可.
【详解】解:∵为关于x的一元二次方程,
∴,
∵,
∴,
∴此一元二次方程有两个不相等的实数根.
故选A.
3. 将分别标有“中”、“考”、“必”、“胜”汉字的四张卡片装在一个不透明的盒子中,这些卡片除汉字外无其他差别,随机抽出其中两张,抽出的卡片上的汉字能组成“必胜”的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法,熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键.
【详解】解:列表如下:
共有12种等可能的结果,其中两次摸出的卡片上的汉字可以组成“必胜”的结果有2种,
∴两次摸出的卡片上的汉字可以组成“必胜”的概率为.
故选:C.
4. 如图,中,,,,,则的长度为( )
A. 2B. 6C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理,熟练掌握知识点是解题的关键.
运用平行线分线段成比例定理即可求解.
【详解】解:,
,
又,,,
,
,
∴,
故选:B.
5. 劳动教育已被纳入人才培养全过程,某学校加大投入,建设校园农场,该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克.设平均每年增产的百分率为,则可列方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程,若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为.根据作物的产量两年内从300千克增加到363千克,列出方程即可.
【详解】解:第一年的产量为,
第二年的产量在第一年产量的基础上增加x,为,
则列出的方程是.
故选:D.
6. 如图,点O为正方形的对角线的中点,点E为线段上一点,连接,是以为底边的等腰三角形,若,则的长为( )
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形性质,等腰直角三角形的性质,先根据正方形的性质得出是等腰直角三角形,,根据等腰直角三角形的性质得出,然后求出结果即可.
【详解】解:连接,如图所示:
∵四边形是正方形,O是的中点,
∴是等腰直角三角形,,
∵,
∴,
∵是以为底边的等腰三角形,
∴,
∴.
故选:D.
二、填空题(本题共6小题,每题3分)
7. 一个直角三角形斜边上的中线和高分别是6和5,它的面积=_____.
【答案】30
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线先求出斜边长,再利用三角形的面积进行计算即可解答.
【详解】解:∵直角三角形斜边上的中线是6,
∴斜边长,
∵直角三角形斜边上的高是5,
∴直角三角形的面积,
故答案为:30.
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线,熟练掌握直角三角形斜边上的中线是解题的关键.
8. 用配方法解方程时,配方后得到的方程为________________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程,掌握配方法是解题的关键.
根据即可求解.
【详解】解:,
移项得,,
等式两边同时加上1得,,
∴,
故答案为: .
9. 老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化,将4种生活现象制成4张无差别的卡片:A冰化成水,B酒精燃烧,C牛奶变质,D衣服晾干.将卡片背面朝上,小明同学从中随机抽取2张卡片,则所抽取的2张卡片刚好都是化学变化的概率是______.
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了运用画树状图法求概率,熟练掌握运用树状图法以及概率公式是解答本题的关键.
画树状图得出所有等可能的结果数以及所抽取的2张卡片刚好都是化学变化的结果数,再利用概率公式计算即可.
【详解】解:画树状图如下:
共有12种等可能的结果,其中所抽取的2张卡片刚好都是化学变化的结果有:,,共2种,
所以所抽取的2张卡片刚好都是化学变化的概率为.
故答案为:.
10. 如图,已知,,,,要使,只要________.
【答案】
【解析】
【分析】根据对应边成比例的两个三角形互为相似三角形可以求解.
【详解】解:∠ACB=,AC=4,BC=3,
,
要使,有,
,,
故答案为:
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理,关键是知道对应边成比例两个三角形互为相似三角形.
11. 设m,n是方程的两个实数根,则的值为_______.
【答案】2023
【解析】
【分析】此题主要考查了根与系数的关系,二元一次方程的解,由于m,n是方程的两个实数根,根据根与系数的关系可以得到,并且,然后把可以变为,把前面的值代入即可求出结果.
【详解】解:∵m,n是方程的两个实数根,
∴,,
∴,
∴.
故答案为:2023.
12. 如图,若点K为正方形ABCD边CD上一点,AD=3,∠DAK=30°,点M为AK中点,过点M的直线分别交AD边,BC边于点P,Q,且PQ=AK,则AP的长为__________.
【答案】2或1
【解析】
【分析】分两种情况进行讨论,通过证明三角形全等进行求解即可;
【详解】分两种情况进行分析:
如图,过Q作于F,
则,
∵四边形ABCD正方形,
∴,,
∴四边形AEQB是矩形,
∴,
∵,
在和中,
,
∴,
∴,,
又∵AD=3,
∴DK=,
∴,
解得:,
∵M是AK的中点,
∴,,
∴,
解得:.
