人教版数学九年级下册第二十八章 锐角三角函数（章末测试）（2份，原卷版+解析版）
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第二十八章 锐角三角函数（章末测试）一、单选题（每题4分，共40分）1．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）A． SKIPIF 1 < 0 B．1 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 【详解】如图，连接BC，由网格可得AB=BC= SKIPIF 1 < 0 ，AC= SKIPIF 1 < 0 ，即AB2+BC2=AC2，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，则tan∠BAC=1，故选：B．2．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若反比例函数 SKIPIF 1 < 0 经过点C，则k的值等于（ ）A．10 B．24 C．48 D．50【详解】解：如图，过点C作 SKIPIF 1 < 0 于点E，∵菱形OABC的边OA在x轴上，点 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ．∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ∴点C坐标 SKIPIF 1 < 0 ∵若反比例函数 SKIPIF 1 < 0 经过点C，∴ SKIPIF 1 < 0 故选C．3．2sin45°的值等于（ ）A．1 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2【详解】解：2sin45°=2× SKIPIF 1 < 0 故选：B ．4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ SKIPIF 1 < 0 ，AC＝6cm，则BC的长度为( )A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【详解】已知sinA= SKIPIF 1 < 0 ，设BC=4x，AB=5x，又因AC2+BC2=AB2，即62+（4x）2=（5x）2，解得：x=2或x=﹣2（舍），所以BC=4x=8cm，故选：C．5．在△ABC中，若cosA= SKIPIF 1 < 0 ，tanB= SKIPIF 1 < 0 ，则这个三角形一定是（ ）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【详解】试题解析：∵cosA= SKIPIF 1 < 0 ，tanB= SKIPIF 1 < 0 ，∴∠A=45°，∠B=60°．∴∠C=180°-45°-60°=75°．∴△ABC为锐角三角形．故选A．6．如图，一艘船由 SKIPIF 1 < 0 港沿北偏东65°方向航行 SKIPIF 1 < 0 至 SKIPIF 1 < 0 港，然后再沿北偏西40°方向航行至 SKIPIF 1 < 0 港， SKIPIF 1 < 0 港在 SKIPIF 1 < 0 港北偏东20°方向，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两港之间的距离为（ ） SKIPIF 1 < 0 .A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 【详解】解：根据题意作BD垂直于AC于点D.可得AB= SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 所以可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 因此可得 SKIPIF 1 < 0 故选B.7．如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i=1：0.75，坡长BC=10米，则此时AB的长约为（ ）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）．A．5.1米 B．6.3米 C．7.1米 D．9.2米【详解】如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q，∵CE∥AP，∴DP⊥AP，∴四边形CEPQ为矩形，∴CE=PQ=2，CQ=PE，∵i= SKIPIF 1 < 0 ，∴设CQ=4x、BQ=3x，由BQ² +CQ²=BC²可得(4x)²+(3x)²=102，解得：x=2或x=−2(舍)，则CQ=PE=8，BQ=6，∴DP=DE+PE=11，在Rt△ADP中,∵AP= SKIPIF 1 < 0 ≈13.1，∴AB=AP−BQ−PQ=13.1−6−2=5.1，故选A.8．如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比） SKIPIF 1 < 0 ，山坡坡底C点到坡顶D点的距离 SKIPIF 1 < 0 ，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为（ ）（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）A．76.9m B．82.1m C．94.8m D．112.6m【详解】解：如图，由题意得，∠ADF＝28°，CD＝45，BC＝60，在Rt SKIPIF 1 < 0 DEC中，∵山坡CD的坡度i＝1：0.75，∴ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，设DE＝4x，则EC＝3x，由勾股定理可得CD＝5x，又CD＝45，即5x＝45，∴x＝9，∴EC＝3x＝27，DE＝4x＝36＝FB，∴BE＝BC+EC＝60+27＝87＝DF，在Rt SKIPIF 1 < 0 ADF中，AF＝tan28°×DF≈0.53×87≈46.11，∴AB＝AF+FB＝46.11+36≈82.1，故选：B．9．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（ ）A．21.7米 B．22.4米 C．27.4米 D．28.8米【详解】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．