（期末提升讲义）数学广角——数与形解决问题（考点精讲+典题精练）-2024-2025学年六年级上册数学高频易错期末必刷卷（人教版）

这是一份（期末提升讲义）数学广角——数与形解决问题（考点精讲+典题精练）-2024-2025学年六年级上册数学高频易错期末必刷卷（人教版），共20页。

【算术中的规律知识点归纳】
在数学算式中探索规律，应认真观察算式的特点，再观察结果的特点，进而，根据规律填出这一类算式的结果．
例如：1×1＝1；
11×11＝121；
111×111＝12321；
1111×1111＝1234321；
通过观察发现：每个算式中，两个因数各个数位上的数字都是1，且个数相同．积里的数字呈对称形式，且前半部分是从1开始，写至某个数字（此数即因数的位数），积的后半部分再顺次写出．
①一个数乘11，101的规律
一个数乘11的规律：可采用“两头一拉，中间相加”的方法计算．
如：123×11＝1353
一个数乘101的规律：可采用“两两一位，隔位一加”的方法计算．
如：58734×101＝5932134
②一个数乘5，15，25，125的规律
一个数乘5，转化为一个数乘10，然后，再除以2．
如：28×5＝28×10÷2＝280÷2＝140
这种情况可以概括为“添0求半”．根据同级运算可交换位置的性质，也可以先除以2，再乘10．
如：28×5＝28÷2×10＝14×10＝140．即“求半添0”的方法．
一个数乘15，可分解为先用这个数乘10，再加上这个数乘5，乘5的方法同上．
如：264×15＝264×10+264×5＝2640+264×10÷2＝2640+2640÷2＝2640+1320＝3960．
这种情况可以概括为“添0补半”
一个数乘125，因为125×8＝1000，所以，可将一个数乘125转化为先乘1000，再除以8，或先除以8，再乘1000．
如：864×125＝864×1000÷8＝864000÷8＝108000．
【数列中的规律知识点归纳】
按一定的次序排列的一列数，叫做数列．
（1）规律蕴涵在相邻两数的差或倍数中．
例如：1，2，3，4，5，6…相邻的差都为1；
1，2，4，8，16，32…相邻的两数为2倍关系．
（2）前后几项为一组，以组为单位找关系，便于找到规律．
例如：1，0，0，1，1，0，0，1…从左到右，每四项为一组；
1，2，3，5，8，13，21…规律为，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和．
（3）需将数列本身分解，通过对比，发现规律．
例如，12，15，17，30，22，45，27，60…在这里，第1，3，5…项依次相差5，第2，4，6…项依次相差15．
（4）相邻两数的关系中隐含着规律．
例如，18，20，24，30，38，48，60…相邻两数依次差2，4，6，8，10，12…
【“式”的规律知识点归纳】
把一些算式排列在一起，从中发现规律，也是探索规律的重要内容．在探索“式”的规律时，要从组成“式”的要素中去探索．
【数与形结合的规律知识点归纳】
在探索数与形结合的规律时，一方面要考虑图形的对称（上下对称和左右对称），另一方面要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题．
板块二：典题精练
1．如图，将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去.
