模型24 摩擦力做功问题及求变力做功的几种方法—高考物理热点模型突破训练

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01 模型概述
1.摩擦力做功问题
1）无论是静摩擦力还是滑动摩擦力都可以对物体可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。
2）静摩擦力做功的能量问题
①静摩擦做功只有机械能从一个物体转移到另一个物体，而没有机械能转化为其他形式的能。
②一对静摩擦力所做功的代数和总等于零，而总的机械能保持不变。
3）滑动摩擦力做功的能量问题
①滑动摩擦力做功时，一部分机械能从一个物体转移到另一个物体，另一部分机械能转化为内容，因此滑动摩擦力做功有机械能损失。
②一对滑动摩擦力做功的代数和总是负值，总功，即发生相对滑动时产生的热量。
2. 求变力做功的几种方法
1．用求功
当牵引力为变力，且发动机的功率一定时，由功率的定义式，可得.
1）“微元法”求变力做功:
情形一：当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时，力F做的功与路程有关，或，其中s为物体通过的路程．
情形二：当力的大小不变，运动为曲线时，将物体的位移分割成许多小段,因小段很小,每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力,这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和,此法适用于求解大小不变、方向改变的变力做功.
【举例】质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功
2）“图像法”求变力做功: 在F-x图像中,图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移内所做的功,且位于x轴上方的“面积”为正功,位于x轴下方的“面积”为负功,但此方法只适用于便于求图线与x轴所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形).
【举例】一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，
3) “平均力”求变力做功: 当力的方向不变而大小随位移线性变化时,可先求出力对位移的平均值,再由计算,如弹簧弹力做功.
【举例】弹力做功，弹力大小随位移线性变化，取初状态弹力为0，则
4.应用动能定理求解变力做功：在一个有变力做功的过程中，当变力做功无法直接通过功的公式求解时，可用动能定理W变＋W恒＝eq \f(1,2)mv22－eq \f(1,2)mv12，物体初、末速度已知，恒力做功W恒可根据功的公式求出，这样就可以得到W变＝eq \f(1,2)mv22－eq \f(1,2)mv12－W恒，就可以求出变力做的功了．
【举例】用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有：
5)等效转换法求解变力做功：将变力转化为另一个恒力所做的功。
【举例】恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·(eq \f(h,sin α)－eq \f(h,sin β))
02 典题攻破
1.摩擦力做功问题
【典型题1】（2024·福建龙岩·一模）下列说法正确的是（ ）
A．作用力做正功，反作用力也一定做正功B．作用力做负功，反作用力也一定做负功
C．一对静摩擦力所做的功的代数和总为零D．一对滑动摩擦力所做的功的代数和总为零
【答案】C
【详解】A．作用力做正功，反作用力也不一定做正功，例如撞到墙被反弹回去的球，弹力对球做正功，因为墙不动，反作用力对墙不做功，故A错误；
B．作用力做负功，反作用力不一定做负功，如物体在水平面上滑行物体受到的摩擦力做了负功，但其摩擦力的反作用力不做功，故B错误；
C．反作用力一对静摩擦力作用的物体间无相对滑动，故位移始终相等，而二力大小相等，方向相反，故一个做正功，则另一个就做负功，一对静摩擦力所做的功的代数和总为零，故C正确；
D．一对滑动摩擦力，二力大小相等，方向相反，由于物体相对运动，位移为不相等，所以一对相互作用的滑动摩擦力做的功的代数和可以不为零，故D错误。
故选C。
2.变力做功问题
【典型题2】（2024·全国·模拟预测）质量为1kg的物体，在一水平拉力作用下由静止开始在水平面上运动，运动过程中受到地面的摩擦力大小为1N，拉力随位移的变化如图所示，运动1m后撤去拉力，则下列说法正确的是（ ）
