模型18 天体质量、密度的计算问题—高考物理热点模型突破训练

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01 模型概述
1.天体表面处理方法
(1)天体质量，由，得天体质量.
g为天体表面的重力加速度．未知星球表面的重力加速度通常这样给出：让小球做自由落体、平抛、上抛等运动，从而计算出该星球表面的重力加速度
(2)天体密度，由天体质量及球体体积公式，得天体密度
2.利用环绕天体处理方法
(1)天体质量，由，得天体质量.
(2)天体密度，由天体质量及球体体积公式，得天体密度
(3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
02 典题攻破
1.天体表面计算质量、密度
【典型题1】（2024·贵州黔南·二模）（多选）我们可以采用不同方法“称量”星球的质量。例如，卡文迪许在实验室里通过测量铅球之间的作用力，推算出引力常量G，就可以“称量”地球的质量。已知引力常量G，利用下列数据可以“称量”星球的质量的是（ ）
A．已知月球绕地球做圆周运动的周期和线速度、可以“称量”地球的质量
B．已知月球表面重力加速度和绕地球做圆周运动的半径，可以“称量”月球的质量
C．已知地球绕太阳做圆周运动的周期和半径，可以“称量”太阳的质量
D．已知火星自转周期和绕太阳做圆周运动的半径，可以“称量”火星的质量
【答案】AC
【详解】A．已知月球绕地球做圆周运动的周期和线速度，据，
可求得地球质量
故A正确；
B．设月球的质量为，半径为，月球表面物体的质量为，则有
可求得月球质量
由于月球半径未知，无法得到月球质量，故B错误；
C．已知地球绕太阳做圆周运动的周期和半径，据
可求得太阳质量
故C正确；
D．已知火星自转周期和绕太阳做圆周运动的半径，无法求出火星的质量，D错误。
故选AC。
2. 利用环绕天体计算质量、密度
【典型题2】（2024·广东深圳·三模）2020年11月24日，长征五号运载火箭将“嫦娥五号”探测器送入预定轨道，执行月面采样任务后平安归来，首次实现我国地外天体采样返回。已知“嫦娥五号”探测器在距离月球表面h高处环月做匀速圆周运动的周期为T，月球半径为R，万有引力常量为G，据此可以求出月球的质量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】根据万有引力定律和牛顿第二定律可知
解得
故选D。
03 针对训练
一、单选题(本题共10小题。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)
1．（2024·辽宁·模拟预测）嫦娥七号探测器将于2026年前后发射，准备在月球南极登陆。假设嫦娥七号探测器在登陆月球之前环绕月球表面做匀速圆周运动，如图所示。已知嫦娥七号的运动周期为，轨道半径约等于月球球体的半径，月球绕地球近似做匀速圆周运动的周期为，轨道半径为月球球体半径的k倍，引力常量为G。根据题中所给信息，下列说法正确的是（ ）
A．可以估测地球的质量B．可以估测月球的密度
C．周期与周期满足D．地球的质量与月球的质量之比等于
【答案】B
【详解】A．月球绕地球近似做匀速圆周运动的周期为，则有
解得
由于不知道月球的半径，故不能求出地球的质量，故A错误；
B．嫦娥七号绕月球表面做圆周运动，则有
解得
月球的密度为
故B正确；
C．由于地球质量不知道，故不能求出，故C错误。
D．地球的质量与月球的质量之比等于
故D错误。
故选B。
2．（2024·江西南昌·二模）下表为几个卫星的轨道半长轴和周期的数据，根据这些数据可估算木星与地球的质量之比为（ ）
A．31B．110C．310D．1100
【答案】C
【详解】卫星绕行星运行时，根据万有引力提供向心力
整理得
则
故选C。
3．（2024·安徽淮北·二模）因为用长度单位去描述遥远的星体没有什么太大意义，所以我们通常描述天体的大小都是以地球上看到的角度大小来描述，即“角直径”（如图中）。宇宙中某恒星质量是太阳质量的倍，设想地球“流浪”后绕该恒星公转。当地球绕该恒星和太阳的公转周期之比为时，该恒星正好与太阳具有相同的角直径，则该恒星与太阳的平均密度之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】根据
可得
平均密度为
做出辅助线，如图
几何关系可知
联立，解得
可得该恒星与太阳的平均密度之比为
故选A。
4．（2024·河北·模拟预测）2023年9月21日，我国神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮在天宫空间站进行第四次“天宫课堂”授课。一天文爱好者在观看“天宫课堂”第四课的同时，根据观测记录测出天宫空间站绕地球飞行相对地心转过角所用时间是。若天宫空间站运行轨道视为圆轨道，天宫空间站距地面高度为地球半径的k倍，引力常量为G。则地球的密度表达式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意可知天宫空间站运动的角速度为
