模型36 类单摆问题-高考物理热点模型突破训练

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01 模型概述
1.对l、g的理解
1)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离。
①普通单摆，摆长，l′为摆线长，D为摆球直径。
②等效摆长：(a)图中，甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来效果是相同的，甲摆的等效摆长为lsin α，其周期。(b)图中，乙在垂直纸面方向摆动时，其等效摆长等于甲摆的摆长；乙在纸面内小角度摆动时，等效摆长等于丙摆的摆长。
2)等效重力加速度
①公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。
②等效重力加速度：一般情况下，公式中g的值等于摆球静止在平衡位置时，摆线的拉力与摆球质量的比值。
如图中等效重力为，其周期
2.几种类单摆模型
1）一切在竖直放置的光滑圆弧形内轨道上的小幅度振动(运动范围远小于圆弧半径)都可以等效成单摆模型，其等效摆长l即为圆弧半径R，质点的振动周期为
2) 非惯性参考系中的单摆
周期公式适合于惯性系中单摆在竖直平面内做小幅振动的情况，如果单摆处于做匀变速运动的非惯性参考系中，仍可类比竖直平面内的单摆，通过求解平衡位置（相对参考系静止的位置）时细线拉力的平衡力而得到等效重力加速度。
①参考系具有竖直方向的加速度时
如：在一升降机中有一摆长为L的单摆，当升降机以加速度a竖直向上匀加速运动时，如图所示,平衡位置仍在悬点正下方,根据牛顿第二定律易知摆球静止在平衡位置时，摆线拉力FT的平衡力F=mg+ma，等效重力加速度，故其振动周期
同理知，当升降机以加速度a减速上升时单摆振动周期。
②参考系具有水平方向加速度时
如：在沿水平路面向左匀加速行驶的车厢内有一单摆，当它做小幅振动时，平衡位置（相对车厢静止的位置）不在悬点正下方，根据受力分析知摆球静止在平衡位置时，摆线拉力的平衡力，F产生的等效重力加速度，故此单摆的振动周期。
3）复合场中的单摆
①在重力场和电场中的单摆
如：单摆处于竖直向下的科强电场中，摆球的平衡位置在悬点的正下方，带正电的摆球静止在平衡位置时，摆线拉力FT的平衡力，所以等效重力加速度，振动周期。
如图所示，单摆处于水平向右的匀强电场中，摆球平衡位置与悬点的连线偏离竖直方向θ角（），当摆球在平衡位置处于静止时，摆线拉力FT的平衡力：，所以等效重力加速度，故其振动周期：。
如：库伦力始终沿着摆线方向，产生的等效重力加速度仍为g ，故周期仍为。
②在磁场与重力场中的单摆
如：匀强磁场与单摆摆动平面垂直，摆球的平衡位置仍在悬点正下方，当摆球在平衡位置静止时，摆线拉力与重力平衡，F=mg,摆动时受到洛伦兹力始终与速度方向垂直沿着摆线，产生的等效重力加速度仍为g ，故周期仍为。
02 典题攻破
1.等效摆长问题
【典型题1】（2024·广东·模拟预测）如图，用两根完全相同、不可伸长的轻绳将小沙包（大小可忽略）对称地吊在空中，轻推小沙包，测得其在垂直纸面平面内做简谐运动的周期为（已知在一根竖直绳悬挂下做简谐运动的小物体的周期为，l为绳长，g为重力加速度），已知每根轻绳的长度为L，小沙包的质量为m，则小沙包静止时，每根绳子张力为（ ）
A．B．C．D．
2.等效重力加速度问题
【典型题2】（2024·湖南长沙·一模）如图所示，小球悬挂在箱子顶端的拉力传感器上，球心到悬挂点的距离为L，当箱子沿竖直方向做变速运动时，传感器的示数会变大或者变小，当箱子的加速度向上为a时，可认为重力加速度由g变为，当箱子的加速度向下为a时，可认为重力加速度由g变为，小球好像处在一个重力加速度为的环境里，可把这个称为等效重力加速度。下列说法正确的是（ ）
A．当箱子向上做减速运动时，等效重力加速度大于重力加速度g
B．当箱子向上的加速度等于3g时，且小球做单摆运动（最大摆角小于5°），则小球的运动周期为
C．当箱子向上的加速度等于3g时，同时小球在箱子中做单摆运动（最大摆角小于5°），则运动过程小球的机械能守恒
D．拉力传感器的示数F与小球的重力的合力与小球的质量m之比等于等效重力加速度
【典型题3】（2023·北京·模拟预测）在光滑水平面上的O点系一长为L的绝缘细线，线的另一端系一质量为m、带电量为q的小球。当沿细线方向加上场强为E的匀强电场后，小球处于平衡状态，如图所示。现给小球一垂直于细线的初速度，使小球在水平面上开始运动。若很小，则小球第一次回到平衡位置所需时间为（ ）
A．B．C．D．
3.类单摆问题
【典型题4】（2024·浙江湖州·二模）如图甲，小球在光滑球面上的A、B之间来回运动。t=0时刻将小球从A点由静止释放，球面对小球的支持力大小F随时间t变化的曲线如图乙，若弧长AB远小于半径，则（ ）