（1）填表：
（2）如果剪了20次，共剪出多少个小正方形？
（3）观察图形，你还能发现什么规律？
2．如图中数字排列：问：第20行第7个是多少？
3．一张桌子坐4人，两张桌子并起来坐6人，三张桌子并起来坐8人，…照这样计算，10张桌子并成一排可坐多少人？如果一共有26人，需要并多少张桌子？
4．如图，堆三角形积木。
①如果下层放6个，一共需要多少个三角形？
②如果有169个三角形积木块，下层应放几个？
5．如图是一种奶粉的成分含量情况统计图，看图回答下列问题。
（1）蛋白质的含量占奶粉总质量的百分之几？
（2）结合一定计算，补全条形统计图。
6．下边球体上画出了三个圆，在图中的六个□里分别填入1，2，3，4，5，6，使得每个圆周上四个数相加的和都相等。
（1）这个相等的和等于______；
（2）在图中将所有的□填完整。
7．你能利用下图发现a2－b2＝(a＋b)×(a－b)这个公式吗？
（1）利用你所学的面积知识探索一下．
（2）利用上面的公式快速计算下面各题．
912－902 542－462
8．如图，一张桌子可以坐6个人，两张桌子可以坐10个人，那么10张桌子可以坐多少个人？
9．在8×8的国际象棋盘上最多能够放置多少枚棋子，使得棋盘上每行、每列及每条斜线上都有偶数枚棋子？
10．一张长方形纸片，长是宽的2倍，先对折成正方形，再对折成长方形，再对折成正方形，……，共对折7次，将纸打开展平，数一数用折痕分割成的正方形共有多少个？
11．如下图，1个杯子的高度是15cm，把5个完全一样的杯子叠起来的高度是25cm，那么10个这样的杯子叠起来的高度是多少厘米？
12．下列图案由边长相等的黑、白两色小正方形按一定规律拼接而成．
黑色：1 2 3
白色：8 13 18
照这样画下去，第10个图形中分别有多少个黑色小正方形和白色小正方形？你能解释其中的道理吗？
13．按下图方式摆放餐桌和椅子，那么摆13张餐桌需要多少把椅子？
14．下图是一个六面体，在顶点和处各有一只蚂蚁，它们比赛看谁能爬过所有的线，到达终点。如果它们的爬速相同，从哪个顶点出发的蚂蚁能获胜？
15．某机器有依次排列的5盏灯，每盏灯可发出红色的光（用■表示），不同位置上的灯光表示一个具体的数，下面是四种情况所表示的数。
■□□□□→1；□■□□□→2；■■■□□→7＝1＋2＋4；■□■□■→21＝1＋4＋16
（1）通过观察比较发现：5盏灯中最中间的一盏灯为红色时表示的数是（ ）。
（2）根据上面的规律，算出下面两种情况所表示的数。（直接填结果）
□□■■■→（ ）■■□■□→（ ）
（3）根据下面数的大小，涂出相应红灯的位置。
□□□□□→6 □□□□□→13
16．四年下面火柴棒摆的算式都是错的，请在各式中去掉或添加1根火柴棒，使各式成立。
（1）
（2）
（3）
17．数一数。

（1）图中各有多少个▲和△？
（2）照这样连续画下去，第7个图形中▲和△各有多少个？
18．用小棒摆正方形，列表如下：
（1）每多摆1个正方形，就增加（ ）根小棒。
（2）摆20个正方形需要多少根小棒？
19．下图中，每一个正方形的边长均为1，根据分数的乘法的意义以及相应的图形，回答以下问题．
(1)① 1×＝1－←→
② 2×＝2－←→
③ 3×＝3－←→
④ 4×＝4－←→
写出第5个等式，并画出相应的图形．
⑤____________________←→
(2)猜想并写出与第100个图形相对应的等式．
20．按下面的方式摆桌子和椅子，一张桌子可坐4人，两张桌子可坐6人．
（1）按照这种方式继续摆下去，10张桌子可以坐多少人？
（2）72张桌子可以坐多少人？
21．下图依次排列着5盏灯，用不同位置上亮灯和灭灯表示一个具体的数（亮灯用表示，灭灯用表示）。请根据下面前四种状况所表示的数，完成下列问题。
（1）写出图⑤表示的数。
（2）在图⑥中画出亮灯和灭灯的状况。
①1 ②3
③④1+9+81=91
⑤（ ） ⑥93
22．观察下列图形生长规律

（1）用语言描述这几幅图的变化规律．
（2）请填下表
通过上述填表，你能发现它们之间有什么特殊关系？
23．照这样的规律接着画下去，第5个图形中有多少个○？第8个图形呢？
32－1＝8 42－22＝12 52－32＝16
剪的次数
1
2
3
4
5
正方形个数
序号
①
②
③
④
▲
