浙江省嘉兴八校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷(含答案)

这是一份浙江省嘉兴八校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知直线过、两点,则该直线的斜率为( )
A.B.0C.1D.2
2．已知直线与,若,则m为( )
A.B.0C.D.
3．已知,分别为椭圆的左右焦点,P为椭圆上一点,若,则为( )
A.1B.4C.6D.7
4．已知,分别是平面,的法向量,且,则t的值为( )
A.1B.2C.D.
5．经过点作圆的切线,则切线方程为( )
A.B.C.D.
6．如图,在三棱锥中,已知E是上靠近C的三等分点,F是的中点,则( )
A.B.
C.D.
7．已知圆与圆有两条公切线,则实数a的取值范围( )
A.B.
C.D.
8．已知椭圆的两个焦点为,,过的直线l与椭圆C相交于A,B两点,若,,则椭圆C的离心率为( )
A.B.C.D.
9．如图是某高一学生晨练时离家距离与行走时间之间的函数关系的图像.若用黑点表示该学生家的位置,则该同学散步行走的路线可能是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
10．已知直线,则下列说法正确的是( )
A.点到直线l的距离为
B.直线l的截距式方程为
C.直线l的一个方向向量为
D.若直线l与圆相切,则
11．如图,直三棱柱中,,,E,F分别为棱和的中点,D为棱上的动点,则下列说法正确的是( )
A.
B.该三棱柱的体积为4
C.直线与平面所成角的正切值的最大值为
D.过,,E三点截该三棱柱的截面面积为
12．数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观,形少数时难入微.”事实上,很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如,与相关的代数问题,可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点,对于函数,下列结论正确的是( )
A.方程无解B.方程有两个解
C.的最小值为D.的最大值为
三、填空题
13．直线的倾斜角为______.
14．点在椭圆上,F是椭圆的一个焦点,M为的中点,若,则_________.
15．在棱长为2的正方体中,点E,F分别为棱,的中点.点P为正方体表面上的动点,满足.给出下列四个结论:
①线段长度的最大值为;
②存在点P,使得;
③存在点P,使得;
④是等腰三角形.
其中,所有正确结论的序号是________.
四、解答题
16．已知空间三点,,,设,.
（1）求的值;
（2）若向量与互相垂直,求实数k的值.
17．已知直线,经过点.
（1）若,求直线的方程;
（2）在（1）的条件下,求与之间的距离;
（3）若与x轴、y轴的正半轴交于A,B两点,求的最小值.
18．已知点,圆:.
（1）求圆C过点P的最短弦所在的直线方程;
（2）若圆C与直线相交于A,B两点,O为原点,且,求a的值.
19．如图,直三棱柱中,,M是中点,N是中点.
（1）证明:直线平面;
（2）证明:直线;
（3）求平面与平面所成角的余弦值.
20．已知椭圆过点,离心率为,斜率为的直线l与椭圆C相交于异于点H的,两点,且,均不与x轴垂直.
（1）求椭圆C的方程;
（2）若,P为椭圆的上顶点,求的面积;
（3）记直线,的斜率分别为,,证明:为定值.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意可知,直线斜率为.
故选:C.
2．答案：D
解析：由,则有,解得,
当时,与,两直线不重合;
当时,与,两直线不重合;
故.
故选:D.
3．答案：B
解析：由椭圆定义可得,
故.
故选:B.
4．答案：B
解析：因为,分别是平面,的法向量,且,
所以,即,解得,
故选:B.
5．答案：C
解析：易知切线斜率存在,设该切线方程为,即,
则有,化简得,故,
故该切线方程为,即.
故选:C.
6．答案：D
解析：E是上靠近C的三等分点,F是的中点,
故
.
故选:D
7．答案：A
解析：由圆与圆有两条公切线,
可知两圆位置关系是相交,即圆心距小于半径之和且大于半径之差,
则,解得:,
故选:A.
8．答案：C
解析：设,则,,则,
由椭圆定义可得,故,
即有,,,则,
则有,
整理得,即.
故选:C.
9．答案：D
解析：由已知函数图像可知,有一段时间该同学离家距离保持不变,结合选项可知只有D中的路线符合要求.故选D.