A．小球运动的周期为0.2πsB．光滑球面的半径为0.1m
C．小球的质量为0.05kgD．小球的最大速度约为0.10m/s
03 针对训练
1．（2024·江苏南通·模拟预测）如图所示，小球在半径为R的光滑圆弧轨道上A、B间来回运动，轨道弧长远小于R，则（ ）
A．弧长AB变小，周期不变B．弧长AB变小，周期变大
C．小球质量变小，周期变小D．小球质量变小，周期变大
2．（2021·浙江宁波·模拟预测）如图所示为相同的小球（可看作质点）构成的单摆，所有的绳子长度都相同，在不同的条件下的周期分别，关于周期大小关系的判断，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·江苏·模拟预测）一单摆在竖直平面内做小角度摆动。摆球从左侧最高点A运动到最低点C时，摆线被悬点O（未画出）正下方的钉子P挡住，之后球运动到右侧最高点B，该过程中的频闪照片如图所示，已知闪光的时间间隔相等，PC=l。则O、P两点间的距离为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·江苏南京·二模）如图所示，一带正电的小球用绝缘细绳悬于O点，将小球拉开较小角度后静止释放，其运动可视为简谐运动，下列操作能使周期变小的是（ ）

A．增大摆长
B．初始拉开的角度更小一点
C．在悬点O处放置一个带正电的点电荷
D．在此空间加一竖直向下的匀强电场
5．（2024·全国·模拟预测）如图所示，有直角三角形光滑轨道框架，其中AB竖直。，光滑圆弧轨道CB为的外接圆上的一部分。小球1、2分别沿轨道AB、AC从A点由静止开始运动，到B、C点对应的时间分别为、，小球3沿轨道CB从C点由静止开始运动，到B点的时间为；小球4在圆弧轨道CB上某一点（对应的圆心角很小）由静止开始运动，到B点的时间为。则下列时间的关系正确的是（ ）

A．B．C．D．
6．（2024·湖北·二模）如图所示，水平面上固定一半圆形凹槽，凹槽的质量为，半圆弧的圆心为点，最低点为点，半径为。现将一质量为的光滑小球从圆弧上的点释放，已知与的夹角为，重力加速度为，小球大小可以忽略不计。从点运动到点的过程中，小球对凹槽的弹力的冲量大小为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2024·江苏苏州·三模）如图所示，单摆在光滑斜面上做简谐运动，若要使其做简谐运动的周期变大，可以（ ）
A．使斜面倾角变大 B．使单摆摆长变长 C．使摆球质量变大 D．使单摆振幅变大
8．（2024·河北张家口·三模）“杆线摆”结构如图所示，轻杆一端通过活动绞链与立柱垂直连接，另一端安装质量为m的摆球，细线一端拉住摆球，另一端系在立柱上的A点，给摆球一垂直于纸面的较小速度，使轻杆垂直于立柱来回摆动，摆动角度小于5°，摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内。已知立柱与竖直方向的夹角及细线与轻杆的夹角均为，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．摆球在摆动过程中细线上的拉力大小为
B．摆球静止在平衡位置时轻杆对摆球作用力大小为
C．摆球向平衡位置运动过程中轻杆对球作用力增大
D．若增大细线长度使A点上移则摆球运动周期增大
9．（2024·贵州黔西·一模）（多选）如图所示，一小球（质量为m、电荷量为q）用长为L的绝缘轻质细线悬挂于天花板上做单摆运动，此单摆可以视为简谐运动，O点为最低点，周期为T。现给空间加上竖直方向的匀强电场，此时单摆的最大摆角不变，周期为2T。已知重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．电场方向竖直向下B．电场强度大小为
C．单摆做简谐运动的周期与振幅无关D．单摆做简谐运动的周期与振幅有关
10．（2024·江西·一模）（多选）如图所示为某演示机械能守恒的实验示意图。细绳的一端固定于O点，另一端系一个小球，摆长为l。在O点的正下方钉一个钉子A，已知，摆球质量为m，小球从一定高度位置P摆下，摆角θ小于5°，向右摆到最高点Q，摆角也小于5°，不计阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．摆球受到绳子最大拉力为
B．摆球到达最低点时，绳子拉力的功率为
C．摆球摆动的周期为
D．摆球从P到M和从Q到M过程中重力做功的平均功率相等
11．（2024·云南曲靖·一模）（多选）惠更斯发现“单摆做简谐运动的周期与重力加速度的二次方根成反比”。为了通过实验验证这一结论，某同学创设了“重力加速度”可以人为调节的实验环境。如图1所示，在水平地面上固定一倾角可调的光滑斜面，把摆线固定于斜面上的点，使摆线平行于斜面。拉开摆球至A点，静止释放后，摆球在之间做简谐运动，摆角为。摆球自然悬垂时，通过力传感器（图中未画出）测得摆线的拉力为，摆球摆动过程中，力传感器测出摆线的拉力随时间变化的关系如图2所示，其中、、均已知。当地的重力加速度为。下列选项正确的是（ ）
A．多次改变图1中角的大小，即可获得不同的等效重力加速度
B．单摆次全振动的时间为
C．多次改变摆角，只要得出就可以验证该结论成立
D．在图2的测量过程中，满足的关系
12．（2024·重庆·一模）如图，光滑圆槽的半径L远大于小球运动的弧长。甲、乙、丙三小球（均可视为质点）同时由静止释放，开始时乙球的位置B低于甲球位置A，甲球与圆心连线和竖直方向夹角为θ，丙球释放位置C为圆槽的圆心，Q为圆槽最低点；重力加速度为g。若甲、乙、丙三球不相碰，求：
（1）求甲球运动到O点速度大小；
（2）通过计算分析，甲乙丙三球谁先第一次到达O点；
（3）若单独释放甲球从释放到第15次经过O点所经历的时间。
13．（2024·江苏·模拟预测）如图所示，光滑绝缘水平面上，长度为l的绝缘细线一端系着带电荷量为+q（q＞0），另一端固定在O'点，空间中存在水平向右的匀强电场，现保持细线伸直，将小球拉开一个很小的角度（小于5°），小球运动到O点时的速度大小为v。已知小球的质量为m，重力加速度大小为g，则小球由释放到第一次运动到O点的过程中，求：
（1）电场力对小球做的功；
（2）电场力对小球的冲量的大小。