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
△
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
正方形个数
摆成的图形
小棒的根数
1
4
2
7
3
10
4
13
……
……
……
图形序号
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
图形长
图形宽
参考答案：
1．（1）4 7 10 13 16
（2）61
（3）每剪一次会比上一次多3个正方形，如果剪n次，正方形的个数为3n+1．
2．368
【分析】由图中可知：每行的末尾是行数的平方，下一行数的第一个数等于上一行末尾的数加1。
第一行的末尾是1的平方，第二行的末尾是2的平方是4；第三行的末尾是3的平方是9；第四行的末尾是4的平方是16；以此类推，第19行的末尾是19的平方是361，第20行末尾的数是20的平方是400；据此解答。
【详解】由分析可得：第19行的末尾是19的平方是361。
所以第20行的第一个数是361＋1＝362
那么，第7个数是362＋（7－1）＝368
答：第20行第7个是368。
【点睛】本题考查了数字排列的关系，此题的关键是要理解每行的末尾是行数的平方，下一行数的第一个数等于上一行末尾的数加1。
3．解：（I）n=1时，可坐4人，可以写成2×1+2
n=2时，可坐6人，可以写成2×2+2
n=3时，可坐8人，可以写成2×3=2
…
所以当n=10时，可坐2×10+2=22人
答：10张桌子并成一排可坐22人．
（II）2n+2=26
2n=24
n=12
答：如果有26人，需要12张桌子．
【详解】【分析】观察摆放的桌子，不难发现：在1张桌子坐4人的基础上，多1张桌子，多2人．由此规律即可解决问题．主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．
4．①36个
②13个
【分析】①根据题图可知，第一个图形下层放2个，有4个三角形，第二个图形下层放3个，有9个三角形，第三个图形下层放4个，有16个三角形，据此可知，三角形的个数是下层放的个数的平方，当下层放6个时，则有6×6＝36个小三角形；
②因为13×13＝169，所以如果有169个三角形积木块，下层应放了13个，据此解答即可。
【详解】①6×6＝36个；
答：如果下层放6个，一共需要36个三角形。
②13×13＝169；
答：如果有169个三角形积木块，下层应放了13个。
【点睛】根据已知图形找到底层个数与三角形总个数的关系是解答本题的关键。
5．（1）25%
（2）见详解
【分析】（1）把总量看成单位“1”，用总量减去乳脂、乳糖以及其他占的百分比即可得蛋白质的含量占奶粉总量的百分比；
（2）用蛋白质的含量除以蛋白质含量所占的百分比就是这种奶粉的质量；根据百分数乘法的意义，用这种奶粉的总克数乘乳脂所占的百分比，即可求出乳脂的含量，再根据同样的方法分别求出乳糖和其他的含量，在图中绘制出各种含量的直条图，标上数据等即可。
【详解】（1）1－30%－36%－9%＝25%
答：蛋白质的含量占奶粉总质量的25%。
（2）25÷25%＝100（克）
乳脂：100×30%＝30（克）
乳糖：100×36%＝36（克）
其他：100×9%＝9（克）
补图如下：
【点睛】本题考查了扇形统计图和条形统计图的实际应用。
6．（1）14
（2）见详解
【分析】（1）观察图形可知，1，2，3，4，5，6，在三个圆中各用到2次，先求出它们的和的2倍，再除以3即为所求；
（2）让每个圆的相对的2个数字的和为7，进行填写即可。
【详解】（1）（1＋2＋3＋4＋5＋6）×2÷3
＝21×2÷3
＝14
（2）如图所示：
【点睛】考查了发现规律，求出相等的和是解题的关键。
7．（1）探讨过程见解析
（2）181；800
【详解】（1）提示：
一个梯形的面积＝(a＋b)×(a－b)÷2
阴影部分的面积＝a2－b2＝(a＋b)×(a－b)÷2×2＝(a＋b)×(a－b)
（2）912－902＝(91＋90)×(91－90)＝181
542－462＝(54＋46)×(54－46)＝800
8．42人
【详解】10×4+2=42（人）
9．48枚