A．物体的最大位移为8mB．物体的最大速度为
C．运动过程中合力的最大功率为D．运动过程中合力的最大功率为
【答案】D
【详解】A．设物体位移为，拉力为变力，变力做功为图像围成的面积，则拉力做功为
由能量守恒知
代入得
A错误；
B．由动能定理知，物体的最大速度为，则
代入得
B错误；
CD．当运动过程中合力最大时，拉力为，速度最大时，合力功率最大为
C错误，D正确。
故选D。
【典型题3】（2022·河南·一模）水平桌面上，长6m的轻绳一端固定于O点，如图所示（俯视图），另一端系一质量m=2.0kg的小球。现对小球施加一个沿桌面大小不变的力F=10N，F拉着物体从M点运动到N点，F的方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ=0.2，不计空气阻力，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cs37°=0.8，则下列说法正确的是（ ）
A．拉力F对小球做的功为16π（J）B．拉力F对小球做的功为8π（J）
C．小球克服摩擦力做的功为16π（J）D．小球克服摩擦力做的功为4π（J）
【答案】A
【详解】AB．将圆弧分成很多小段l1，l2，…，ln，拉力F在每小段上做的功为W1，W2，…，Wn，因拉力F大小不变，方向始终与小球的运动方向成37°角，所以
W1=Fl1cs37°
W2=Fl2cs37°
Wn=Flncs37°
故
故A正确，B错误；
CD．同理可得小球克服摩擦力做的功
故CD错误。
故选A。
03 针对训练
1．（2023·海南·一模）如图所示，用一个大小不变的力拉着滑块（视为质点）使其沿半径为的水平圆轨道匀速运动半周，若力的方向始终与其在圆轨道上作用点的切线成夹角，则力做的功为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】将力分解为切线方向和径向方向两个分力，其中径向方向始终与速度方向垂直，不做功，切线方向分力始终与速度方向相同，则滑块匀速运动半周，力做的功为
故选A。
2．（2025·安徽蚌埠·一模）（多选题）如图甲所示，质量为8kg的物体受水平推力F作用在水平面上由静止开始运动，推力F随位移x变化的关系如图乙所示，运动10m后撤去推力F。已知物体与地面间的动摩擦因数为0.5，重力加速度取，在物体运动的整个过程中（ ）
A．推力对物体做的功为480JB．物体的位移为12m
C．物体的加速度大小先减小后不变D．物体在时速度最大，最大速度为6m/s
【答案】AB
【详解】A．根据图像的面积表示力做功，可知推力对物体做的功为
故A正确；
B．设物体整个运动过程的位移大小为，根据动能定理可得
解得
故B正确；
C．在推力不变，物体的加速度大小不变；当推力开始减小时，一开始推力大于摩擦力，物体的加速度逐渐减小；当推力等于摩擦力时，物体的加速度为0，之后推力小于摩擦力，物体的加速度反向逐渐增大，撤去推力后，物体的加速度大小保持不变，故C错误；
D．当推力等于摩擦力时，物体速度最大，则有
结合图像可知此时，根据动能定理可得
其中
解得最大速度为
故D错误。
故选AB。
3．（23-24高三上·山东济宁·期末）（多选题）某网球以大小为v0的速度竖直向上抛出，落回出发点的速度大小为v1。网球的速度随时间变化关系如图所示，若空气阻力大小与网球速率成正比，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．下降过程中网球处于超重状态
B．网球上升、下降过程所受阻力的冲量大小相等
C．网球上升过程克服阻力做功等于下降过程克服阻力做功
D．网球从抛出到落回出发点所用的时间
【答案】BD
【详解】A．根据v-t图像可知，下降过程的加速度与初速度方向相反，即竖直向下，为失重状态，故A错误；
B．小球运动的v-t图像如图所示
由于上升过程和下降过程位移大小相等，因此图中两阴影部分面积相等；因为
则f-t图像与v-t图像相似，两阴影部分的面积也相等，f-t图像t轴上方图像与坐标轴围成的面积表示上升过程的阻力的冲量大小，t轴下方图像与坐标轴围成的面积表示下降过程的阻力的冲量大小。可知上升和下降过程的阻力的冲量大小相等，B正确；
C．小球运动过程中受到的空气阻力大小与其速率成正比，因此上升过程中平均空气阻力大于下降过程中平均空气阻力，上升过程和下降过程位移大小x大小相同，根据
可知，上升过程中克服阻力做功大于下降过程克服阻力做功，C错误；
D．由B分析可知，阻力的总冲量为零，对全过程，根据动量定理
解得
故D正确。
故选BD。