在Rt△CDN中，∵ SKIPIF 1 < 0 ，设CN=4k，DN=3k，∴CD=10，∴（3k）2+（4k）2=100，∴k=2，∴CN=8，DN=6，∵四边形BMNC是矩形，∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，在Rt△AEM中，tan24°= SKIPIF 1 < 0 ，∴0.45= SKIPIF 1 < 0 ，∴AB=21.7（米），故选A．10．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 【详解】∵在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 故选：A．二、填空题（每题4分，共20分）11．如图，某校教学楼 SKIPIF 1 < 0 与实验楼 SKIPIF 1 < 0 的水平间距 SKIPIF 1 < 0 米，在实验楼顶部 SKIPIF 1 < 0 点测得教学楼顶部 SKIPIF 1 < 0 点的仰角是 SKIPIF 1 < 0 ，底部 SKIPIF 1 < 0 点的俯角是 SKIPIF 1 < 0 ，则教学楼 SKIPIF 1 < 0 的高度是____米（结果保留根号）.【详解】过点B作BM⊥AC，垂足为E，则∠ABE=30°，∠CBE=45°，四边形CDBE是矩形，∴BE=CD=15 SKIPIF 1 < 0 ，∵∠CEB=90°，∴∠CEB=90°-∠CBE=45°=∠CBE，∴CE=BE=15 SKIPIF 1 < 0 ，在Rt△ABE中，tan∠ABE= SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴AE=15，∴AC=AE+CE=15+15 SKIPIF 1 < 0 ，即教学楼AC的高度是(15+15 SKIPIF 1 < 0 )米，故答案为(15+15 SKIPIF 1 < 0 ).12．如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°．若斜面坡度为1： SKIPIF 1 < 0 ,则斜坡AB的长是__________米．【详解】解：如图所示：过点A作AF⊥BC于点F，∵斜面坡度为1： SKIPIF 1 < 0 ，∴tan∠ABF= SKIPIF 1 < 0 ，∴∠ABF=30°，∵在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，∴∠HPB=30°，∠APB=45°，∴∠HBP=60°，∴∠PBA=90°，∠BAP=45°，∴PB=AB，∵PH=30m，sin60°= SKIPIF 1 < 0 ，解得：PB= SKIPIF 1 < 0 ，故AB= SKIPIF 1 < 0 m，故答案为： SKIPIF 1 < 0 .13．如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离 SKIPIF 1 < 0 为________海里．【详解】如图，过点A作AC⊥BD，依题意可得∠ABC=45°∴△ABC是等腰直角三角形，AB=20(海里)∴AC=BC=ABsin45°=10 SKIPIF 1 < 0 (海里)在Rt△ACD中，∠ADC=90°-60°=30°∴AD=2AC=20 SKIPIF 1 < 0 (海里)故答案为：20 SKIPIF 1 < 0 ．14．如图．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是_____．【详解】如图，延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，∵DE平分△ABC的周长， AD=DB，∴BE=CE+AC，∴ME=EB，又AD=DB，∴DE= SKIPIF 1 < 0 AM，DE∥AM，∵∠ACB=60°，∴∠ACM=120°，∵CM=CA，∴∠ACN=60°，AN=MN，∴AN=AC•sin∠ACN= SKIPIF 1 < 0 ，∴AM= SKIPIF 1 < 0 ，∴DE= SKIPIF 1 < 0 ，故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．15．如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A，B，C均为正六边形的顶点，AB与地面BC所成的锐角为β，则tanβ的值是______．【详解】解：如图，作AT//BC，过点B作BH⊥AT于H，设正六边形的边长为a，则正六边形的半径为a，边心距= SKIPIF 1 < 0 a观察图像可知： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 所以tanβ＝ SKIPIF 1 < 0 ．故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．三、解答题（16题8分，17-19题每题9分，20题11分，21题14分）16．计算： SKIPIF 1 < 0 .【详解】原式= SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 17．由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达 SKIPIF 1 < 0 处时，测得小岛 SKIPIF 1 < 0 位于它的北偏东 SKIPIF 1 < 0 方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛 SKIPIF 1 < 0 位于它的北偏东 SKIPIF 1 < 0 方向．如果航母继续航行至小岛 SKIPIF 1 < 0 的正南方向的 SKIPIF 1 < 0 处，求还需航行的距离 SKIPIF 1 < 0 的长．（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）【详解】解：由题知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （海里）．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （海里）．答：还需要航行的距离 SKIPIF 1 < 0 的长为20.4海里．18．