2023-2024学年江西省九江市都昌县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省九江市都昌县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程中，属于一元二次方程是( )
A. 2x+1=0B. x2+y=5C. x2+x=5D. x2+1x+1=0
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A. 对角线相等B. 对角线互相垂直
C. 对角线平分一组对角D. 对角线互相平分
3.反比例函数y=kx的图象经过点(−2,1)，则下列说法错误的是( )
A. k=−2B. 函数图象分布在第二、四象限
C. 当x>0时，y随x的增大而增大D. 当x<0时，y随x的增大而减小
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，D为BC上一点，将△ABC沿AD折叠后，点C恰好落在斜边AB的中点E处，则折痕AD的长为( )
A. 2 3
B. 2 33
C. 3
D. 6
5.已知实数x，y满足x2+3x+y−3=0，则x+y的最大值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，则下列结论：
①abc<0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是−1，3；③a+2b=c；④y最大值=43c.其中正确的有个．( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为______．
8.设x1，x2是一元二次方程x2−x−1=0的两根，则x1+x2+x1x2= ．
9.如图所示，Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=4，OB=2，点B在反比例函数y=2x图象上，则图中过点A的双曲线解析式是______．
10.如果将抛物线y=(x−1)2先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为______．
11.如图，△ABO与△A′B′O是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为2：1，点A′的坐标为(2,−1)，则点A的坐标为 ．
12.如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是边BC的中点，连接AE，DE，将AE绕点E旋转得到线段FE，连接BF，当∠DEF=90°时，BF的长为______．
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
如图，AC平分∠BAD，∠B=∠ACD．
(1)求证：△ABC∽△ACD；
(2)若AB=2，AC=3，求AD的长．
14.(本小题6分)
某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
15.(本小题6分)
扬州市体育中考现场考试内容有三项：50米跑为必测项目；另在立定跳远、实心球(二选一)和坐位体前屈、1分钟跳绳(二选一)中选择两项．
(1)毎位考生有______种选择方案；
(2)用画树状图或列表的方法求小明与小刚选择同种方案的概率．(友情提酲：各种方案用A、B、C、…或①、②、③、…等符号来代表可简化解答过程)
16.(本小题6分)
请仅用无刻度的直尺在下列图1和图2中按要求画菱形．
(1)图1是矩形ABCD，E，F分别是AB和AD的中点，以EF为边画一个菱形；
(2)图2是正方形ABCD，E是对角线BD上任意一点(BE>DE)，以AE为边画一个菱形．
17.(本小题6分)
已知：如图，正方形ABCD的边长为6，将其绕点A顺时针旋转30°得到正方形AEFG，FG与BC相交于点H．
(1)求证：BH=GH；
(2)求BH的长．
18.(本小题8分)
如图，反比例函数y1=kx图象与一次函数y2=−12x−1的图象交于点A(−4,a)与点B．
(1)求a的值与反比例函数关系式；
(2)连接OA，OB，求S△ADB；
(3)若y1>y2，请结合图象直接写出x的取值范围．
19.(本小题8分)
图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点B，E，D均为可转动点．现测得AB=BE=ED=CD=15cm，经多次调试发现当点B，E所在直线垂直经过CD的中点F时(如图3所示)放置较平稳．
(1)求平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角的大小；
(2)为保护视力，写字时眼睛离桌面的距离应保持在30cm，为防止台灯刺眼，点A离桌面的距离应不超过30cm，求台灯平稳放置时∠ABE的最大值．(结果精确到0.01°，参考数据： 3≈1.732，sin7.70°≈0.134，cs82.30°≈0.134，可使用科学计算器)
20.(本小题8分)
我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义.如图1，身高1.5m的小王晚上在路灯灯柱AH下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线上，小王的步间距保持一致．
(1)请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置．
(2)估计路灯AO的高，并求影长PQ的步数．
(3)无论点光源还是视线，其本质是相同的，日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题.如图2，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.测得DF=0.5m，EF=0.3m，CD=10m，小明眼睛到地面的距离为1.5m，则树高AB为______m.