如图,作于E,
由上图可知,同理可得:四边形EDCQ为矩形,
∴,
∴,
又∵,
∴,
∴,,
∴,
解得:
故答案为2或1.
【点睛】本题主要考查了正方形的性质,准确计算是解题的关键.
三、解答题(本题共5小题,每题6分)
13. (1)用配方法解方程:;
(2)用公式法解方程:.
【答案】(1);(2),
【解析】
【分析】本题考查求解一元二次方程.掌握各类求解方法是解题关键.
(1)移项、配方、开方,即可解答;
(2)将原方程化为一般形式,根据公式法即可解答.
【详解】解:(1),
移项得:,
配方得:,
即,
开方得:,
∴;
(2),
原方程可化为:,
∵,
∴,
14. 如图,在中,E、F分别是、延长线上的点,连接、,且,.求证:四边形是菱形.
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定和性质、由已知容易证明,进而可得,从而由邻边相等的平行四边形是菱形得出结论.
【详解】证明:在与中,
,
∴,
∴,
又∵四边形是平行四边形,
∴四边形是菱形.
15. 早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分,以其小吃精美、种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名.张帆在广州旅游期间,决定在“A.虾饺,B.干蒸烧卖,C.艇仔粥,D.蜜汁叉烧包”四种茶点中选择喜欢的进行品尝.(选到每种茶点的可能性相同)
(1)如果只选其中一种茶点品尝,张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是______________;
(2)如果选择两种茶点品尝,请用画树状图或列表的方法求张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的概率.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】本题考查了概率的应用,掌握概率的计算公式以及树状图或列表法是解题关键.
(1)根据题意即可求解;
(2)画出树状图,确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数,即可求解.
【小问1详解】
解:∵共有四种茶点,
∴如果只选其中一种茶点品尝,张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是:,
故答案为:
【小问2详解】
解:画树状图如图所示:
由树状图知,共有12种可能出现的结果,且每种结果出现的可能性相等,其中选到“虾饺”和“艇仔粥”的结果有2种,
∴P(张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”).
16. 如图,在正方形网格中,正方形的顶点均为格点,将绕点逆时针旋转某一角度后,得到.
(1)在图1中,请仅用无刻度的直尺补全正方形绕点旋转后的对应图形;
(2)在图2中,请仅用无刻度的直尺作出的平分线.
【答案】(1)见解析 (2)见解析
【解析】
【分析】本题考查了无刻度直尺和旋转的作图、正方形的性质理解、全等三角形的判定与性质的理解,熟练掌握无刻度直尺和旋转的作图、全等三角形的判定与性质的理解是解题的关键.
(1)根据无刻度直尺和旋转作图即可;
(2)记和交于点,根据旋转、正方形的性质,得出,,结合,利用可证,得出,故射线即为的平分线.
【小问1详解】
解:如图,图形即为所求,
;
【小问2详解】
解:如图,射线即为所求,
.
17. 如图,,点B是线段AD上的一点,且,求证:.
【答案】见解析
【解析】
【分析】题考查了相似三角形的判定,熟练掌握两角对应相等的两个三角形相似是解题的关键.
【详解】证明:∵,,
∴,
∴,
∴,
∴.
四、(本题3小题,每题8分)
18. 已知:如图,在菱形中,点E,O,F分别为,,的中点,连接,,,.
(1)求证:;
(2)当时,请判断四边形的形状,并说明理由.
【答案】(1)见解析 (2)当时,四边形是正方形,理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了正方形的判定、菱形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识;
(1)由菱形的性质得出,,由已知证出,由证明即可;
(2)由三角形中位线定理证出,,,得到,证出四边形是菱形,再证出,进而得四边形是正方形.
【小问1详解】
证明:∵四边形是菱形,
∴,,
∵点E,O,F分别为,,中点,
∴,
在和中,
,
∴;
【小问2详解】
解:当时,四边形是正方形,理由如下:
∵四边形是菱形,
∴,,
∵点E,O,F分别为,,的中点,
∴,,
∴,
∴四边形是菱形,
∵,,
∴,
∴,
∴四边形是正方形.
19. 已知关于的方程.
(1)求证:此方程有两个不相等实数根;
(2)若方程有一个根为,试求的值.
【答案】(1)见解析 (2)
【解析】
【分析】(1)计算判别式,然后根据判别式的意义即可;
(2)把代入方程,因为,然后利用整体代入的方法计算即可.
