浙江省金华市卓越联盟2024-2025学年高二上学期12月阶段性联考数学试卷(含答案)

这是一份浙江省金华市卓越联盟2024-2025学年高二上学期12月阶段性联考数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知双曲线的渐近线方程为( )
A.B.C.D.
2．已知等差数列,前n项和为,若,则( )
A.200B.100C.D.
3．直线与直线平行,则m的值为( )
A.1或B.1C.D.2
4．如果直线与圆相切,则b的值( )
A.B.C.D.
5．空间直角坐标系中,定义经过点且法向量为的平面方程为,平面外的一点到平面的距离.阅读上面材料,解决下面问题:已知平面的方程为,在y轴上求一点M使它到平面的距离为6,则点M的坐标为( )
A.B.
C.或D.或
6．已知数列满足,,则数列的前项和为( )
A.B.C.D.
7．在三棱台中,,,的重心为O,则的长为( )
A.B.C.D.
8．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名,他发现:平面内到两个定点A,B的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知点P,Q分别是抛物线和上的动点,若抛物线C的焦点为F,则的最小值为( )
A.6B.C.D.5
二、多项选择题
9．已知等差数列,前n项和为,满足,,下列说法正确的是( )
A.若,则数列单调递减B.若,则
C.若,则的最小值为D.若,则
10．如图,已知正方体棱长为2,O,M分别为,的中点,N为线段上的动点,下列选项正确的是( )
A.不存在N使得B.存在N使面
C.存在两个N使与成角D.任意N满足
11．已知抛物线的焦点为F,P为抛物线上一动点,直线l交抛物线于A,B两点,则下列说法正确的是( )
A.当直线l过焦点时,以为直径的圆与x轴相切
B.存在直线l,使得A,B两点关于对称
C.若,则线段的中点M到x轴距离为8
D.当直线l过焦点时,则的最小值
三、填空题
12．直线l的一个方向向量为,则直线l的倾斜角为________.
13．如果数列对任意的,,则称为“速增数列”,若数列为“速增数列”,且任意项,,,,则正整数k的最大值为________.
14．如图,已知双曲线与过其焦点的圆相交于A,B,C,D四个点,直线与x轴交于点E,直线与双曲线交于点F,记直线,的斜率分别为,,若,则双曲线的离心率为________.
四、解答题
15．已知圆被轴截得的弦长为,P点是直线上的一点,过P点作圆的两条切线,切点分别为A和B.
（1）求m的值;
（2）求四边形面积的最小值.
16．已知递增等比数列的前n项和为,,,数列的前n项和为,且,是公差为1的等差数列.
（1）求数列和的通项公式;
（2）令,求数列的前n项和.
17．如图,O是正方形的中心,把正方形沿对角线折成二面角,E,F分别为,的中点,
（1）当折成直二面角时（图1）,求直线与所成角的大小;
（2）当折成二面角的平面角为（图2）,求直线与平面所成角的正弦值.
18．如图,已知圆的半径为4,,P是圆上的一个动点,的中垂线交于点Q,以直线为x轴,的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系,
（1）求点Q的轨迹E的方程;
（2）若过点的直线l与轨迹E交于点A,B,
（i）若三角形的面积为,求直线的方程;
（ii）探究轴上是否存在一点M,使得直线,的斜率之积为定值.若存在,求出点M的坐标和定值,若不存在,请说明理由.
19．双曲线的左、右焦点为、,右顶点为A.的圆心在x轴上,位于A的右侧,与双曲线C有且仅有一个公共点,
（1）求的最大半径为多少,及此时的方程;
（2）如图1,在（1）的条件下,过双曲线C上一点P作的切线,切点为Q,过P且垂直于x轴的直线与双曲线其中一条渐近线交于R,求的最小值:
（3）双曲线右支上一点N在右焦点的正上方,如图2,将双曲线的左支绕y轴翻折.使左右支所在的两个半平面所成的二面角大小为,若过N的直线m总与左支相交,以原双曲线所在坐标平面的O为原点,过O垂直于xOy平面方向为z轴建立空间直角坐标系,求直线m的一个方向向量.
参考答案
1．答案：D
解析：由题意可得,,则渐近线方程为.
故选:D.
2．答案：C
解析：.
故选:C.
3．答案：C
解析：当时,显然两直线不平行,
故由题意可知:,解得或-2,
当时,两直线皆为,重合,不符合题意,
故选:C.
4．答案：B
解析：由题,圆心到直线的距离等于半径,即,
故选:B.
5．答案：D
解析：设点M的坐标为,
由题意可知,即,
解得或;
所以点M的坐标为或.
故选:D
6．答案：A
解析：根据,可知,因此可得为常数;
即数列是以为首项,公差为的等差数列,
所以,即;
因此;
可知数列的前项和.
故选:A
7．答案：A
解析：如下图所示:
即,,,则,,,,,;
由结合棱台性质可知,,
又,再由重心性质可得,
因此,
即
.
故选:A.
8．答案：B
解析：易知抛物线的焦点,不在圆E上,
将圆变形为:
,,
即,,
,当且仅当P,Q,M三点共线时取等号;
设,则,当且仅当时取等号;
所以,故
所以的最小值为,
故选:B.
9．答案：ABD
解析：设等差数列的公差为d,因为,,所以,一正一负,
对于选项A,若,则,所以数列单调递减,故选项A正确,
对于选项B,若,则,所以,,得到,所以选项B正确,
对于选项C,若,则,所以,,故的最小值为,所以选项C错误,
对于选项D,由选项C知,,,所以,故选项D正确,
故选:ABD.