根据
设地球半径为R，又，地球的质量
联立解得地球的密度
故选D。
5．（2024·广西柳州·模拟预测）如图所示，人造卫星P（可视为质点）绕地球做匀速圆周运动。在卫星运动轨道平面内，过卫星P作地球的两条切线，两条切线的夹角为，若卫星P绕地球运动的周期为T，引力常量为G。则地球的密度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设卫星P绕地球运动的半径为，地球半径为，根据万有引力提供向心力
根据几何关系有
地球的体积为
地球的密度为
联立解得
故选B。
6．（2023·辽宁·高考真题）在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T₁，地球绕太阳运动的周期为T₂，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设月球绕地球运动的轨道半径为r₁，地球绕太阳运动的轨道半径为r₂，根据
可得
其中
联立可得
故选D。
7．（2024·安徽合肥·二模）2024年3月，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。鹊桥二号入轨后，通过轨道修正、近月制动等系列操作，最终进入近月点约200km、远月点约16000km、周期为24h的环月大椭圆冻结轨道。已知月球半径约1800km，万有引力常量G=6.67×10-11N⋅m2/kg2。由上述数据可知月球的质量接近于（ ）
A．7.5×1018kgB．7.5×1020kg
C．7.5×1022kgD．7.5×1024kg
【答案】C
【详解】环月大椭圆冻结轨道的周期与半长轴分别为，
令近月圆轨道卫星的周期为，则有
根据开普勒第三定律有
解得
可知月球的质量接近于7.5×1022kg。
故选C。
8．（2024·河北·三模）有两颗人造地球卫星A和B的轨道在同一平面内，A、B同向转动，轨道半径分别为r和4r，每隔时间t会发生一次“相冲”现象，即地球、卫星A和B三者位于同一条直线上，且A、B位于地球的同侧，已知万有引力常量为G，则地球质量可表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】每隔时间t会发生一次“相冲”现象，得
根据万有引力提供向心力
联立解得地球质量为
故选D。
9．（2024·海南·高考真题）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设月球半径为，质量为，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力
月球的体积
月球的平均密度
联立可得
故选D。
10．（2024·安徽·一模）如图所示，有两颗卫星绕某星球做椭圆轨道运动，两颗卫星的近地点均与星球表面很近（可视为相切），卫星1和卫星2的轨道远地点到星球表面的最近距离分别为，卫星1和卫星2的环绕周期之比为k。忽略星球自转的影响，已知引力常量为G，星球表面的重力加速度为。则星球的平均密度为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】卫星一、卫星二轨道的半长轴分别为，
由开普勒第三定律得
整理得
星球表面的重力加速度为g，根据万有引力提供重力得
星球质量的表达式为
联立得
故选A。
二、多选题(本题共1小题。每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的。全部选对的得全分,选对但不全的得一半分,有选错的得0分)
11．（2024·福建泉州·二模）北斗卫星导航系统中的MEO卫星为中圆轨道卫星，利用引力常量G和下列数据，能计算出地球质量的是（ ）
A．MEO卫星绕地球的轨道半径和线速度
B．MEO卫星绕地球的轨道半径和运行周期
C．地球表面重力加速度和MEO卫星绕地球的线速度
D．地球表面重力加速度和MEO卫星绕地球的轨道半径
【答案】AB
【详解】AB．根据万有引力提供向心力有
所以，
由此可知，若已知卫星绕地球的轨道半径和线速度或者已知轨道半径和运行周期均可以计算出地球的质量，故AB正确；
CD．根据万有引力与重力的关系
可得
由此可知，地球表面重力加速度和MEO卫星绕地球的线速度或者已知地球表面重力加速度和MEO卫星绕地球的轨道半径均不能计算出地球的质量，故CD错误。
故选AB。
卫星
木卫一
地球同步卫星
土卫一
半长轴/km
421700
42240
185520
周期/d
1.77
1
0.94