【分析】8×8的正方形网格，总共有64个位置，要使得每行、每列及每条斜线上都有偶数个棋子，那么先假设把6个位置全部放满，然后减少，但减少的时候每行、每列要减少偶数个，同时还要兼顾剩下的棋子最多。
【详解】因为8×8的国际象棋盘上的每行、每列都正好有偶数格，若某行（某列）有空格，必空偶数格。而斜线上的格子数有奇也有偶，不妨从左上角的斜线看起：第一条斜线只有1格，必空；第三条有3格，必至少空1格；第五、七条分别有5、7格，每条线上至少空1格。由对称性易知共有16条斜线上有奇数格，且这16条斜线没有共用的格子，故至少必空出16格。其实，空出两条主对角线上的16个格子就合题意。此时，最多可放置48枚棋子，放在除这两条主对角线外的其余格子中，如下图所示。
答：最多可以放48枚棋子。
【点睛】国际象棋的棋子是放在格子中的，而不是放在格点上，这一点与中国象棋不同，不能搞错了。
10．个
【分析】如果直接考虑对折7次的情况，会比较复杂，可以先从对折1次、2次等简单情况入手，分析并总结规律，然后利用求解问题。
【详解】从简单情况入手，从第一次对折开始分析，
第一次对折，展平，折痕分割成的正方形共个；
第二次对折，展平，折痕分割成的长方形共个；
第三次对折，展平，折痕分割成的正方形共个；
第四次对折，展平，折痕分割成的长方形共个；
第五次对折，展平，折痕分割成的正方形共个；
第六次对折，展平，折痕分割成的长方形共个；
第七次对折，展平，折痕分割成的正方形共个。
观察发现规律，奇数次对折时，展平后的折痕分割成的图形是正方形，所以，对折七次，将纸展平后，用折痕分割成的正方形是个。
答：用折痕分割成的正方形共有128个。
【点睛】本题考查的是计数问题，归纳递推计数最核心的思路是发现规律，并应用规律求解问题。
11．37.5cm
【分析】先求出上边1层高度，杯子叠起来的高度＝1个杯子高度＋1层高度×（杯子数量－1），据此分析。
【详解】（25－15）÷（5－1）
＝10÷4
＝2.5（厘米）
15＋2.5×（10－1）
＝15＋2.5×9
＝15＋22.5
＝37.5（厘米）
答：10个这样的杯子叠起来的高度是37.5厘米。
【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
12．黑色10个，白色53个；道理：每增加一个黑色小正方形，就增加5个白色小正方形．
【分析】由图可知，每个图形比前一个图形增加1黑色小正方形与5个白色小正方形，以此规律即可得出答案．
【详解】黑色：10个 ；
白色：3＋5×10＝53(个)；
道理：每增加一个黑色小正方形，就增加5个白色小正方形．
13．54把
【详解】13×4+2=54（把）
14．从E点出发的蚂蚁获胜
【分析】利用一笔画的知识，能非常巧妙地解答这道题，这道题只要求爬过所有的线，没要求不能重复。可是两只蚂蚁爬速相同，如果一只蚂蚁不重复地爬遍所有的棱，而另一只重复爬某些棱，那么前一只蚂蚁爬的路程短，自然先到达D点，因而获胜。问题变为“从图中哪一点出发可以一笔画”。
【详解】图中只有E、D两个奇点，若想一笔画，就要以这两个点为起点和终点；
因此从E点爬的蚂蚁可以不重复地爬遍所以的线，而从B点出发的蚂蚁则无法不重复地爬遍所有的线；
所以是从E点出发的蚂蚁获胜；
答：从E点出发的蚂蚁获胜。
【点睛】本题实质上考查的是一笔画问题，一笔画问题的相关结论在立体几何中同样适用。
15．（1）4；（2）28；11；（3）见详解
【分析】（1）由已知的四种情况可知有以下规律：左起第一盏发出红光表示1，后面每一盏灯发出红光时表示的数是前一盏灯的2倍，当几盏灯同时发出红光时表示的数是这几盏灯分别表示的数的和；
（2）根据第（1）题的规律，第1个涂色表示1，第2个涂色表示2，第3个涂色表示4，第4个涂色表示8，第5个涂色表示16，根据此规律按题目要求把已经涂色的红灯表示的数相加即可得解；
（3）根据6＝2＋4，把第2个和第3个涂色，根据13＝1＋4＋8，把第1个、第3个和第4个方框涂色，据此解答即可。
【详解】（1）1×2＝2
2×2＝4
4×2＝8
8×2＝16
所以5盏灯中最中间的一盏灯为红色时表示的数是4。
（2）4＋8＋16＝28
1＋2＋8＝11
所以□□■■■→28，■■□■□→11。
（3）6＝2＋4
13＝1＋4＋8
所以发红光的灯的位置如下：
