2023-2024学年山东省淄博市淄川区九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023-2024学年山东省淄博市淄川区九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）
1. 反比例函数y＝（m为常数），在每个象限内，y随x的增大而减小，则m取值范围是（ ）
A. m＞0B. m＞2C. m＜0D. m＜2
【答案】B
【解析】∵反比例函数y＝（m为常数），在每个象限内，y随x的增大而减小，
∴m﹣2＞0，解得：m＞2．
故选：B．
2. 若csα＝，则锐角α的度数是（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
【答案】C
【解析】∵csα＝，
∴α＝60．
故选：C．
3. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ）
A. 抛物线开口向上B. 抛物线与y轴的交点坐标为
C. 抛物线的顶点坐标为D. 当时，y随x的增大而减小
【答案】B
【解析】①抛物线中，，抛物线开口向上，
因此A选项正确，不符合题意；
②由解析式得，当时，，
因此B选项错误，符合题意；
③由解析式得，当时，y取最小值，最小值为1，所以抛物线的顶点坐标为，
因此C选项正确，不符合题意；
④因为抛物线开口向上，对称轴为直线，因此当时，y随x的增大而减小，
因此D选项正确，不符合题意．
故答案选：B ．
4. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】结合三个视图发现，应该是由一个正方体在一个角上挖去一个小正方体，且小正方体的位置应该在右上角．
故选B．
5. 如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵a＞0，b＜0，c＜0，
∴﹣＞0，
∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，
故选C．
6. 数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（ ）（精确到1m．参考数据：，，，）
A. 28mB. 34mC. 37mD. 46m
【答案】C
【解析】在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，
∴，
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，
∴，
解得：m，
故选：C．
7. 已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝n时，函数值分别是N1和N2，若存在实数n，使得N1+N2＝1，则称函数y1和y2是“和谐函数”．则下列函数y1和y2不是“和谐函数”的是（ ）
A. y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1B. y1＝和y2＝x+1
C. y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1D. y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1
【答案】B
【解析】A、令y1+y2＝1，
则x2+2x﹣x+1＝1，
整理得：x2+x＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1，
∴函数y1和y2是“和谐函数”，故A不符合题意；
B、令y1+y2＝1，则+x+1＝1，
整理得：x2+1＝0，
此方程无解，
∴函数y1和y2不“和谐函数”，故B符合题意；
C、令y1+y2＝1，
则﹣﹣x﹣1＝1，
整理得：x2+2x+1＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣1，
∴函数y1和y2是“和谐函数”，故C不符合题意；
D、令y1+y2＝1，
则x2+2x﹣x﹣1＝1，
整理得：x2+x﹣2＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣2，
∴函数y1和y2是“和谐函数”，故D不符合题意；
故选：B．
8. 如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】连接，交y轴于点D，如图所示：

当时，则，即，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴点，
∴，
解得：，
故选B．
9. 如图，在中，为坐标原点，直角顶点在轴的正半轴上，反比例函数在第一象限的图象经过的中点，交于点，连接．若，则直线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设，
∵点D在上，
，
，
，
，
∴点，
∵点B是的中点，
∴点B的坐标为，
∵点B在反比例函数图象上，
，
，
，
解得，，
∴点B坐标为，
设直线的解析式为，
则，解得，
所以，直线解析式为．
故答案为：C．
10. 如图,有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2cm，BC＝FG＝8cm．把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，sinα等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，
∵∠ADC=∠HDF=90°
∴∠CDM=∠NDH，且CD=DH，∠H=∠C=90°
∴△CDM≌△HDN（ASA）
∴MD=ND，且四边形DNKM是平行四边形
∴四边形DNKM是菱形
∴KM=DM
∵sinα=sin∠DMC=，
∴当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小，
设MD=a=BM，则CM=8-a，
∵MD2=CD2+MC2，
∴a2=4+（8-a）2，
∴a=，
∴DM=，
∴；
故选：B．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为______（结果保留）．
【答案】
【解析】由三视图可知，此几何体为圆柱体的一半，
∴体积：，故答案为：．
12. 已知二次函数图象的顶点在坐标原点，且图象经过点．将它向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则平移后对应的二次函数的表达式为______．
【答案】
【解析】设抛物线解析式为，把代入得，
所以这个二次函数解析式为，
把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到新抛物线解析式为：．故答案为：
13. 如图，已知点A是反比例函数的图象上一点，轴交另一个反比例函数的图象于点B，C为x轴上一点，若，则k的值为_______．

