2024-2025学年河北省石家庄四十二中九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年河北省石家庄四十二中九年级（上）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列几组量中，不成反比例的为
A．工作总量一定，工作效率和工作时间
B．减数一定，被减数和差
C．面积一定，平行四边形的底和高
D．电压一定时，电流与电阻
2．（3分）如图，在中，，，，下列三角函数表示正确的是
A．B．C．D．
3．（3分）图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点，，根据图2中的数据可得的值为
A．0.8B．0.72C．1.8D．2
4．（3分）已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值可以是
A．B．1C．2D．3
5．（3分）已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为
A．0B．0或C．1D．
6．（3分）如图，小明和小华同时从处分别向北偏东和南偏东方向出发，他们的速度分别是和，则后他们之间的距离为
A．B．C．D．
7．（3分）佳琪在处理一组数据“22、22，38，45，●”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在之间．根据以上信息可以确定这组数据的
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知，与位似，原点是位似中心，且，则点的坐标是
A．B．C．D．
9．（3分）若正比例函数的图象过第二、四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
10．（3分）已知线段，，，求作线段，使，则下列作图中作法正确的是
A．B．
C．D．
11．（3分）初三一班学生的一次数学测试的平均成绩为60分，男生的平均成绩为57分，女生的平均成绩为62分，则该班男、女生人数之比为
A．B．C．D．
12．（3分）如图，在四边形中，，，，，．当△与△相似时，嘉嘉得到如下结论：
①可能是3或4；
②可能为；
③一定是直角．
其中判断正确的为
A．①②③B．②③C．①③D．①②
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）已知，则 ．
14．（3分）如表，如果与成反比例关系，那么表格中“？”处应填 ．
15．（3分）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是 ．
16．（3分）如图，在△中，，，，点，分别是边，上的动点（点，均不与△的顶点重合），连接，．若，，则的最小值为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分，解应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）解方程：．
（2）计算：．
18．（10分）在面积为定值的一组菱形中，当菱形的一条对角线长为时，它的另一条对角线长为．
（1）设菱形的两条对角线的长分别为，，求关于的函数表达式．这个函数是反比例函数吗？如果是，指出比例系数．
（2）若其中一个菱形的一条对角线长为，求它的另一条对角线长．
19．（10分）已知：如图，在△中，，，的垂直平分线交于点，交的延长线于点．
（1）求的长度：
（2）过作于点，求△的面积．
20．（9分）百度推出了“文心一言” 聊天机器人（以下简称款），抖音推出了“豆包” 聊天机器人（以下简称款）．有关人员开展了，两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意，下面给出了部分信息：
抽取的对款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：
84，86，86，87，88，89；
抽取的对款聊天机器人的评分数据：
67，68，69，83，85，86，87，87，87，88，88，89，95，96，96，96，96，98，99，100；
抽取的对，款聊天机器人的评分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中 ， ， ；
（2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）在此次测验中，有240人对款聊天机器人进行评分、300人对款聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？
21．（10分）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，，停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与地面平行），图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．
（1）求的长；
（2）求物体上升的高度（结果精确到．
（参考数据：，，，
22．（12分）探究；已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点第行有个点容易发现，10是三角形点阵中前4行的点数和．
①三角形点阵中前10行的点数和是 ；
②若三角形点阵中前行的点数之和为136，的值为 ；
③三角形点阵中前行的点数之和能是600吗？若能，求出的值；若不能，试用一元二次方程说明理由；
拓展：如果把（1）的三角形点阵中各行的点数依次换为2，4，6，，，
④直接写出这个三角形点阵中前行点数和： ；（用含的代数式表示）
⑤这个三角形点阵中前行点数和能是600吗？若能，求出；若不能，请说明理由．
