浙教版数学八上期末专题训练专题21 用一次函数解决实际问题压轴题五种模型全攻略（2份，原卷版+解析版）

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考点一 用一次函数解决分配方案问题 考点二 用一次函数解决最大利润问题
考点三 用一次函数解决行程问题 考点四 用一次函数解决几何问题
考点五 用一次函数解决其他问题
典型例题

考点一 用一次函数解决分配方案问题
例题：（2022·全国·八年级单元测试）旅游团一行60人到一旅馆住宿，旅游馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其中三人间的每人每天20元，二人间的每人每天30元，单人间的每天50元，如果旅游团共住满了30间客房，问三种客房各住几间，共几种安排方案？怎样安排住宿消费最低，最低消费是多少？
【答案】共16种安排方案，安排住三人间15间、单人间15间时消费最低，最低消费是1650元
【分析】设安排住三人间间，二人间间，则住单人间间，根据该旅游团共60人，即可得出关于，的二元一次方程，解之可得出，结合，均为正整数，即可得出方案的个数，设住宿费用为元，利用总费用每人的费用居住人数房间数，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】解：设安排住三人间间，二人间间，则住单人间间，
依题意得：，
．
，均为非负整数，
∴30-2x≥0，
∴x≤15，
为非负整数），
共16种安排方案．
设住宿费用为元，则，
，
随的增大而减小，
当时，（元）．
答：共16种安排方案，安排住三人间15间、单人间15间时消费最低，最低消费是1650元．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，以及一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·贵州铜仁·八年级阶段练习）某城市对用户的自来水收费表示实行阶梯水价，收费标准用如表所示：
问：
(1)用表示总的自来水费，用表示月用水量，请与的函数关系式并写出的取值范围？
(2)某用户10月份缴水费51元，则该用户10月份的用水量是多少？
【答案】(1)
(2)22吨
【分析】（1）根据表格所给的收费标准，分为，，三段函数进行计算即可；
（2）先判断水费51元符合哪一段函数，然后代入计算，即可得到答案．
（1）
解：根据题意，则
当时，；
当时，；
当时，；
综合上述，则
；
（2）
解：当时，水费为：，
∵，
∴10月份用水量超过18吨，
当时，则，
解得：，
∴10月份的用水量为22吨；
【点睛】本题考查了一次函数的应用，分段函数的应用，解题的关键是根据等量关系，正确的求出函数的解析式．
2．（2021·黑龙江鹤岗·七年级期末）哈尔滨至名山风景区的高铁工程已经进入施工阶段，现要把248吨物资从伊春运往绥化和鹤岗两地，用大、小两种货车共20辆恰好能一次性运完这批货物，已知大、小两种货车的载重量分别是每辆16吨和10吨，运往绥化和鹤岗的运费如表：
(1)两种货车各有多少辆？
(2)若安排9量货车前往绥化，其余货车前往鹤岗，设前往绥化的大货车为a辆，且运往绥化的物资不少于120吨，那么一共有多少种运送方案？其中那种方案运费最省钱？
【答案】(1)大货车用8辆，小货车用12辆．
(2)共有4种方案，使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往绥化地；3辆大货车、8辆小货车前往鹤岗地．
【分析】（1）根据大、小两种货车共20辆，以及两种车所运的货物的和是248吨，据此即可列方程或方程组即可求解；
（2）首先表示出每种车中，每条路线中的费用，总运费为w元就是各个费用的和，据此即可写出函数关系式，再根据运往绥化地的物资不少于120吨，即可列出不等式求得a的范围，再根据a是整数，即可确定a的值，根据函数关系式，即可确定费用最少的运输方案．
（1）
设大货车用x辆，则小货车用（20-x）辆，根据题意得
16x+10（20-x）=248，
解得x=8，
20-x=20-8=12．
答：大货车用8辆，小货车用12辆．
（2）
设运往绥化地的大货车是a,那么运往鹤岗地的大货车就应该是（8-a），运往绥化地的小货车是（9-a），运往鹤岗地的小货车是（3+a），
