备战2025年高考数学精品课件第六章 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示

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1. 平面向量基本定理
(1)定理：如果 e 1， e 2是同一平面内的两个① ⁠向量，那么对于这一平面内 的任一向量 a ，② 一对实数λ1，λ2，使 a ＝λ1 e 1＋λ2 e 2.
(2)基底：若 e 1， e 2③ ，我们把{ e 1， e 2}叫做表示这一平面内所有向量 的一个基底.
注意　 (1)基底向量 e 1， e 2必须是同一平面内的两个不共线的向量，零向量不能作 为基底向量；(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一.
2. 平面向量的坐标表示
(1)把一个向量分解为两个④ 的向量，叫做把向量作正交分解.
(2)平面向量运算的坐标表示
说明　 (1)相等向量的坐标相同；(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的端点无 关，只与其相对位置有关.
(x1＋x2，y1＋y2)　
(x1－x2，y1－y2)　
(x2－x1，y2－y1)　
(3)平面向量共线的坐标表示
如果 a ＝( x 1， y 1)， b ＝( x 2， y 2)，那么 a ∥ b 的充要条件为⑧ ⁠.
x 1 y 2－ x 2 y 1＝0　
1. 下列说法正确的是(　B　)
3. 已知 e 1， e 2不共线， a ＝ e 1＋2 e 2， b ＝2 e 1＋λ e 2，要使{ a ， b }能作为平面内所 有向量的一个基底，则实数λ的取值范围是 ⁠.
(－∞，4)∪(4，＋∞)　
方法技巧1. 应用平面向量基本定理表示向量，实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行 向量的加、减或数乘运算.2. 用平面向量基本定理解决问题的一般思路：先选择一个基底，并运用该基底将相 关向量表示出来，再通过向量的运算来解决.注意　同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在同一基底下的分解是唯一的.
训练1 (1)[2024昆明市模拟]在平行四边形 ABCD 中，点 T 为 CD 的中点，则(　A　)
(2)已知向量 a ， b ， c 在正方形网格中的位置如图所示，以 a ， b 为基底，则 (　C　)
方法技巧1. 利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，根据“两个 向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解.2. 向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问 题的解答转化为我们熟知的数量运算.
(2)已知平面上的三个点 A (－2，1)， B (－1，3)， C (3，4)，若 A ， B ， C ， D 四点 能构成平行四边形，则点 D 的坐标为 ⁠.
(2，2)或(4，6)或(－6，0)　
命题点3　向量共线的坐标表示例3 (1)[2021全国卷乙]已知向量 a ＝(2，5)， b ＝(λ，4)，若 a ∥ b ，则λ＝ ⁠.
平面向量共线问题的解题策略
(1)若 a ＝( x 1， y 1)， b ＝( x 2， y 2)，则 a ∥ b ⇔ x 1 y 2－ x 2 y 1＝0.
(2)若 a ∥ b ( b ≠0)，则 a ＝λ b .
思维帮·提升思维　快速解题
延长 AP 交边 BC 于点 Q ，如图所示.
用 S 表示△ ABC 的面积，则 S ＝ SA ＋ SB ＋ SC ，用 h 1表示△ BPC 的边 BC 上的高，用 h 表示△ ABC 的边 BC 上的高.
用 h 2表示△ CPA 的边 AP 上的高，用 h 3表示△ APB 的边 AP 上的高.
2. [命题点2/多选]已知向量 e 1＝(－1，2)， e 2＝(2，1)，若向量 a ＝λ1 e 1＋λ2 e 2，则 使λ1λ2＜0成立的 a 可能是(　AC　)
[解析]　因为 e 1＝(－1，2)， e 2＝(2，1)，所以向量 a ＝λ1 e 1＋λ2 e 2＝(－λ1，2λ1)＋ (2λ2，λ2)＝(2λ2－λ1，2λ1＋λ2).当 a ＝(1，0)时，2λ1＋λ2＝0，满足题意；当 a ＝(0， 1)时，2λ2－λ1＝0，不满足题意；当 a ＝(－1，0)时，2λ1＋λ2＝0，满足题意；当 a ＝ (0，－1)时，2λ2－λ1＝0，不满足题意.
1. [2024山东菏泽模拟]设{ e 1， e 2}为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作 为基底的是(　C　)
2. [2024河南商丘期末]已知点 A (8，－1)， B (1，－3)，若点 C (2 m －1， m ＋2)与 A ， B 共线，则实数 m ＝(　C　)
3. [2023山东省实验中学开学考试]已知向量 a ＝(2，－3)， b ＝( m ，1)，若｜ a ＋2 b ｜＝｜ a －2 b ｜，则 m ＝(　A　)
[解析]　如图，因为点 M 是 BC 的中点，
[解析]　解法一　设正方形 ABCD 边长为2，则以 A 为原点，以 AB ， AD 所在直线分 别为 x 轴， y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 A (0，0)， B (2，0)， C (2，2)， D (0，2)， O (1，1).设 E (2， t )， t ∈[0，2).(因为λ＞0，μ＞0，故 C ， E 不重合)