21.(本小题9分)
某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y(件)与每件售价x(元)之间存在一次函数关系(其中8≤x≤15，且x为整数).当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w(元)，当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
22.(本小题9分)
(1)如图1，在正方形ACDE中，点F，G分别在边AE，AC上，若∠FDG=45°，则FG，EF，CG之间的数量关系为：______；(提示：以点D为旋转中心，将△DCG顺时针旋转90°)
解决问题：
(2)如图2，若把(1)中的正方形改为等腰直角三角形，∠ADC=90°，E，F是底边AC上任意两点，且满∠EDF=45°，试探究AE，EF，FC之间的关系；
拓展应用：
(3)如图3，若把(1)中的正方形改为菱形ACDE，∠E=60°，菱形的边长为8，G，F分别为边AC，AE上任意两点，且满足∠FDG=60°，请直接写出四边形DFAG的面积．
23.(本小题12分)
如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA=2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x=12，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；
(3)抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、2x+1=0是一元一次方程，故该选项不符合题意；
B、x2+y=5，含有两个未知数且最高次数为2，所以不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
C、x2+x=5，只含有一个未知数且最高次数为2，所以是一元二次方程，故该选项符合题意；
D、x2+1x+1=0为分式方程，故该选项不符合题意．
故选：C．
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程．据此解答即可．
此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．
2.【答案】A
【解析】解：∵正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角，
菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角，
∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等．
故选：A．
根据正方形的性质和菱形的性质解答即可．
本题考查了正方形和菱形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
3.【答案】D
【解析】解：∵反比例函数y=kx的图象经过点(−2,1)，
∴k=−2×1=−2，
∴y=−2x
故A正确；
∵k=−2<0，
∴双曲线y=−2x分布在第二、四象限，
故B选项正确；
∵当k=−2<0时，反比例函数y=−2x在每一个象限内y随x的增大而增大，
即当x>0或x<0时，y随x的增大而增大．
故C选项正确，D选项错误，
综上，说法错误的是D，
故选：D．
利用待定系数法求得k的值，再利用反比例函数图象的性质对每个选项进行逐一判断即可．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定函数的解析式，反比例函数图象的性质．利用待定系数法求得k的值是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：根据折叠，可知AE=AC=3，∠CAD=∠EAD，
∵点E为AB的中点，
∴AB=6，
∵∠C=90°，
∴cs∠BAC=ACAB=12，
∴∠BAC=60°，
∴∠CAD=∠EAD=30°，
∵cs∠CAD=ACAD= 32，
∴AD=2 3，
故选：A．
根据折叠的性质可得AE=AC=3，∠CAD=∠EAD，根据特殊角的三角函数可知∠BAC=60°，进一步可得∠CAD=30°，根据cs∠CAD=ACAD= 32，即可求出AD的长．
本题考查了翻折变换，特殊角的三角函数，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵x2+3x+y−3=0，
∴y=−x2−3x+3，
∴x+y=−x2−2x+3=−(x+1)2+4，
∴当x=−1时，x+y有最大值4，