w=620a+700（8-a）+400（9-a）+550[12-（9-a）]
=70a+10850，
则w=70a+10850（0≤a≤8且为整数）；
根据题意得：16a+10（9-a）≥120，
解得a≥5，
又∵0≤a≤8，
∴5≤a≤8 且为整数．
∴a=5，6，7，8，共有4种方案，
∵w=70a+10850，
k=70＞0，w随a的增大而增大，
∴当a=5时，W最小．
答：共有4种方案，使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往绥化地；3辆大货车、8辆小货车前往鹤岗地．
【点睛】主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
考点二 用一次函数解决最大利润问题
例题：（2022·全国·八年级单元测试）2月4日，北京冬奥会开幕式当天，天猫“奥林匹克旗舰店”里的“冰墩墩”相关产品均已售罄．从“一墩难求”的残酷现状到“一人一墩”的强烈要求，许多工厂在假期纷纷开工加紧生产．硅胶是生产“冰墩墩”外壳的主要原材料．某硅胶制品公司现有的378千克原料全部用于生产、两种硅胶外壳型号，且恰好用完．
(1)若生产的、两种型号的硅胶外壳共4000个，分别求、两种型号的硅胶外壳个数．
(2)某专卖店欲从该硅胶制品公司购进、两种型号的“冰墩墩”共3000个，其中型号的数量不超型号数量的2倍，全部售出后为使获利最大，请你为该专卖店设计进货方案．
【答案】(1)型号外壳2000个，型号外壳2000个
(2)型号外壳为2000个，型号外壳为1000个时，冰墩墩的销售金额最大，最大销售金额为86000元
【分析】（1）设生产A型号外壳个，B型号外壳个，根据生产的A，B两种型号的外壳共4000个，该公司现有378千克的原材料用于生产外壳，并恰好全部用完，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设生产A型号外壳个，B型号外壳个，销售金额为元，由题意得出的取值范围，然后求出，结合一次函数的性质即可得出结论．
（1）
解：设生产A型号外壳x个，B型号外壳y个，
由题意得：，
解得：
即生产A型号外壳2000个，B型号外壳2000个；
（2）
解：设A种型号的“冰墩墩” 个，则B种型号的“冰墩墩” 个，销售获利为元，
由题意得：，
解得：，
由题意得：，
∵，
∴y随的增大而增大，
∵m是正整数，
则m的最大值为2000，
当时，有最大值，最大值为：（元），
即A型号外壳为2000个，B型号外壳为1000个时，冰墩墩的销售金额最大，最大销售金额为86000元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组并正确求解，掌握一次函数的性质．
【变式训练】
1．（2022·广东·佛山市顺德区大墩初级中学八年级期中）为响应创建全国文明城市，某校决定安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买1个温馨提示牌和2个垃圾箱共需270元，若购买2个温馨提示牌和1个垃圾箱共需180元．
(1)求一个温磐提示牌和一个垃圾箱各需多少元？
(2)根据计划，该校需购买温馨提示牌和垃圾箱共60个，且温馨提示牌数量不超过垃圾箱数量的一半，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
【答案】(1)30元，120元
(2)应购买20个温馨提示牌和40个垃圾箱才能使得总费用最少，最少费用为5400元
【分析】（1）设购买1个温馨提示牌需要x元，购买1个垃圾箱需要y元，根据“购买1个温馨提示牌和2个垃圾箱共需270元”得x+2y＝270，根据“购买2个温馨提示牌和1个垃圾箱共需180元”得2x+y＝180，组合成二元一次方程组便可；
（2）设购买温馨提示牌a个，垃圾箱（60﹣a）个，总费用为W元，根据题意列出不等式得出a的取值范围，再列出W与x的函数关系式，根据一次函数的性质求解即可．
（1）
解：设一个温馨提示牌x元，一个垃圾箱y元，依题意得：
，
解得：，
答：一个温馨提示牌30元，一个垃圾箱120元；
（2）
设购买温馨提示牌a个，垃圾箱（60﹣a）个，总费用为w元，
则：a≤（60﹣a），
解得：a≤20，
，即： ，
∵ ，
∴W随a的增大而减小，
∴当a＝20时，W取最小值， ，
此时：垃圾箱：60﹣20＝40（个），