【答案】6
【解析】延长交轴于点，连接、，
点是反比例函数的图象上，轴，
，，
，
又点在反比例函数的图象上，，
，（舍去），故答案为：6．

14. 在正方形网格中，A，B，C，D，E均为格点，则______．
【答案】1
【解析】连接、，
则，
∵，
∴，
设小正方形的边长为1，
则，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，即，
∴，
故答案为：1．
15. 已知点为抛物线上一动点．当时，的取值范围是，则抛物线的解析式为______．
【答案】或
【解析】根据题意得：①当时，当时函数有最大值4，时有最小值1，有，
解得：，
此时抛物线的解析式为；
②当时，当时函数有最小值1，时有最大值4，
有，
解得：，
此时抛物线的解析式为．
综上可知：抛物线的解析式为或．
三、解答题（共8题，16、17、18、19每题10分，20、21每题12分，22、23每题13分，共90分）
16.
解：原式
17. 在中，，，求这个三角形的周长．
解：如图，过A点作，
∵中，，
∴，
∵，
∴．
则，即，解得（负值舍去），
这个三角形的周长为．
18. 如图,在平面直角坐标系中,直线与双曲线相交于两点．
（1）求对应的函数表达式；
（2）过点作轴交轴于点，求的面积；
（3）根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集．
解：（1）把点代入反比例函数解析式得：，
∴，
∵点B在反比例函数图象上，
∴，解得：，
∴，
把点A、B作代入直线解析式得：，解得：，
∴；
（2）由（1）可得：，，
∵轴，
∴，
∴点A到PB的距离为，
∴；
（3）由（1）及图象可得：当时，x的取值范围为或．
19. 二次函数的图象经过点，，试求：
（1）该二次函数的表达式；
（2）求出顶点坐标；
（3）判断点是否在这个函数图象上．
解：（1）把，两点代入，
得，
解得，；
∴二次函数为，
（2），
顶点坐标为：；
（3）不在二次函数图像上
把代入，得；
∴点P在不在此二次函数的图象上．
20. 两建筑物和的水平距离为，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为，求建筑物的高度．（结果保留根号）
解：作于E，
，
∵A点测得D点的俯角为，
∴,,
∴
∵米，
∴米，
在中，,
,
,
∴（米）
答：的高度为米．
21. 为了促进旅游经济发展，淄川区某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元．销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（2）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？（友情提示：一定注意自变量取值范围）
解：（1）设每天的销售数量（件）与销售单价（元/件）之间的关系式为，
把，代入得：
，解得，∴；
（2）设每天获利w元
，
∵，对称轴是直线，而，
∴时，w取最大值，最大值是（元），
答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
22. 如图，抛物线与双曲线全相交于点A、B，且抛物线经过坐标原点，点的坐标为(一2,2),点B在第四象限内．过点B作直线BC x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点,已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍．记抛物线顶点为E．
（1）求双曲线和抛物线的解析式;
（2）计算与的面积;
（3）在抛物线上是否存在点D，使的面积等于的面积的8倍?若存在，请求出点D的坐标;若不存在，请说明理由.
解：（1）∵点A（﹣2，2）在双曲线上，
∴k=﹣4
∴双曲线的解析式为
∵BC与x轴之间的距离是点B到y轴距离的4倍，
∴设B点坐标为（m，﹣4m）（m＞0）代入双曲线解析式得m=1
∴抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）过点A（﹣2，2）、B（1，﹣4）、O（0，0）
∴，解得：
∴抛物线的解析式为．
（2）如图，
∵抛物线的解析式为，
∴顶点E（），对称轴为x=
∵B（1，﹣4），∴﹣x2﹣3x=﹣4，
解得：x1=1，x2=﹣4
∴C（﹣4，﹣4）
∴S△ABC=×5×6=15，
由A、B两点坐标为（﹣2，2），（1，﹣4）可求得直线AB的解析式为：y=﹣2x﹣2
设抛物线的对称轴与AB交于点F，则F点的坐标为（，1）．
∴EF=．∴S△ABE=S△AEF+S△BEF=××3=．
（3）S△ABE=，∴8S△ABE=15
∴当点D与点C重合时，显然满足条件，
当点D与点C不重合时，过点C作AB的平行线CD，
其直线解析式y=﹣2x﹣12．
令﹣2x﹣12=﹣x2﹣3x，解得x1=3，x2=﹣4（舍去）
当x=3时，y=﹣18，故存在另一点D（3，﹣18）满足条件
综上所述，可得点D的坐标为（3，﹣18）或（﹣4，﹣4）．
23. 如图，抛物线与坐标轴交于点、、，点P为抛物线上动点，设点的横坐标为t．
（1）若点C与点A关于抛物线的对称轴对称，求C点的坐标及抛物线的解析式；
（2）若点P在第四象限，连接、及，当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？
（3）在对称轴上是否存在点Q，使为等腰三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线经过点，，
∴抛物线的对称轴为，
∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称，点
∴，
抛物线表达式为，
故，解得：，
∴抛物线的表达式为．
（2）如图，过点P作y轴的平行线交于点H，
由点A，E的坐标得直线的表达式为，
设点，则点，
∴的面积，
．
，
∴当时，有最大值．
（3）如图，是底时，
，
作于N，
则，
，
即，
，
，
是腰，点A是顶角顶点时，
如下图，
，
，
，
或；
当是腰，点E是顶角顶点时，
如下图，
，
，
或，
综上所述，Q点坐标为或或或或．
销售单价x（元/件）
…
35
40
45
…
每天销售数量y（件）
…
90
80
70
…