10．答案：BD
解析：如图,建立空间直角坐标系,
因为,,,,,
又O为的中点,则,
设,,又,
由,得到,
对于选项A,因为,,
又,所以,故选项A错误,
对于选项B,易知平面的一个法向量为,由选项A知,
由,得到,解得,
所以当N为中点时,面,所以选项B正确,
对于选项C,因为,,
则由,
整理得到,解得或（舍去）,
即存在1个N使与成角,所以选项C错误;
对于选项D,因为,
得,
当时,等号成立,所以选项D正确,
故选:BD.
11．答案：ABD
解析：由,得到,则焦点为,准线为,设,,
对于选项A,因为,中点为,所以中点到x轴的距离为,所以以为直径的圆与x轴相切,故选项A正确,
对于选项B,假设存在直线l使得A,B两点关于对称,
设,由,消y得到,即,
则,解得,又,,
则,解得,符合题意,所以选项B正确,
对于选项C,如图,过A,B分别作准线l的垂线,垂足分别为M,H,过中点作于K,
易知,
则线段的中点M到x轴距离为,所以选项C错误,
对于选项D,因为直线l过焦点,当时,设直线,
由,消x得到,则,
则,
即,
所以,
当且仅当,即取等号,
当时,直线,代入抛物线方程得,
此时,
综上,的最小值为,所以选项D正确,
故选:ABD.
12．答案：
解析：因为直线l的一个方向向量为,所以直线l的斜率为,
设直线l的倾斜角为,则,
所以,则,
故答案为:.
13．答案：20
解析：当时,,
因为数列为“速增数列”,
所以,且,
所以,即,,
当时,,当时,,
故正整数k的最大值为20,
故答案为:20.
14．答案：
解析：由题可知A,C关于原点对称,所以,,
又A,F在双曲线上,所以,,
则,,
所以,
即,
由,①
连接,可得,
可得,②
由①②联立可得,即,所以离心率.
故答案为:.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）如图,设圆C与x轴交于M,N两点,则,
过点C作于点Q,连接,则,,
,即圆C半径为3,
圆C标准方程为,化为一般方程为,
.
（2）如图,连接.
由题意得,,,与全等,
,
当取最小值时,四边形的面积有最小值,
的最小值为点C到直线的距离,即,
四边形的面积的最小值为.
16．答案：（1）,;
（2）
解析：（1）由题意可设的公比为q,又,且为递增的等比数列,可得;
由可得,解得或（舍）;
因此;
易知是首项为,公差为1的等差数列,
所以,即;
可得,;
两式相减可得,即,所以;
累乘可得,即;
又当时,满足,可得的通项公式为;
所以可得数列和的通项公式为,;
（2）易知,
所以
可得,
两式相减可得
;
所以.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）根据题意可知,,所以即为二面角的平面角,
当折成直二面角时,可得,
以O为坐标原点,直线,,分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如下图所示:
设正方形的边长为2,
则,,,,,
又E,F分别为,的中点,所以,;
可得,,
因此,所以;
可得直线与所成角的大小为;
（2）由（1）可知,当折成二面角的平面角为,即;
在平面内,过点作垂直于的直线作为z轴,以O为坐标原点,直线,分别为x,y轴建立空间直角坐标系,如下图所示:
则,,,,,
又E,F分别为,的中点,所以,;
可得,,,
设平面的一个法向量为,
则,取,则;
所以;
设直线与平面所成的角为,
可得;
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18．答案：（1）
（2）（i）或;
（ii）答案见解析
解析：（1）因为,所以,
所以点Q的轨迹是以,为焦点,长轴为4的椭圆,
又,,得到,,所以,
由题可知点Q的轨迹E的方程为.
（2）（i）由（1）知,,易知直线l的斜率不为0,设直线,,,
由,消x得到,
则,由韦达定理知,,
所以,整理得到,
解得或（舍去）,所以,
故直线的方程为或.
（ii）假设存在满足题意,
则,
所以,
即为定值,所以,解得,
当时,,当时,.
19．答案：（1）
（2）
（3）或（其它共线的非零向量也可以）
解析：（1）由题意及双曲线的对称性,
当半径最大时,公共点位于双曲线右顶点,
此时双曲线右支上任一点,
到圆心的最小距离恰好在顶点处取到,
由,
若的最小值在时取到,
则二次函数的对称轴,解得,
的半径.
当时,的最大半径为1,
此时的方程为.
（2）设,则,
因为以双曲线上,所以,
所以,
由题意,,
①点P位于第一象限时,
,,
故,设直线,
故可看作是双曲线上的点到直线l距离的2倍.
设平行于l的双曲线的切线为,
联立消y得,,
,解得.
此时距l较近的切线为,故两线距离为,
当且仅当,时取到.
所以;
②当点P位于第四象限时,由对称性可知,,
且,当且仅当,时取到.
的最小值为.
（3）注意到左半支双曲线旋转时,曲线上的任意一点绕作圆周运动,
轨迹是以为圆心,为半径的圆,
故可在空间直角坐标系中设旋转后的P点坐标为,
则,因为,
所以经过旋转后的点P坐标满足,
由题意,,设直线m的方向向量为,
则直线上任意点的坐标,,
若E总是在左支上,则,
化简得（）
同理,,也在左支上,代入化简得
（）
则由两式分别相加减得,与,
由式子对任意成立,
则,且,
令,则,.
故直线m的一个方向向量可以为或.