□■■□□→6
■□■■□→13
【点睛】解答此题的关键在于通过已知的例子找出每盏灯发红光时表示的数，再根据规律解答。
16．（1）或者
（2）
（3）去掉一根将53变成52即可
【分析】第（1）问，若结果不变，可以通过11加3得到14，或者边长17减3也可以得到14；第（2）问，6可以通过19减13得到，而15加上一根刚好是19；第（3）问，13乘4得到52，可以把53去掉一根，得到52。
【详解】
（1）去掉一根可以变为：
或者
（2）添加一根将5变为9等式成立：
（3）去掉一根将53变成52即可。
【点睛】本题考查的是火柴棒问题，对于火柴棒摆成的0~9这10个数字的变化规律要比较熟悉。
17．（1）1；3；6；10
3；6；10；15
（2）▲有28个；△有36个
【分析】第1个图有1个▲，第2个图有1＋2＝3（个）▲，第3个图有1＋2＋3＝6（个）▲，第4个图有1＋2＋3＋4＝10（个）▲，……由此发现规律：第n图有（1＋2＋3＋4＋…＋n）个▲。
第1个图有1＋2＝3（个）△，第2个图有1＋2＋3＝6（个）△，第3个图有1＋2＋3＋4＝10（个）△，第4个图有1＋2＋3＋4＋5＝15（个）△……由此发现规律：第n图有[1＋2＋3＋4＋…＋（n＋1）]个△。
【详解】（1）▲的个数：
第1个图：1个
第2个图：1＋2＝3（个）
第3个图：1＋2＋3＝6（个）
第4个图：1＋2＋3＋4＝10（个）
△的个数：
第1个图：1＋2＝3（个）
第2个图：1＋2＋3＝6（个）
第3个图：1＋2＋3＋4＝10（个）
第4个图：1＋2＋3＋4＋5＝15（个）
如下表：
（2）1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28（个）
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36（个）
答：第7个图形中▲有28个，△各有36个。
【点睛】在运用数形结合的方法探究数学规律时，一定要把图形和数一一对应。
18．（1）3；
（2）61根
【分析】由列表可知，摆1个小正方形需要4根小棒；摆2个小正方形需要（4＋3）根小棒；摆3个小正方形需要（4＋3＋3）根小棒；摆4个小正方形需要（4＋3＋3＋3）根小棒……
摆n个小正方形需要4＋（n－1）×3根小棒；把n＝20代入含有字母的式子计算出结果即可。
【详解】（1）每多摆1个正方形，就增加（3）根小棒。
（2）分析可知摆n个小正方形需要4＋（n－1）×3＝3n＋1根小棒
当n＝20时
3n＋1＝3×20＋1＝61（根）
答：摆20个正方形需要61根小棒。
【点睛】分析列表找出图形变化的规律，并用含有字母的式子表示出规律是解答题目的关键。
19．(1) 5×＝5－
(2)100×＝100－
【详解】（1）根据算式的规律，可知⑤的算式为5×＝5－
再画出对应的图，每个小正方形可看做“单位1”，表示，将“单位1”平均分成6份，阴影部分占5份，5×可画为
（2）第100个图形对应的算式为100×=100-，即100×＝100－
20．（1）22人 （2）146人
【详解】略
21．117；
【详解】略
22．（1）面积呈倍数增加
（2）2，2，6，14，34，82，98，478；1，2，2，6，14，34，82，198，下一个图形的宽是上一个图形长，下一个图形的长是上一个图形的宽加上长的2倍．
【解析】略
23．24个；36个
【分析】如下图，第1个图中○和●一共有32个，●的个数有12个，○的个数有32－12＝8（个）；第2个图中○和●一共有42个，●的个数有22个，○的个数有42－22＝12（个）；第3个图中○和●一共有52个，●的个数有32个，○的个数有52－32＝16（个）；……由此发现规律：第n个图中○和●一共有（n＋2）2个，●的个数有n2个，○的个数有[（n＋2）2－n2]个。
【详解】（5＋2）2－52
＝72－52
＝49－25
＝24（个）
（8＋2）2－82
＝102－82
＝100－64
＝36（个）
答：第5个图形中有24个○，第8个图形36个○。
【点睛】数形结合是学习数学的一种重要的思想方法。运用数形结合的方法，可以帮助理解计算方法，进行计算。
序号
①
②
③
④
▲
1
3
6
10
△
3
6
10
15