答：应购买20个温馨提示牌和40个垃圾箱才能使得总费用最少，最少费用为5400元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组和一次函数解析式，利用一次函数的性质解答．
2．（2022·河南·许昌市建安区第三高级中学八年级期末）小刚的爸爸在两个学校门口开了两家文具店（分别简称甲店、乙店）．一天，小刚的爸爸购进了A、B两种文具各10箱，预计每箱文具的盈利情况下表：
(1)如果甲店按照A种文具5箱、B种文具5箱配货，那么小刚的爸爸甲店能盈利______元．
(2)如果乙店按照A种文具3箱、B种文具7箱配货，可盈利118元；如果乙店按照A种文具8箱、B种文具2箱配货，可盈利98元．请求出乙店A、B两种文具每箱分别盈利多少元？
(3)在甲、乙两店各配货10箱，且保证乙店盈利不小于100元的条件下，请你设计出使小刚的爸爸盈利最大的配货方案，并求出最大盈利为多少？
【答案】(1)140
(2)乙店A、B两种文具每箱分别盈利元/箱，元/箱，
(3)甲店配A种文具3箱，B种文具7箱．乙店配A种文具7箱，B种文具3箱．最大盈利254元
【分析】（1）根据表格数据，甲店A种文具盈利11元/箱，B种文具盈利17元/箱，列出算式进行计算即可求解；
（2）根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（3）设甲店配A种文具x箱，分别表示出配给乙店的A文具，B文具的箱数，根据盈利不小于110元，列不等式求解，进一步利用经销商盈利=A种文具甲店盈利×x+B种文具甲店盈利×（10-x）+A种文具乙店盈利×（10-x）+B种文具乙店盈利×x；列出函数解析式利用函数性质求得答案即可．
（1）
解：依题意，如果甲店按照A种文具5箱、B种文具5箱配货，那么小刚的爸爸甲店能盈利：（元）
故答案为：140
（2）
解：依题意
解得
∴乙店A、B两种文具每箱分别盈利元/箱，元/箱，
（3）
设甲店配A种文具x箱，则甲店配B种文具（10-x）箱，
乙店配A种文具（10-x）箱，乙店配B种文具10-（10-x）=x箱．
∵9×（10-x）+13x≥100，
∴x≥，
经销商盈利为．
∵-2＜0，
∴w随x增大而减小，
∵为正整数，
∴当时，w值最大．
甲店配A种文具3箱，B种文具7箱．乙店配A种文具7箱，B种文具3箱．
最大盈利： =254（元）．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际运用，找出题目蕴含的不等关系与等量关系解决问题．
考点三 用一次函数解决行程问题
例题：（2021·吉林·长春市赫行实验学校九年级阶段练习）张师傅开车到某地送货，汽车出发前油箱中有油50升，行驶一段时间，张师傅在加油站加油，然后继续向目的地行驶，已知加油前、后汽车都匀速行驶，汽车行驶时每小时的耗油量一定．油箱中剩余油量Q（升）与汽车行驶时间t（时）之间的函数图象如图所示．
(1)张师傅开车行驶____小时后开始加油，本次加油____升．
(2)求加油前Q与t之间的函数关系式．
(3)如果加油站距目的地320千米，汽车行驶速度为80千米/时，张师傅要想到达目的地，油箱中的油是否够用？请通过计算说明理由．
【答案】(1)3，31
(2)Q＝﹣12t+50（0≤t≤3）
(3)不够用，理由见解析
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以写出张师傅开车行驶几小时后开始加油，本次加油多少升；
（2）根据函数图象中的数据，可以计算出加油前Q与t之间的函数关系式；
（3）根据图象中的数据，可以计算出每小时耗油多少升，然后再根据后来加油后油箱中的升数，即可计算出可以最多跑的路程，再与320比较大小即可．
（1）
解：由图象可得，
张师傅开车行驶3小时后开始加油，本次加油45﹣14＝31（升），
故答案为：3，31．
（2）
解：设加油前Q与t之间的函数关系式是Q＝kt+b，
∵点（0，50），（3，14）在该函数图象上，
∴，
解得，
即加油前Q与t之间的函数关系式是Q＝﹣12t+50（0≤t≤3）．
（3）
解：张师傅要想到达目的地，油箱中的油不够用，
理由：由图象可得，
汽车的耗油量为：（50﹣14）÷3＝12（升/时），
45÷12×80
＝×80
＝300（千米），
∵300＜320，