4．（2024·湖南株洲·一模）（多选题）如图，质量为m 的电动遥控玩具车在竖直面内沿圆周轨道内壁以恒定速率v运动，已知圆轨道的半径为R，玩具车所受的摩擦阻力为玩具车对轨道压力的k倍，重力加速度为g， P、Q为圆轨道上同一竖直方向上的两点，不计空气阻力，运动过程中，玩具车（ ）

A．在最低点与最高点对轨道的压力大小之差为6mg
B．通过 P、Q两点时对轨道的压力大小之和为
C．由最低点到最高点克服摩擦力做功为kπmv²
D．由最低点到最高点电动机做功为2kπmv²+2mgR
【答案】BC
【详解】A．在最低点，玩具车在半径方向受到向下的重力和向上的支持力，由向心力公式得
在最高点，玩具车在半径方向受到向下的重力和向下的支持力，由向心力公式得
两式相减可得
A错误；
BC．在PQ两点的受力如图所示
在Q点，由向心力公式有
在P点，由向心力公式有
两式相加可得
因摩托车在不同位置与圆轨道间的压力不同，所以摩擦力是一个变力，将圆轨道分成N段，在轨道上下关于水平直径对称的位置上取两小段A、B，每段的长度为，则在A、B两小段的压力可视为恒力，摩擦力做功之和为
解得
所以摩托车从最低点到最高点克服摩擦力做功为
BC正确；
D．玩具车在竖直面内沿圆周轨道内壁以恒定速率v运动,由最低点到最高点由动能定理可知
解得
D错误。
故选BC。
5．（2024·河南·二模）（多选题）如图甲所示，一质量为m的小物块，从位置O以速度v0沿粗糙水平地面向右运动。小物块与右方一竖直墙壁第一次碰撞后，反向向左运动。当小物块水平向左运动至距竖直墙壁最远处的P1（坐标为x1）位置时，立即对其施加一个水平向右的推力F，当小物块运动到P2（坐标为x2）位置时，撤去推力F，使其与竖直墙壁第二次碰撞后，恰好反向运动至位置O处静止不动。取位置O为坐标原点，水平向右为正方向。已知推力F随小物块水平位移的变化如图乙所示，小物块每次和竖直墙壁碰撞不计能量损失。则下列说法正确的是（ ）
A．小物块每次和竖直墙壁碰撞的过程中，墙壁对小物块的冲量大小为0
B．小物块每次和竖直墙壁碰撞的过程中，墙壁对小物块做的功为0
C．在小物块从位置O开始运动到第一次返回到P1的过程中，摩擦力对小物块做的功为
D．在推力F对小物块作用的过程中，推力F对小物块做的功为
【答案】BCD
【详解】A．小物块每次和竖直墙壁碰撞的过程中，墙壁对小物块的作用力不为零，根据I=Ft可知，墙壁对小物块的冲量大小不为0，选项A错误；
B．小物块每次和竖直墙壁碰撞的过程中墙壁与物块作用点没有位移，故墙壁对小物块做的功为零，选项B正确；
C．由题意可知，P1点是物块与墙壁碰后反向运动到达的最远点，则物块在到达P1位置时速度为零，则从在小物块从位置O开始运动到第一次返回到P1的过程中，由动能定理可知，摩擦力对小物块做的功为
选项C正确；
D．因F-x图像的面积等于力F的功，则在推力F对小物块作用的过程中，推力F对小物块做的功为
选项D正确。
故选BCD。
6．（2023·山东青岛·模拟预测）（多选题）冬天的北方，人们常用狗来拉雪橇。一条狗用水平拉力拉着质量为80kg的雪橇（包括内部物品），在水平雪面做半径为24m的匀速圆周运动，速度大小为3m/s，雪橇与地面间的动摩擦因数0.05，重力加速度取10m/s2，。下列说法正确的是（ ）
A．雪橇受到狗的水平拉力大小为40N
B．狗给雪橇的水平拉力方向与雪橇前进方向成37°
C．狗给雪橇的水平拉力功率为150W
D．狗拉着雪橇转过30°圆弧的过程中，雪橇克服地面摩擦力做功160πJ
【答案】BD
【详解】A．狗拉雪橇的水平拉力有两个作用效果，一个作用效果平衡雪橇做圆周运动时切向受到的摩擦力，另一个作用效果使雪橇做圆周运动，根据雪橇做圆周运动，由牛顿第二定律有
在雪橇前进的方向上始终有
则可得雪橇受到狗的水平拉力大小为
B．狗给雪橇的水平拉力方向与雪橇前进方向之间夹角的正切值为
可得夹角
故B正确；
C．狗给雪橇的水平拉力功率为
故C错误；
D．狗拉着雪橇转过30°圆弧的过程中，雪橇克服地面摩擦力做功
故D正确。
故选BD。
7．（2024·重庆·三模）某同学用图（a）所示装置研究滑块在水平传送带上的运动。实验前，该同学已先测出滑块和位移传感器（发射器）的总质量为。实验中，该同学让传送带保持恒定的速度，将滑块由静止轻放在传送带上O处并将此时刻作为计时起点，用位移传感器测出了各时刻t滑块相对于O的位移x，利用测得的多组数据在图（b）所示的坐标中描出了14个点。（所有计算结果均保留两位有效数字）
(1)根据描出的点作出滑块运动的图线，可以得出以下结论：
①滑块在传送带上先做的是直线运动；
②传送带的速度大小为 m/s；
③滑块做匀加速直线运动的加速度大小为5m/s2。
