2024-2025学年北京市海淀区中国人民大学附属中学八年级上学期期中考试数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市海淀区中国人民大学附属中学八年级上学期期中考试数学试题（含答案），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若式子x+40有意义，则实数x的取值范围是( )
A. x≠−4B. x=−4C. x≠4D. x=4
2.下列图形中，对称轴最多的图形是( )
A. B. C. D.
3.在下列运算中，正确的是( )
A. x⋅x2⋅x3=x5B. x+x2=x3
C. x32=x5D. −4xy32=16x2y6
4.一个等腰三角形有一个角为30∘，则它的底角的度数是( )
A. 30∘B. 75∘C. 30∘或75∘D. 30∘或65∘
5.如图，在▵ABC中，∠B=90∘，∠A=50∘，点D、E分别在BC、AC的延长线上，且CD=CE，则∠CED的度数是( )
A. 40∘B. 70∘C. 75∘D. 80∘
6.已知x2+x−3=0，那么代数式xx−2+x+22+5值是( )
A. 14B. 15C. 16D. 17
7.如图，点D为▵ABC的边AB上一点，点A关于直线CD对称的点E恰好在线段BC上，连接DE，若AB=10，AC=4，BC=9，则▵BDE的周长是( )
A. 13B. 15C. 17D. 不能确定
8.在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形(a>b)，将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a,b的恒等式为( )
A. (a−b)2=a2−2ab+b2B. (a+b)2=a2+2ab+b2
C. a2−b2=(a+b)(a−b)D. a2+ab=a(a+b)
9.如图，AD是▵ABC的角平分线，且AB+BD=AC，∠BAC=∠B+40∘，那么∠C的度数是( )
A. 26∘B. 27∘C. 28∘D. 30∘
10.已知实数a，b满足12a−22+2=ba−b，则3a2+4b2+1012a−2024b+1的值是( )
A. 65B. 105C. 115D. 2025
二、填空题：本题共9小题，每小题3分，共27分。
11.在平面直角坐标系中，点A(2,1)关于x轴对称的点的坐标是 ．
12.已知等腰三角形的两边长分别为5和8，则这个等腰三角形的周长为 ．
13.计算：22024×−122023= ．
14.如图，BD是▵ABC的角平分线，点D是边AC一点，且满足BE=ED，若∠A=40∘，∠C=110∘，则∠EDB= ．
15.定义新运算：a∗b=ab−b，则方程2x+1∗x=8的解为 ．
16.如图，∠AOB=60∘，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，点D在边OB上，
且OD=DP=8.则线段OC的长度为 ．
17.如图，在平面直角坐标系中，A1,−1，B2,2，▵ABC为等腰直角三角形，且∠B=90∘，则点C的坐标为 ．
18.若x−y=7，y+z=−2，则x2−yz+xz−y的值为 ．
19.如图，在平面直角坐标系中，直线l经过原点和一三象限，点A为x轴正半轴上一点，点B位于第一象限内且在直线l上，OB=2，∠AOB=30∘，过点B作直线a垂直于x轴，点C，D在直线a上(点D在点C上方)，且CD=1，若线段CD关于直线l对称的线段EF与坐标轴有交点，则点C的纵坐标m的取值范围是 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
计算：
(1)a−2a+1−2a5÷a3；
(2)3x+y3x−y+2x+y2．
21.(本小题8分)
分解因式：
(1)3ax2−6axy+3ay2；
(2)a2x−4+b24−x．
22.(本小题8分)
先化简，再求值：xx+2x−2−xx+2y−x+3y2÷y，其中x=−3，y=2．
23.(本小题8分)
如图，在▵ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE=CF.求证：AD是▵ABC的角平分线．
24.(本小题8分)
小兵遇到一个作图问题：如图，在▵ABC中，∠B=3∠C，如何用尺规作图把▵ABC分成三个等腰三角形．
下面是小兵设计的尺规作图过程．
作法：①以点A为圆心，AB长为半径作弧，交线段BC于另一点D；
②作线段CD的垂直平分线l，直线l交线段AC于点E；
③连接AD，DE，则▵ABD，▵ADE，▵CDE即为所求的等腰三角形．
根据小兵设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明．
证明：由作图可知AB=AD，①
∴∠B=∠________．
∵∠B=3∠C，
∴∠ADB=3∠C．
∵直线l为线段CD的垂直平分线，
∴CE=DE(__________)(填推理的依据).②
∴∠C=∠CDE．
∴∠AED=∠C+∠CDE=2∠C
∵∠ADB=∠C+∠CAD=3∠C，
∴∠CAD=∠ADB−∠C=2∠C．
∴∠AED=∠CAD．
∴AD=DE(__________)(填推理的依据).③
由①②③得：▵ABD，▵ADE，▵CDE均为等腰三角形．
25.(本小题8分)
已知实数a、b满足a+b=6，ab=4，
(1)求代数式a2+b2值；
(2)求代数式a2ba−b+ab3的值．
26.(本小题8分)
如图，在▵ABC中，直线MN是边AB的垂直平分线，点D是直线MN上一点，连接AD，CD，满足∠ACB=2∠ADM，求证：CD为▵ABC的外角∠ACP的角平分线．
27.(本小题8分)
对于一个正整数n，若存在正整数k，使得n能表示为k和k−2的平方差，那么称这个正整数n为k系平方差数．例如：20=62−42，则20为6系平方差数．
(1)直接写出10系平方差数；
(2)已知M=2k+32k−3−k4k−1+26为k系平方差数，求M的值；
(3)已知a，b为正整数，a>b，且a+2b2−3b2+3−6ab为k系平方差数．
①直接写出a与b之间的数量关系；
②若a+b+11是m系平方差数，请判断2024a−2022b是否为平方差数．若是请直接写出是_______系平方差数(用含m的代数式来表示)若不是请写出理由；
28.(本小题8分)
在▵ABC中，AB=AC，∠BAC=α，D点是边AB上一点，E为边AC上一点，连接CD，DE．
(1)如图1，α=60∘，点D为AB中点，AB=8，DE⊥AC，直接写出EC的长；
(2)如图2，α=60∘，AB=3BD，DE⊥AC，连接BE交CD于点F，延长FE至P，使得PF=CF，连接AP，
①依题意补全图形；
②用等式表示线段AP，BP，CF之间的数量关系，并证明；
(3)如图3，点E为定点，∠CBE=β，连接BE，点M为线段BE上的一个动点，且满足BM=AD，当AM+CD取得最小值时，直接写出∠BDC的值(用α和β表示)．
参考答案
1.A
2.D
3.D
4.C
5.B
6.B
7.B
8.C
9.C
10.A
11.(2,−1)
12.18或21
13.−2
14.15∘/15度
15.x1=2，x2=−2
16.12
17.5,1或−1,3
18.35
19.2≤m≤3或−2≤m≤−1
20.(1)解：a−2a+1−2a5÷a3
=a2−a−2−2a2
=−a2−a−2；
(2)解：3x+y3x−y+2x+y2
=9x2−y2+4x2+4xy+y2
=9x2−y2+4x2+4xy+y2
=13x2+4xy．