故选：D．
根据已知等式，可用x表示出x+y.再利用二次函数的性质可求得其最大值．
本题主要考查二次函数的最值，用x表示出x+y是解题的关键，注意函数性质的应用．
6.【答案】D
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b=−2a>0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c>0，∴abc<0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−1,0)，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是−1，3，所以②正确；
∵当x=−1时，y=0，
∴a−b+c=0，而b=−2a，
∴a+2a+c=0，即c=−3a，
∴a+2b−c=a−4a+3a=0，即a+2b=c，所以③正确；
∵当x=1时，函数有最大值y=a+b+c，
函数有最大值y=a−2a+c=−a+c=13c+c=43c，所以④正确；
故选：D．
利用抛物线开口方向得到a<0，利用抛物线的对称轴方程得到b=−2a>0，利用抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c>0，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−1,0)，则根据抛物线与x轴的交点问题可对②进行判断；由于x=−1时，a−b+c=0，再利用b=−2a得到c=−3a，则可对③④进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，正确记忆相关知识点是解题关键．
7.【答案】59
【解析】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中是偶数的结果有5种，
∴是偶数的概率为59，
故答案为：59．
画树状图，共有9种等可能的结果，其中是偶数的结果有5种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8.【答案】0
【解析】解：∵x1,x2是方程x2−x−1=0的两根，
∴x1+x2=1，x1⋅x2=−1，
∴x1+x2+x1x2=1−1=0．
故答案为0．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程两个根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
直接根据根与系数的关系求解．
9.【答案】y=−8x
【解析】解：设点B的坐标是(m,n)，
因为点B在函数y=2x的图象上，则mn=2，
则BD=n，OD=m，则AC=2m，OC=2n，
设过点A的双曲线解析式是y=kx，A点的坐标是(−2n,2m)，
把它代入得到：2m=k−2n，
则k=−4mn=−8，
则图中过点A的双曲线解析式是y=−8x．
故答案为：y=−8x．
要求函数的解析式只要求出点A的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D.根据条件得到△ACO∽△ODB，得到：ODAC=BDOC=OBOA=24=12，然后用待定系数法即可．
求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式．
10.【答案】y=(x+1)2+1
【解析】解：将抛物线y=(x−1)2先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为：y=(x−1+2)2+1，即y=(x+1)2+1．
故答案为y=(x+1)2+1．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．
11.【答案】(−4,2)
【解析】解：由题意得：△ABO与△A′B′O是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为2：1，
又∵A′(2,−1)，且原图形与位似图形是异侧，
∴点A的坐标是[2×(−2),−1×(−2)]，即点A的坐标是(−4,2)．
故答案为：(−4,2)．
把点A的横纵坐标分别乘以−2即可得到点A的坐标．
本题考查位似变换：先确定点的坐标，及相似比，再分别把横纵坐标与相似比相乘即可，注意原图形与位似图形是同侧还是异侧，来确定所乘以的相似比的正负．理解和掌握位似变换是解题的关键．
12.【答案】2 2或2 10
【解析】解：如图，将AE绕点E逆时针旋转得到线段FE，过点F作FH⊥BC，交CB的延长线于H，
∴EF=AE，