(2)若重力加速度大小取，则利用实验数据可求得：
①滑块与传送带间的动摩擦因数为 ；
②在末这段时间内，滑块与传送带间因摩擦产生的热量为 J。
【答案】(1)2.0 (2) 0.50 0.45
【详解】（1）由图可知，0.40s后滑块做匀速直线运动，即滑块的速度等于传送带的速度，则有
（2）①[1]滑块在传送带上匀加速的运动时，根据牛顿第二定律可得
代入数据，解得
②[2]由于传送带与滑块之间有相对运动时才有热量产生，所以0.10s末～0.60s末这段时间内，只有0.10s末～0.40s末这段时间有热量产生，这段时间内传送带的位移为
0.1s末滑块的速度为
0.10s末～0.40s末这段时间滑块的位移为
则滑块与传送带之间的相对位移为
则摩擦产生的热量为
8．（2024·北京海淀·三模）图甲是某科技馆的一件名为“最速降线”的展品，在高度差一定的不同光滑轨道中，小球滚下用时最短的轨道叫做最速降线轨道。取其中的“最速降线”轨道Ⅰ和直线轨道Ⅱ进行研究，如图乙所示，两轨道的起点M高度相同，终点N高度也相同，轨道Ⅰ的末端与水平面相切于N点，轨道Ⅱ末端与水平面平滑连接。若将两个完全相同的小球a和b分别放在Ⅰ、Ⅱ两轨道的起点M，同时由静止释放，发现在Ⅰ轨道上的小球a先到达终点。已知M距离地面的高度为H，两个小球的质量都为m，重力加速度为g，不考虑小球的滚动影响；
（1）忽略各种阻力，求小球沿Ⅰ轨道运动到最N点的速度大小；
（2）若考虑轨道摩擦力的影响，设小球和轨道间的滑动摩擦因数为，
a.求小球沿Ⅱ轨道下落到N点的过程中，克服摩擦力做的功；
b.试比较两小球从M运动N过程中克服摩擦力做功的大小；
c.请设计出可行的实验方案来验证你上一问的结论，简要说明实验方案的思路以及对应的实验结果。
【答案】（1）；（2）a.；b.；c.见解析
【详解】（1）由动能定理可得
解得
（2）设轨道Ⅱ与水平面的夹角为，斜面长s。
a.由受力分析可知，小球受到的摩擦力
则从M滑到N过程中，克服摩擦力做功为
b.小球从轨道Ⅰ下落过程中，所受摩擦力为变力，求摩擦力做功可以通过微元法，把Ⅰ轨道分成很多段，每一段f可认为是恒力。在第i段轨道中，设该段轨道的延长线和地面的夹角为，对应的曲率半径为，由受力分析可知，
则
小球克服摩擦力做功
c.由动能定理可知，小球滑到最底端的动能为
因此可以把比较转换成比较的大小，只需设计实验方案比较小球运动到N点的速度大小即可。比如在N点安装光电门。
9．（2015·北京·高考真题）如图所示，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计。物块（可视为质点）的质量为m ，在水平桌面上沿轴运动，与桌面间的动摩擦因数为。以弹簧原长时物块的位置为坐标原点，当弹簧的伸长量为时，物块所受弹簧弹力大小为，为常量。
（）请画出随变化的示意图；并根据图象求物块沿轴从点运动到位置的过程中弹力所做的功。
（）物块由向右运动到，然后由返回到，在这个过程中：
．求弹力所做的功，并据此求弹性势能的变化量；
．求滑动摩擦力所做的功；并与弹力做功比较,说明为什么不存在与摩擦力对应的“摩擦力势能”的概念，为什么？
【答案】（）图象如图所示；
，；（）a．；b．，见详解
【详解】（1）在图象中，面积为外力拉弹簧时外力所做的功
弹簧的弹力对其做负功
（2）a.分段研究：从到过程中，弹簧的弹力做负功，为
从到过程中，弹簧的弹力做正功，为
则全过程弹簧的弹力作功为
由功能关系
得
b.物体向右由运动到的过程摩擦力作功
物体由由返回到的过程摩擦力做功
全程摩擦力做功
若物体直接由位置运动到位置，摩擦力做功为
可知，两次沿不同路径从相同出发点运动到同一位置，摩擦力做功不同，说明摩擦力做功与路径有关。
而弹簧弹力做功与路径无关，只与初末位置有关，因此存在弹性势能的概念，根据势能的定义可知，不存在摩擦力势能的概念。
10．（2024·四川达州·二模）如图1所示，一倾角的斜面体固定在水平地面上（斜面足够长、带一定滑轮），物块A放在斜面上的O点，用跨过轻质定滑轮的轻绳与物块B连接，B离滑轮足够远。A、B的质量分别为、。运动过程中A与O点的距离设为x，A与斜面间的动摩擦因数μ与x的关系如图2。重力加速度g取，现将A、B由静止释放。求：
（1）当x为多大时物块A的速度最大；
（2）物块A在斜面上滑行的最大位移。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设物块A的速度最大时A与斜面间的动摩擦因数，由牛顿第二定律得
解得
由图2得
则当时
（2）设物块A沿斜面向下滑到最大位移过程中，克服摩擦力做功为，由功能关系得
摩擦力做功为
其中
解得