21.(1)解：原式=3ax2−2xy+y2
=3ax−y2；
(2)解：原式=x−4a2−b2
=x−4a+ba−b

22.解：原式=x(x2−4)−[x2+2xy−(x2+6xy+9y2)]÷y
=x3−4x−(x2+2xy−x2−6xy−9y2)÷y
=x3−4x−(−4xy−9y2)÷y
=x3−4x+4x+9y
=x3+9y，
当x=−3，y=2时，原式=−33+9×2=−9．

23.证明：∵点D是BC的中点，
∴BD=DC，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90∘，
在Rt▵BDE和Rt▵CDF中，
BD=CDBE=CF,
∴Rt▵BDE≌Rt▵CDFHL，
∴DE=DF，
∵DE⊥AB,DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC，
∴AD是▵ABC的角平分线．

24.(1)解：如图所示．
(2)证明：由作图可知AB=AD，①
∴∠B=∠ADB．
∵∠B=3∠C，
∴∠ADB=3∠C．
∵直线l为线段CD的垂直平分线，
∴CE=DE(垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等)(填推理的依据).②
∴∠C=∠CDE．
∴∠AED=∠C+∠CDE=2∠C
∵∠ADB=∠C+∠CAD=3∠C，
∴∠CAD=∠ADB−∠C=2∠C．
∴∠AED=∠CAD．
∴AD=DE(等角对等边)(填推理的依据).③
由①②③得：▵ABD，▵ADE，▵CDE均为等腰三角形．
故答案为：ADB；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；等角对等边．