如图， SKIPIF 1 < 0 内接于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的直径， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．（1）求证： SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的切线；（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是直径， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的切线；（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去）， SKIPIF 1 < 0 ．19．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点D，延长 SKIPIF 1 < 0 至点E，使 SKIPIF 1 < 0 ．（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的周长；（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．【详解】解：(1)如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 垂直平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点F，∵ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 垂直平分线，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．∴ SKIPIF 1 < 0 ．20．如图，一艘渔船位于小岛 SKIPIF 1 < 0 的北偏东 SKIPIF 1 < 0 方向，距离小岛 SKIPIF 1 < 0 的点 SKIPIF 1 < 0 处，它沿着点 SKIPIF 1 < 0 的南偏东 SKIPIF 1 < 0 的方向航行．（1）渔船航行多远距离小岛 SKIPIF 1 < 0 最近(结果保留根号)？（2）渔船到达距离小岛 SKIPIF 1 < 0 最近点后，按原航向继续航行 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 处时突然发生事故，渔船马上向小岛 SKIPIF 1 < 0 上的救援队求救，问救援队从 SKIPIF 1 < 0 处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少(结果保留根号)？【详解】解：（1）过 SKIPIF 1 < 0 点作 SKIPIF 1 < 0 的垂线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，∵垂线段最短， SKIPIF 1 < 0 上的 SKIPIF 1 < 0 点距离 SKIPIF 1 < 0 点最近， SKIPIF 1 < 0 即为所求，由题意可知：∠BAF=30°，∠CAF=15°，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴渔船航行 SKIPIF 1 < 0 时，距离小岛 SKIPIF 1 < 0 最近．（2）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∠DBC=60°， SKIPIF 1 < 0 ∵∠ABD=45°，∠ABE=90°-30°=60°，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .答：从 SKIPIF 1 < 0 处沿南偏东 SKIPIF 1 < 0 出发，最短行程 SKIPIF 1 < 0 .21．阅读理解：如图1，Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义：sinA＝ SKIPIF 1 < 0 ，sinB＝ SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝c＝2R，即： SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝2R，（规定sin90°＝1）．探究活动：如图2，在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，其外接圆半径为R，那么： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （用＞、＝或＜连接），并说明理由．事实上，以上结论适用于任意三角形．初步应用：在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠A＝60°，∠B＝45°，a＝8，求b．综合应用：如图3，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔CD的高度，在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了100m到达B处，此时A，B，D三点在一条直线上，在B处测得塔顶C的仰角为45°，求古塔CD的高度（结果保留小数点后一位）．（ SKIPIF 1 < 0 ≈1.732，sin15°＝ SKIPIF 1 < 0 ）【详解】解：探究活动： SKIPIF 1 < 0 ，理由如下：如图2，过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD，∴∠A＝∠D，∠DBC＝90°，∴sinA＝sinD，sinD＝ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，同理可证： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ；故答案为：＝，＝，＝．初步应用：∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．综合应用：由题意得：∠D＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝45°，AB＝100，∴∠ACB＝30°．设古塔高DC＝x，则BC＝ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴古塔高度约为36.6m．