∴张师傅要想到达目的地，油箱中的油不够用．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．
【变式训练】
1．（2021·江苏·西安交大苏州附中八年级阶段练习）甲、乙两人沿相同的路线由A地到B地匀速前进，A、B两地间的路程为20km，他们前进的路程为s（km），甲出发后的时间为t（h），甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示，根据图象信息回答下列问题：
(1)甲的速度是 km/h，乙比甲晚出发 h；
(2)分别求出甲、乙两人前进的路程s与甲出发后的时间t之间的函数关系式；
(3)甲经过多长时间被乙追上？此时两人距离B地还有多远？
【答案】(1)5，1
(2)甲的函数关系式为s＝5t；乙的函数关系式为s＝20t﹣20
(3)甲经过h被乙追上，此时两人距B地还有km
【分析】（1）根据函数图象可以求得甲的速度和乙比甲晚出发的时间；
（2）根据函数图象可以分别设出甲、乙两人前进的路程s与甲出发后的时间t之间的函数关系式，然后根据图象中的数据即可解答本题；
（3）令（2）中的两个函数值相等，即可求得t的值，进而求得s的值，然后再用20减去s的值即可解答本题．
（1）
解：由图象可得，
甲的速度为：20÷4＝5km/h，乙比甲晚出发1小时，
故答案为：5，1．
（2）
解：设甲出发的路程s与t的函数关系式为s＝kt，
则20＝4k，得k＝5，
∴甲出发的路程s与t的函数关系式为s＝5t；
设乙出发的路程s与t的函数关系式为s＝at+b，
，得，
∴乙出发的路程s与t的函数关系式为s＝20t﹣20．
（3）
解：由题意可得，
5t＝20t﹣20，
解得，t＝，
当t＝时，s＝5t＝5×，
20﹣，
即甲经过h被乙追上，此时两人距B地还有km．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
2．（2022·江苏·涟水县麻垛中学九年级阶段练习）在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地，在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车与C地的距离 （单位：km），（单位：km）与甲车行驶时间t（单位：h）之间的函数关系如图．请根据所给图象解答下列问题：
(1)甲车的行驶速度为 km/h，乙车的行驶速度为 km/h；
(2)当时，求乙车与C地的距离与甲车行驶时间t之间的函数关系式；
(3)当乙车出发 小时，两车相遇；
【答案】(1)甲车行驶速度是60km/h，乙车行驶速度是80km/h；
(2)＝；
(3)乙车出发小时，两车相遇．
【分析】（1）根据速度=路程÷时间分别求出甲、乙两车的速度即可；
（2）根据待定系数法分类讨论求解乙车与C地的距离y2与甲车行驶时间t之间的函数关系式；
（3）设乙车出发m小时，两车相遇，根据甲车行驶的路程+乙车行驶的路程=200+240列方程求解即可；
（1）
解：甲车行驶速度是240÷4＝60（km/h），乙车行驶速度是200÷（﹣1）＝80（km/h），
∴甲车行驶速度是60km/h，乙车行驶速度是80km/h；
故答案为60，80
（2）
解：当1＜t≤时，设＝kt+b，
∵图象过点（1，200），（，0），
∴，
∴，
∴＝﹣80t+280；
当＜t≤4时，
∵（4﹣）×80＝40（km），
∴图象过点（4，40），
设＝kt+b，
∵图象过点（4，40），（，0），
∴，
∴，
∴＝80t﹣280．
∴＝；
（3）
解：设乙车出发m小时，两车相遇，由题意得：
80m+60（m+1）＝200+240，
解得：m＝．
∴乙车出发小时，两车相遇．
故答案为
【点睛】本题主要考查了一元一次方程及一次函数的应用，能从图象中获取有效信息，熟练运用待定系数法求解一次函数的关系式是解题的关键．
考点四 用一次函数解决几何问题
例题：（2022·山东济宁·八年级期末）如图，已知直线与x轴、y轴分别相交于点A、B，再将沿直线CD折叠，使点A与点B重合．折痕CD与x轴交于点C，与AB交于点D．
(1)点A的坐标为______；点B的坐标为______；
(2)求OC的长度，并求出此时直线BC的表达式；
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）由一次函数与坐标轴的交点求解即可；