25.(1)解：∵a+b=6，ab=4，
∴a2+b2
=a+b2−2ab
=62−2×4
=28；
(2)解：∵a+b=6，ab=4，
由(1)得a2+b2=28，
∴a2ba−b+ab3
=abaa−b+b2
=aba2−ab+b2
=4×28−4
=96．

26.证明：连接BD交AC于O，过D作DL⊥AC于L，DK⊥PB于K，

∵直线MN是边AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵MN⊥AB，
∴∠ADB=2∠ADM，
∵∠ACB=2∠ADM，
∴∠ACB=∠ADB，
∵∠AOD=∠BOC，且∠AOD+∠ADB+∠CAD=180∘=∠DBC+∠BOC+∠ACB，
∴∠DAL=∠DBK，
∵∠ALD=∠BKD=90∘，AD=BD，
∴▵ADL≌▵BDKAAS，
∴DL=DK，
∵DL⊥AC于L，DK⊥PB于K，
∴CD为▵ABC的外角∠ACP的角平分线．

27.(1)解：102−82=36，
答：10系平方差数为36．
(2)解：依题意可知，
2k+32k−3−k4k−1+26=k2−k−22，
整理得−9+k+26=4k−4，
解得k=7，
∴M=72−52=24．
(3)解：①a+2b2−3b2+3−6ab=a2+4ab+4b2−3b2−9−6ab=a2−2ab+b2−9=a−b2−32，
∵a+2b2−3b2+3−6ab为k系平方差数，且a>b，
∴a−b=3+2=5．
②∵a+b+11是m系平方差数，
∴a+b+11=m2−m−22，
∴a+b+11=4m−4，
由①得a−b=5，
∴b+5+b+11=4m−4，
∴b=2m−10，
∴a=2m−5，
∴2024a−2022b=2024×2m−5−20222m−10=4m+10100，
假设2024a−2022b是n系平方差数，则4m+10100=n2−n−22，
∴4m+10100=4n−4，
∴n=m+2526，
∴2024a−2022b是m+2526系平方差数．

28.(1)解：∵AB=AC，∠BAC=60∘，
∴▵ABC是等边三角形，
∵D为AB中点，
∴AD=12AB=4，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE=90∘−∠A=90∘−60∘=30∘，
∴AE=12AD=2，
∴EC=AC−AE=8−2=6；
(2)解：①补全图形如图所示．
②解：BP=AP+CF，证明如下：
连接PC，
∵AB=AC，∠BAC=60∘，
∴▵ABC是等边三角形，
∵AB=3BD，
∴AD=2BD，
∵DE⊥AC，∠DAE=60∘，
∴∠ADE=30∘，
∴AD=2AE，
∴BD=AE，
在▵BDC和▵AEB中，
BD=AE∠DBC=∠EAB=60∘BC=AB,
∴▵BDC≌▵AEBSAS，
∴∠BCD=∠ABE，
∵∠ABC=∠ABE+∠FBC，∠PFC=∠BCD+∠FBC，
∴∠PFC=∠ABC=60∘，
∵PF=CF，
∴▵PFC是等边三角形，
∴∠FCP=60∘，PC=FC．
∵∠ACB=∠BCF+∠FCA，∠FCP=∠FCA+∠ACP，∠ACB=∠FCP=60∘，
∴∠BCF=∠ACP，
在▵BCF和▵ACP中，
BC=AC∠BCF=∠ACPFC=PC,
∴▵BCF≌▵ACPSAS，
∴BF=AP，
∴BP=BF+FP=AP+CF；
(3)解：过点A作AN//BE，使AN=AB，连接ND，
∵AN//BE，
∴∠DAN=∠ABE，
在▵ABM和▵NAD中，
AB=NA∠ABM=∠NADBM=AD,
∴▵ABM≌▵NADSAS，
∴AM=ND，
∴AM+CD=ND+CD，
∴当N、D、C三点一线时，AM+CD取得最小值，如图所示，
∵AN=AB，AB=AC，
∴AN=AC，
∴∠ANC=∠ACN，
∵∠NAD=∠ABE=∠ABC−∠CBE=12180∘−α−β=90∘−12α−β，
∴∠NAC=∠NAD+∠BAC=90∘−12α−β+α=90∘+12α−β，
∴∠ACN=12180∘−∠NAC=12180∘−90∘+12α−β=45∘−14α+12β，
∴∠BDC=∠BAC+∠ACN=α+45∘−14α+12β=45∘+34α+12β．