23．（11分）在△中，．点（与点、不重合）为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形．
（1）如果．如图①，且点在线段上运动．试判断线段与之间的位置关系，并证明你的结论．
（2）如果，如图②，且点在线段上运动．（1）中结论是否成立，为什么？
（3）若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点，设，，，求线段的长．（用含的式子表示）
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）
1．（3分）下列几组量中，不成反比例的为
A．工作总量一定，工作效率和工作时间
B．减数一定，被减数和差
C．面积一定，平行四边形的底和高
D．电压一定时，电流与电阻
解：．工作效率与工作时间的积为工作量，工作总量一定，工作效率和工作时间是成反比例关系，故本选项不符合题意；
．被减数和差的差等于减数，被减数和差不成反比例关系，故本选项符合题意；
．平行四边形的底和高积等于面积，面积一定，底和高成反比例关系，故本选项不符合题意；
．电流与电阻的积等于电压，电压一定时，电流与电阻是成反比例关系，故本选项不符合题意．
故选：．
2．（3分）如图，在中，，，，下列三角函数表示正确的是
A．B．C．D．
解：，，，
，
，故选项错误；
，故选项错误；
，故选项正确；
，故选项错误．
故选：．
3．（3分）图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点，，根据图2中的数据可得的值为
A．0.8B．0.72C．1.8D．2
解：，
△△，
，
，
，
故选：．
4．（3分）已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值可以是
A．B．1C．2D．3
解：反比例函数的图象位于第一、三象限，
，
解得：．
故的取值可以是：3．
故选：．
5．（3分）已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为
A．0B．0或C．1D．
解：关于的一元二次方程有一个根为，
，且，
则的值为：．
故选：．
6．（3分）如图，小明和小华同时从处分别向北偏东和南偏东方向出发，他们的速度分别是和，则后他们之间的距离为
A．B．C．D．
解：，，，
，
答：后他们之间的距离为，
故选：．
7．（3分）佳琪在处理一组数据“22、22，38，45，●”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在之间．根据以上信息可以确定这组数据的
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
解：一组数据“22、22，38，45，●”时，该数据●在之间，
四个数据的和随数据●的变化而变化，所以平均数是变化的，选项不符合题意；
中位数是38，不变，选项符合题意；
众数也变化，选项不符合题意；
因为平均数改变，方差随着改变，选项不符合题意．
故选：．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知，与位似，原点是位似中心，且，则点的坐标是
A．B．C．D．
解：根据题意，与位似，原点是位似中心，且，
即与的相似比为，
又，
点的坐标为，即点的坐标为．
故选：．
9．（3分）若正比例函数的图象过第二、四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
解：正比例函数的图象过第二、四象限，
，
一元二次方程，
△，
该方程有两个不相等的实数根．
故选：．
10．（3分）已知线段，，，求作线段，使，则下列作图中作法正确的是
A．B．
C．D．
解：如果使线段，必须满足，
从而得出，
则由图可知只有符合题意．
故选：．
11．（3分）初三一班学生的一次数学测试的平均成绩为60分，男生的平均成绩为57分，女生的平均成绩为62分，则该班男、女生人数之比为
A．B．C．D．
解：设男、女生的人数分别为、，
，
整理得，，
所以，．
故选：．
12．（3分）如图，在四边形中，，，，，．当△与△相似时，嘉嘉得到如下结论：
①可能是3或4；
②可能为；
③一定是直角．
其中判断正确的为
A．①②③B．②③C．①③D．①②
解：设，则，
当时，
，
△△，
，
，
，
解得，，
或4；
当时，
，
△△，
，
，
，
解得，
综上所述，或4或，
当△△时，，则，
当△△时，，
综上，①②正确，符合题意；③不正确，不符合题意；
故选：．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）已知，则 ．
解：
．
故答案为：．
14．（3分）如表，如果与成反比例关系，那么表格中“？”处应填 6 ．
解：由题意可得，
即表格中“？”处应填6，
故答案为：6．
15．（3分）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是 5 ．
解：过作于，
，
，
在△中，
，，
，
即乘电梯从点到点上升的高度是．
故答案为：5．
16．（3分）如图，在△中，，，，点，分别是边，上的动点（点，均不与△的顶点重合），连接，．若，，则的最小值为 ．
解：如图所示，过点作且，连接，，
在△中，，，，
，
△是直角三角形，且，
，
，，
，，
，
△△，
，
，
，
，
当、、三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为线段的长，
在△中，由勾股定理得，
的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分，解应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）解方程：．
（2）计算：．