10．答案：BCD
解析：对于A选项,已知直线,
则点到直线的距离,故A选项错误;
对于B选项,已知直线,则直线l的截距式方程为,故B选项正确;
对于C选项,已知直线,则直线l的一个方向向量为,故C选项正确;
对于D选项,已知圆,其圆心到直线l的距离为,由于直线l与圆相切,可得:,故D选项正确.
故选:BCD
11．答案：ABC
解析：如图建立空间直角坐标系,则,,,,,
对于A,,,,
因,,可得,,
因,且两直线在平面内,则有平面,
又为棱上的动点,故,即A正确;
对于B,由题意,该三棱柱的体积为,故B正确;
对于C,如图,因平面,平面,则,
又,,且两直线在平面内,故得平面,
故可取平面的法向量为,
又D为棱上的动点,可设,,则,
设直线与平面所成角为,则,
因,故当且仅当时,取得最小值为5,
此时取得最大值为,
因,而正弦函数和正切函数在上均为增函数,
故此时取得最大值为,故C正确.
对于D,如图,
设经过,,E三点的截面交于点G,
连接,,因,平面,平面,则平面,
又,平面,故得,即截面为梯形,
因,,
设梯形的高为h,则,解得,
则,故D错误;
故选:ABC.
12．答案：BC
解析：,
设,,,则,
如图,取,则,
当且仅当A、P、C三点共线时,等号成立,
又当时,随x增大而增大,故无最大值,故C正确、D错误;
由,故有解,故A错误;
,则,
则P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,
此时,,即,,
即椭圆方程为,
当时,得,得,即,
即方程有两个解,故B正确.
故选:BC.
13．答案：
解析：由于直线的斜率为,故倾斜角为.
14．答案：2
解析：如图,设椭圆的另一焦点为,则,
由中位线可知:,
所以,
所以,
故答案为:2
15．答案：①③④
解析：如图,建立空间直角坐标系,
则,,,,,,
对①,由正方体性质知当P在C时,线段长度的最大值为,
此时,,
所以,即满足,故①正确;
对②,取正方形的中心M,连接,,易知,,
所以四边形为平行四边形,所以,故P运动到M处时,,
此时,,,即不满足,
综上不存在点P,使得,故②错误;
对③,设,则,,若存在,
由,可得方程组,
化简可得,解得,
显然当,,时满足题意,
即存在点P,使得,故③正确;
对④,设,若,
则,化简可得,
由③知时可得,所以不妨取,
此时在正方体表面上,满足题意,故④正确.
故答案为:①③④
16．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）由题得,,
所以,所以.
（2）因为,所以,
又,,
所以,解得.
17．答案：（1）
（2）
（3）6
解析：（1）直线的斜率为,
所以过点且与直线平行的直线方程为,
即.
（2）因为,所以两直线间的距离为.
（3）设直线方程为,.
当时,;当时,.
则,,
则,
当且仅当,即时,等号成立.
所以的最小值为6.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）过点P的最短弦就是圆心与P连线垂直的直线,
圆的圆心,则,
所以过点P的最短弦所在的直线方程为,即.
（2）消去y得,
化简后为.
因为圆C与直线交于A,B两点,
所以,
即,解得.
设,,则,.
因为,所以,即.
由得.
从而,解得.
19．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）取中点E,连接,,
,M分别为,的中点,
,且,
为直三棱柱,N为AC中点,
,且,
四边形为平行四边形,,
平面,平面,
平面;
（2）连接,,,
,
为直角三角形,
为直三棱柱,
易得,,
为中点,
,;
（3）易知平面,,
分别以,,所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
如图所示,设,
则,,,,,
设平面一个法向量为,则,
取,易得平面的一个法向量为,
设平面与平面所成角为,
则.
20．答案：（1）
（2）
（3）证明见解析
解析：（1）根据题意得到,解得,
故椭圆C的方程为;
（2）因为,解得或,
当时,直线l的方程经过点,不符合题意,舍去;
当时,,
点到直线l的距离,
故的面积;
（3）设,,直线l的方程为,
联立方程,得,
由,得,
则,,
因为直线,均不与x轴垂直,所以,,则且,
所以,
故为定值.