∵点E是BC的中点，
∴BE=EC=2，
又∵∠ABC=∠DCB=90°，AB=CD，
∴△ABE≌△DCE(SAS)，
∴AE=DE，
∴AE=EF=DE，
∵∠DEF=90°，
∴∠DEC+∠FEH=90°=∠FEH+∠EFH，
∴∠DEC=∠EFH，
又∵∠DCE=∠EHF=90°，
∴△DCE≌△EHF(AAS)，
∴FH=EC=2，EH=CD=4，
∴BH=2，
∴BF= BH2+HF2=2 2；
如图，将AE绕点E顺时针旋转得到线段F′E，过点F作F′H′⊥BC，交CB的延长线于H′，
同理可求H′F′=BE=2，EH′=CD=4，
∴BH′=6，
∴BF′= H′B2+H′F′2=2 10，
故答案为：2 2或2 10．
分两种情况讨论，由“SAS”可证△ABE≌△DCE，可得AE=DE，由“AAS”可证△DCE≌△EHF，可得FH=EC=2，EH=CD=4，由勾股定理可求解．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
13.【答案】(1)解：∵AC分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD．
∵∠B=∠ACD，
∴△ABC∽△ACD；
(2)∵△ABC∽△ACD，
∴ACAB=ADAC．
∵AB=2，AC=3，
∴AD=92．
【解析】(1)利用两角法证得结论；
(2)根据相似三角形的对应边成比例列出比例式，代入相关数值计算．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，本题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．
14.【答案】解：设每千克水果应涨价x元，
依题意得方程：(500−20x)(10+x)=6000，
整理，得x2−15x+50=0，
解这个方程，得x1=5，x2=10．
要使顾客得到实惠，应取x=5．
答：每千克水果应涨价5元．
【解析】设每千克水果应涨价x元，得出日销售量将减少20x千克，再由盈利额=每千克盈利×日销售量，依题意得方程求解即可．
解答此题的关键是熟知此题的等量关系是：盈利额=每千克盈利×日销售量．
15.【答案】(1)4；
(2)用A、B、C、D代表四种选择方案．(其他表示方法也可)
解法一：用树状图分析如下：
解法二：用列表法分析如下：
两人选择的方案共有16种等可能的结果，其中选择同种方案有4种，
所以小明与小刚选择同种方案的概率=416=14．
【解析】解：(1)毎位考生可选择：50米跑、立定跳远、坐位体前屈(用A表示)；50米跑、实心球、坐位体前屈(用B表示)；50米跑、立定跳远、1分钟跳绳(用C表示)；50米跑、实心球、1分钟跳绳(用D表示)；共用4种选择方案．
故答案为4．
(2)见答案．
【分析】
(1)先列举出毎位考生可选择所有方案：50米跑、立定跳远、坐位体前屈(用A表示)；50米跑、实心球、坐位体前屈(用B表示)；50米跑、立定跳远、1分钟跳绳(用C表示)；50米跑、实心球、1分钟跳绳(用D表示)；共用4种选择方案．
(2)利用数形图展示所有16种等可能的结果，其中选择两种方案有12种，根据概率的概念计算即可．
本题考查了概率的概念：用列举法展示所有等可能的结果数n，找出某事件所占有的结果数m，则这件事的发生的概率P=mn．
16.【答案】解：(1)如图所示：四边形EFGH即为所求的菱形；
(2)如图所示：四边形AECF即为所求的菱形．

【解析】(1)直接利用矩形的性质将其分割进而得出各边中点即可得出答案；连接AC、BD，设交点为O，连接并延长FO得到点H，同理得到点G，四边形EFGH即为所求；
(2)利用正方形的性质延长AE，交DC于点N，连接NO并延长NO交AB于点M，连接MC，即可得出F点位置，进而得出答案．
此题主要考查了复杂作图以及矩形、正方形的性质，正确应用菱形的判定方法是解题关键．
17.【答案】(1)证明：连接AH，
依题意，正方形ABCD与正方形AEFG全等，
∴AB=AG，∠B=∠G=90°.(1分)
在Rt△ABH和Rt△AGH中，
AH=AH，AB=AG，
∴Rt△ABH≌Rt△AGH.(2分)
∴BH=GH.(3分)
(2)解：∵∠1=30°，△ABH≌△AGH，
∴∠2=∠3=30°.(4分)
在Rt△ABH中，∵∠2=30°，AB=6，
∴BH=AB⋅tan30°=6× 33=2 3．
【解析】(1)连接AH，可证得Rt△ABH≌Rt△AGH，故可证得结论；
(2)利用上题证得的结论求得∠2=∠3=30°，在Rt△ABH中求得BH的长即可．
此题主要考查旋转变换的性质、全等三角形的判定及性质及正方形的性质，作出辅助线是关键．
18.【答案】解：(1)将A(−4,a)代入y=−12x−1中，得a=1；