【小问1详解】
证明:将整理为一般形式:
因为,
所以方程有两个不相等的实数根.
【小问2详解】
把代入方程得,
所以,
所以.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和整体代入思想,掌握根的判别式的意义是解题关键.
20. 如图,点D是边的上一点,且 ,
(1)求证:
(2)如果,求的值.
【答案】(1)见详解 (2)2
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质,熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.
(1)由,即可证明结论;
(2)由相似三角形的对应边成比例,代入数据即可求解.
【小问1详解】
证明:∵,,
∴;
【小问2详解】
解:∵,
∴,
∵,
∴,
解得:.
五、(本题2小题,每题9分)
21. 某水果商场经销一种高档水果,原价每千克50元,连续两次降价后每千克32元,若每次下降的百分率相同.
(1)求每次下降的百分率.
(2)若每千克盈利10元,每天可售出500千克经市场调查发现,在进货价不变的情况下,商场决定采取适当的涨价措施,但商场规定每千克涨价不能超过8元,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6000元,且要尽快减少库存,那么每千克应涨价多少元?
【答案】(1)每次下降的百分率为
(2)每千克应涨价5元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用.
(1)设每次下降的百分率为x,根据相等关系列出方程,可求每次下降的百分率;
(2)设涨价x元,根据总盈余每千克盈余数量,可列方程,可求解.
【小问1详解】
解:设每次下降的百分率为a,根据题意得:,
解得:,(不合题意,舍去)或,
答:每次下降的百分率为;
【小问2详解】
解:设每千克应涨价x元,则每千克盈利元,每天可售出千克,
由题意得:,
整理,得,
解得: ,
∵商场规定每千克涨价不能超过8元,
∴,
答:每千克应涨价5元.
22. 如图,在中,,点D是边上的一个动点,点E在上,点D在运动过程中始终保持,设的长为.
(1)求证:;
(2)当时,求x的值.
【答案】(1)见解析 (2),.
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质.
(1)根据等边对等角得,利用三角形外角和的性质得即有相似成立;
(2)利用第一问相似三角形的性质对应边的比相等,列方程即可求得答案.
【小问1详解】
证明:∵,
∴,
∵,
∴,
∴;
【小问2详解】
解:∵,
∴,
∴,
则,
∵,
∴,
解得,.
六、(本题12分)
23. 如图1,边长为4的正方形与边长为()的正方形的顶点重合点在对角线上.
(1)【问题发现】如图1,与的数量关系为______.
(2)【类比探究】如图2,将正方形绕点顺时针旋转度(),问题发现中的结论是否还成立?如成立写出推理过程,如不成立,说明理由.
(3)【拓展延伸】在图1中,若点为的中点,将正方形绕点顺时针旋转,在旋转过程中,当点,,在一条直线上时,直接写出此时线段的长度.
【答案】(1)
(2),证明见解答过程,
(3)
【解析】
【分析】易证AB∥EF,由平行线分线段成比例可解.
证明△ACE和△BCF相似可解.
分情况讨论,连接CE交GF于H,由正方形的性质可得四边长度和对角线的长度,进而求出CF,GF,HE等线段长度,最终得到AH的长度,得到答案.
【小问1详解】
证明:∵四边形ABCD和四边形EFCG是正方形,
∴∠B=∠CFE=90°,∠FCE=∠BCA=45°,,CE⊥GF,
∴AB∥EF,
∴
∴
故答案为
【小问2详解】
上述结论还成立,
证明,连接CE,如图,
∵∠FCE=∠BCA=45°,
∴∠BCF=∠ACE=45°-∠ACF,
在Rt△CEG和Rt△CBA中,
∴
∴△ACE∽△BCF,
则
∴
【小问3详解】
分两种情况:
连接CE交GF于H,如图,
∵四边形ABCD和四边形EFCG是正方形,
∴AB=BC=4,HF=HE=HC,
∵点F为BC的中点,
∴CF=BC=2,GF=CE=2,GH=HF=HE=HC=,
∴
则
连接CE交GF于H,如图,
由①可知:GH=HF=HE=HC=
∴
则
故AG的长度为
【点睛】题是四边形的综合题目,考查正方形的性质、图形旋转、平行线分线段成比例、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题关键是熟练运用正方形的性质,证明三角形相似,得到对应边成比例.
中
考
必
胜
中
考中
必中
胜中
考
中考
必考
胜考
必
中必
考必
胜必
胜
中胜
考胜
必胜
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这是一份2023-2024学年江西省九江市都昌县九年级(上)期末数学试卷,共10页。