（2）由折叠的性质得出直线CD垂直平分线段AB，设，得出，根据勾股定理得出，即可确定点C的坐标，然后利用待定系数法求解即可．
（1）
解：令，则；令，则，
故点A的坐标为，点B的坐标为．
（2）
设，
∵直线CD垂直平分线段AB，
∴，
∵，
∴，
，
解得，
∴，
∴设直线BC的解析式为
∴
解得
∴直线BC的解析式为．
【点睛】题目主要考查折叠的性质，一次函数的基本性质及利用待定系数法确定一次函数解析式，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·内蒙古·霍林郭勒市第五中学八年级期末）如图，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于A，B，以线段AB为边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，使．
(1)分别求点B，C的坐标；
(2)在x轴上求一点P，使它到B，C两点的距离之和最小．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）求出当时，的值即可得点的坐标，求出当时，的值即可得点的坐标，再过点作轴于点，利用三角形全等的判定定理证出，然后根据全等三角形的性质可得，则，由此即可得点的坐标；
（2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，根据轴对称的性质、两点之间线段最短可得此时的点即为所求，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后求出当时，的值即可得点的坐标．
（1）
解：对于一次函数，
当时，，即，
∴，
当时，，解得，即，
∴，
如图1，过点作轴于点，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
，
∴点的坐标为．
（2）
解：如图2，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，
∵，
∴，
由轴对称的性质可知，，
，
由两点之间线段最短可知，此时点到两点的距离之和最小，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
则直线的解析式为，
当时，，解得，
，
即点到两点的距离之和最小．
【点睛】本题考查了一次函数的几何应用、三角形全等的判定与性质、轴对称的性质等知识点，较难的是题（2），利用轴对称的性质和两点之间线段最短找出到两点的距离之和最小的点的位置是解题关键．
2．（2022·陕西咸阳·七年级期末）如图，OM是一条垂直于河岸ON的小路，现计划在河岸ON上找一点A，小路OM上找一点C，修建一个长方形OABC区域，作为河道保护工作站，要求，若设米，长方形OABC的周长为y米．
(1)请求出y与x之间的关系式；
(2)当OA的长为20米时，求长方形OABC的周长y是多少？
(3)要使长方形OABC的周长y为150米，求OA的长为多少？
【答案】(1)
(2)当OA的长为20米时，长方形OABC的周长y是120米
(3)要使长方形OABC的周长y为150米，OA的长为25米
【分析】（1）根据，得出OC=2x，利用长方形周长公式即可得出y与x之间的关系式；
（2）将x=20代入（1）中的关系式即可得出答案；
（3）将y=150代入（1）中的关系式即可得出答案．
（1）
∵，，
∴，
∴；
（2）
当时，，
即当OA的长为20米时，长方形OABC的周长y是120米；
（3）
当时，，解得，
即要使长方形OABC的周长y为150米，OA的长为25米．
【点睛】本题考查一次函数的应用，掌握长方形的周长公式是解题的关键．
考点五 用一次函数解决其他问题
例题：（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校八年级阶段练习）五一节快到了，单位组织员工去旅游，参加人数估计为10至20人．甲，乙两家旅行社为了吸引更多的顾客，分别提出了优惠方案．甲旅行社的优惠方案是：买3张全票，其余人按半价优惠；乙旅行社的优惠方案是：一律按6折优惠．已知两家旅行社的原价均为每人100元．
(1)分别表示出甲旅行社收费y1 ，乙旅行社收费y2与旅游人数x的函数关系式；
(2)随着团体人数的变化，哪家旅行社的收费更优惠？
【答案】(1)，
(2)当10≤x