将A(−4,1)代入y=kx中，得k=−4，
所以反比例函数关系式y=−4x；
(2)由y=−12x−1y=−4x，解得x=−4y=1或x=2y=−2，
所以A(−4,1)，B(2,−2)，
设一次函数y2=−12x−1与y轴交于点C(0,−1)，
故S△AOB=S△AOC+S△BOC=12×1×4+12×1×2=3；
(3)观察图象，若y1>y2，则−42．
【解析】(1)把点A(−4,a)代入一次函数y2=−12x+1求得a的值，然后利用待定系数法即可求得反比例函数关系式；
(2)解析式联立成方程组，解方程组即可求得A、B的坐标，设一次函数y2=−12x−1与y轴交于点C(0,−1)，利用三角形面积公式，根据S△AOB=S△AOC+S△BOC求得即可；
(3)根据图象即可求解．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，函数与不等式的关系，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．
19.【答案】解：(1)由题意得：DF=12CD=152cm，EF⊥CD，
∴csD=DFDE=12，
∴∠D=60°；
答：平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角是60°；
(2)如图3，过A作AH⊥BE交EB的延长线于H，
∴HF=30，
∵EF=15× 32=15 32，
∴BH=30−BE−EF=15−15 32，
∴cs∠ABH=BHAB≈0.134，
∴∠ABH≈82.30°，
∴∠ABE=97.70°．
答：台灯平稳放置时∠ABE的最大值是97.70°．
【解析】(1)由题意得：DF=12CD=152cm，EF⊥CD，根据三角函数的定义即可得到结论；
(2)如图3，过A作AH⊥BE交EB的延长线于H，求得EF=15× 32=15 32，根据cs∠ABH=BHAB≈0.134，根据得到结论．
此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是表示出线段的长后，理清线段之间的关系．
20.【答案】9
【解析】解：(1)如图：
点O和点Q即为所求；
(2)设AO=x米，PQ=y步，
由题得：MP=4步，AM=20步，MN=BP=1.5米，AO//MN//BP，
∴△MNP∽△AOP，△BPQ∽△AOQ，
∴MNAO=MPAP=PQAQ，
即：1.5x=44+20=yy+20+4，
解得：x=9，y=4.8，
所以路灯AO的高是9米，影长PQ的步数4.8步；
(3)在Rt△DEF中，DE= 0.52−0.32=0.4(米)，
∵∠D=∠D，∠DEF=∠DCB=90°，
∴△DEF∽△DCB，
∴EFDE=BCCD，
∴，
解得：BC=7.5(米)，
∴7.5+1.5=9(米)，
故答案为：9米．
(1)根据点光源的性质画图；
(2)根据三角形相似的性质，列方程求解；
(3)根据三角形相似的性质，列方程求解．
本题考查了作图，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设每天的销售量y(件)与每件售价x(元)函数关系式为：y=kx+b，
由题意可知：9k+b=10511k+b=95，
解得：k=−5b=150，
∴y与x之间的函数关系式为：y=−5x+150；
(2)(−5x+150)(x−8)=425，
解得：x1=13，x2=25(舍去)，
∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；
(3)w=y(x−8)，
=(−5x+150)(x−8)，
=−5x2+190x−1200，
=−5(x−19)2+605，
∵8≤x≤15，且x为整数，
当x<19时，w随x的增大而增大，
∴当x=15时，w有最大值，最大值为525．
答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
【解析】(1)根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
(2)根据每件的销售利润×每天的销售量=425，解一元二次方程即可；
(3)利用销售该消毒用品每天的销售利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关系．
22.【答案】(1)FG=EF+CG;
(2)AE2+FC2=EF2，理由如下：
∵△ADC是等腰直角三角形，∠ADC=90°，
∴∠DAC=∠C=45°，
如图，以点D为旋转中心，将△DCF顺时针旋转90°得△DAG，
∴△DCF≌△DAG，
∴DF=DG，∠CDF=∠ADG，CF=AG，∠DAG=∠C=45°，