解：（1），
或，
所以，；
（2）原式
．
18．（10分）在面积为定值的一组菱形中，当菱形的一条对角线长为时，它的另一条对角线长为．
（1）设菱形的两条对角线的长分别为，，求关于的函数表达式．这个函数是反比例函数吗？如果是，指出比例系数．
（2）若其中一个菱形的一条对角线长为，求它的另一条对角线长．
解：（1）在面积为定值的一组菱形中，当菱形的一条对角线长为时，它的另一条对角线长为，
，
菱形的两条对角线的长分别为，，
，
关于的函数表达式为，
这个函数是反比例函数，比例系数是48；
（2）菱形的面积为，且其中一个菱形的一条对角线长为，
另一条对角线长为．
19．（10分）已知：如图，在△中，，，的垂直平分线交于点，交的延长线于点．
（1）求的长度：
（2）过作于点，求△的面积．
解：（1）过点作，垂足为，
，
，，
，
是的垂直平分线，
，，
，
，
△△，
，
，
解得：，
；
（2），
，
，
，
，
△△，
，
解得：，
，
△的面积．
20．（9分）百度推出了“文心一言” 聊天机器人（以下简称款），抖音推出了“豆包” 聊天机器人（以下简称款）．有关人员开展了，两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意，下面给出了部分信息：
抽取的对款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：
84，86，86，87，88，89；
抽取的对款聊天机器人的评分数据：
67，68，69，83，85，86，87，87，87，88，88，89，95，96，96，96，96，98，99，100；
抽取的对，款聊天机器人的评分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中 15 ， ， ；
（2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）在此次测验中，有240人对款聊天机器人进行评分、300人对款聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？
解：（1）由题意得：，
即，
款的评分非常满意有（个，“满意”的数据为84、86、86、87、88、89，
把款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89，
中位数，
在款的评分数据中，96出现的次数最多，
众数；
故答案为：15，88.5，96；
（2）款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：
因为两款的评分数据的平均数相同都是88，但款评分数据的中位数为88比款的中位数87高，所以款聊天机器人更受用户喜爱（答案不唯一）；
（3）（人，
答：估计此次测验中对聊天机器人不满意的大约共有69人．
21．（10分）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，，停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与地面平行），图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．
（1）求的长；
（2）求物体上升的高度（结果精确到．
（参考数据：，，，
解：（1）如图2，在△中，，，
，
，
则的长为；
（2）在△中，，，
根据勾股定理得：，
在△中，，，，
，即，
，
，
，
，
则物体上升的高度约为．
22．（12分）探究；已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点第行有个点容易发现，10是三角形点阵中前4行的点数和．
①三角形点阵中前10行的点数和是 55 ；
②若三角形点阵中前行的点数之和为136，的值为 ；
③三角形点阵中前行的点数之和能是600吗？若能，求出的值；若不能，试用一元二次方程说明理由；
拓展：如果把（1）的三角形点阵中各行的点数依次换为2，4，6，，，
④直接写出这个三角形点阵中前行点数和： ；（用含的代数式表示）
⑤这个三角形点阵中前行点数和能是600吗？若能，求出；若不能，请说明理由．
解：①，故答案为：55；
②由题意得：，
解得：或（不合题意，舍去），
故答案为：16；
③三角形点阵中前行的点数之和不能是600，
理由：由题意得：，
解得：（不合题意，舍去），
三角形点阵中前行的点数之和不能是600；
④由题意得：，
故答案为：；
⑤这个三角形点阵中前25行点数和是600，
理由：由题意得：，
解得：或（不合题意，舍去），
这个三角形点阵中前25行点数和是600．
23．（11分）在△中，．点（与点、不重合）为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形．
（1）如果．如图①，且点在线段上运动．试判断线段与之间的位置关系，并证明你的结论．
（2）如果，如图②，且点在线段上运动．（1）中结论是否成立，为什么？
（3）若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点，设，，，求线段的长．（用含的式子表示）
解：（1）与位置关系是垂直；
证明如下：
，，
．
由正方形得，
，
，
△△，
．
．
．
．
（2）时，的结论成立．
理由是：
过点作交于点，
，
，
，
同理可证：△△
，，
即．
（3）如图①，当时，
过点作交于点，可得，
△△，
，．即．
过点作交的延长线于点，
如图②，点在线段上运动时，
，可求出．
，△△，
，
，
．
如图③，点在线段延长线上运动时，
，
，
．
过作，
，
，
，
，
，
△△，
，
，
．
10
？
3
5
设备
平均数
中位数
众数
“非常满意”所占百分比
88
96
88
88
10
？
3
5
设备
平均数
中位数
众数
“非常满意”所占百分比
88
96
88
88