∵∠FDE=45°，
∴∠CDF+∠ADE=∠ADG+∠ADE=45°，
∴∠FDE=∠GDE=45°，
在△FDE和△GDE中，
DF=DG∠FDE=∠GDEDE=DE,
∴△FDE≌△GDE(SAS)，
∴EF=EG，
∵∠EAG=∠DAE+∠DAG=45°+45°=90°，
∴AE2+AG2=EG2，
即AE2+FC2=EF2；
(3)四边形DFAG的面积是16 3．
【解析】解：(1)FG=EF+CG，理由如下：
如图，以点D为旋转中心，将△DCG顺时针旋转90°得△DEH，
∴△CDG≌△EDH，
∴DG=DH，∠CDG=∠EDH，CG=EH，
∵四边形ACDE是正方形，
∴AE=AC=CD=DE，∠CDE=90°，
∵∠GDF=45°，
∴∠CDG+∠EDF=∠EDH+∠EDF=45°，
∴∠GDF=∠HDF=45°，
在△GDF和△HDF中，
DG=DH∠GDF=∠HDFDF=DF,
∴△GDF≌△HDF(SAS)，
∴GF=HF，
∴GF=EH+EF=CG+EF；
∴FG=EF+CG；
故答案为：FG=EF+CG，
(2)见答案；
(3)如图，连接AD，
∵四边形ACDE是菱形，∠E=60°，
∴△ADE，△ADC是等边三角形，
∴AD=CD=8，∠C=∠DAE=∠ADC=60°，
∵∠FDG=60°，
∴∠ADF+∠ADG=∠CDG+∠ADG=60°，
∴∠ADF=∠CDG，
在△ADF和△CDG中，
∠ADF=∠CDGAD=CD∠DAF=∠C,
∴△ADF≌△CDG(ASA)，
∴四边形DFAG的面积=△ADF的面积+△ADG的面积
=△CDG的面积+△ADG的面积
=△ADC的面积
= 34×82
=16 3．
(1)以点D为旋转中心，将△DCG顺时针旋转90°得△DEH，可得DG=DH，∠CDG=∠EDH，CG=EH，然后证明△GDF≌△HDF(SAS)，可得GF=HF，进而可以得结论；
(2)以点D为旋转中心，将△DCF顺时针旋转90°得△DAG，可得DF=DG，∠CDF=∠ADG，CF=AG，∠DAG=∠C=45°，然后证明△FDE≌△GDE(SAS)，可得EF=EG，然后证明∠EAG=∠DAE+∠DAG=45°+45°=90°，进而可以得结论；
(3)连接AD，根据菱形的性质可得△ADE，△ADC是等边三角形，然后证明△ADF≌△CDG(ASA)，可得四边形DFAG的面积=△ADF的面积+△ADG的面积=△ADC的面积，然后根据等边三角形的面积即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
23.【答案】解：(1)设OB=t，则OA=2t，则点A、B的坐标分别为(2t,0)、(−t,0)，
则x=12=12(2t−t)，解得：t=1，
故点A、B的坐标分别为(2,0)、(−1,0)，
则抛物线的表达式为：y=a(x−2)(x+1)=ax2+bx+2，
解得：a=−1，b=1，
故抛物线的表达式为：y=−x2+x+2；
(2)对于y=−x2+x+2，令x=0，则y=2，故点C(0,2)，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y=−x+2，
设点D的横坐标为m，则点D(m,−m2+m+2)，则点F(m,−m+2)，
则DF=−m2+m+2−(−m+2)=−m2+2m，
∵−1<0，故DF有最大值，此时m=1，点D(1,2)；
(3)存在，理由：
点D(m,−m2+m+2)(m>0)，则OE=m，DE=−m2+m+2，
以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，
则DEOE=OBOC或OCOB，即DEOE=12或2，即−m2+m+2m=12或2，
解得：m=1或−2(舍去)或1+ 334或1− 334(舍去)，
经检验，m=1或1+ 334是方程的解，
故m=1或1+ 334．
【解析】(1)点A、B的坐标分别为(2t,0)、(−t,0)，则x=12=12(2t−t)，即可求解；
(2)点D(m,−m2+m+2)，则点F(m,−m+2)，则DF=−m2+m+2−(−m+2)=−m2+2m，即可求解；
(3)以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，则DEOE=OBOC或OCOB，即可求解．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 小刚
小明
A
B
C
D
A
(A,A)
(A,B)
(A,C)
(A,D)
B
(B,A)
(B,B)
(B,C)
(B,D)
C
(C,A)
(C,B)
(C,C)
(C,D)
D
(D,A)
(D,B)
(D,C)
(D,D)