江苏省无锡市滨湖区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

这是一份江苏省无锡市滨湖区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．x2+2x+3＝x2B．y2+x+1＝0
C．x2﹣2＝0D．
2．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+2＝0，配方后得到的方程，正确的是（ ）
A．（x+4）2＝4B．（x﹣4）2＝4C．（x+2）2＝2D．（x﹣2）2＝2
3．（3分）下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．5cm，15cm，2cm，6cmB．4cm，6cm，3cm，5cm
C．1cm，2cm，3cm，4cmD．3cm，4cm，2cm，5cm
4．（3分）已知⊙O的直径为10cm，若线段OA的长为6cm，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点在圆上B．点在圆外C．点在圆内D．无法确定
5．（3分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CDB＝68°，则∠ABC度数为（ ）
A．22°B．30°C．32°D．68°
6．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．直径所对的角是直角
B．同弧所对的圆心角是圆周角的2倍
C．三点确定一个圆
D．相等的圆心角所对的弧相等
7．（3分）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（3，0）．以点O为位似中心，在第一象限内把△AOB按相似比2：1放大，得到△A′OB′，则A′，B′的坐标是（ ）
A．，B．（4，5），（5，0）
C．（4，6），（6，0）D．（6，9），（9，0）
8．（3分）如图，等边△ABC沿DE折叠，点A的对应点A′恰好落在BC上（端点除外）．下列结论，一定成立的是（ ）
A．AD＝BD
B．△BDA′∽△A′ED
C．
D．
9．（3分）如图，AB，CD相交于点E，点A，B，C，D都在格点上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，点D为BC的中点，连接AD，过点C作CE⊥AD，垂足为点E，线段CE的延长线交AB于点F，连接BE，DF．如下结论：①DB2＝DE•DA；②BE平分∠DEF；③；④S△BDF：S△AEF＝2：3．其中正确结论为（ ）
A．①③B．②③C．①②④D．①②③
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．（3分）在比例尺为1：36000的无锡旅游地图上，某条道路的长为10cm，则这条道路的实际长度为 km．
12．（3分）如果α、β是关于x的一元二次方程x2﹣4x+n＝0的两个实数根，那么α+β＝ ．
13．（3分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率相同，则这个百分率为 ．
14．（3分）学校报告厅舞台的宽AB为10m，小明作为新选任的主持人，想利用学过的黄金分割知识选持合适的位置站立，则他选择的位置离A点 m．（写出所有可能，精确到0.1m）
15．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠AOC＝150°，则∠B＝ ．
16．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，点O为△ABC的重心，连接OC，则OC＝ ．
17．（3分）如图，△ABC中，AB＝7，AC＝4，BC上的高AD＝3．则△ABC外接圆的半径长为 ．
18．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，BD，若∠CBD＝2∠CDB＝60°，则AC长度的最大值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）解方程：
（1）x2﹣3x﹣2＝0；
（2）（x+3）2＝x+3．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0（k为常数）．
（1）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根．
21．（10分）如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD＝∠C．
（1）求证：△ABD∽△ACB；
（2）若AB＝5，CD＝4，求AD的长．
22．（10分）如图，已知．
（1）在上求作点C，使与的长度比为1：3；（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接AB，若AB＝8，上的点到AB的大距离为2，求所在圆的半径长．（如果需要图形，请使用备用图）
23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E．
（1）若∠B＝28°，求的度数；
（2）若BE＝EC＝4，求AD的长．
24．（10分）某服装大卖场以每件60元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量m（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系为m＝300﹣3x．
（1）当每天的销售量为45件时，求销售这种服装的毛利润；
（2）如果商场想销售这种服装每天获得900元的毛利润，同时又考虑薄利多销，那么每件服装的销售价应定为多少元？
25．（10分）如图，平直的公路旁有一灯杆AB，在灯光下，小明在D处测得自己的影长DH＝2m，在F处测得自己的影长FG＝3m．小明身高1.5m．
（1）若测出BD＝a m，求灯杆AB的长；（用含a的代数式表示）
（2）若测出FH＝1m，求灯杆AB的长．
26．（10分）先阅读下列例题，再按要求解答问题：
例题：求代数式x2+4x+5的最小值．
解：x2+4x+5＝（x2+4x+4）+1＝（x+2）2+1．
∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．
∴x2+4x+5的最小值是1．
（1）求代数式﹣2x2+12x+15的最大值；
（2）某商场将进价为2000元的某品牌电视机以2500元售出，平均每天能售出8台．为了促销，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出2台．试问商场每天最多盈利多少元？
27．（10分）【探究活动】如图，BE是△ABC的中线，点D在BC上，BE交AD于点F．
（1）当时，求的值；
（2）当时，则＝ ；（用含n的代数式表示）
【解决问题】请利用探究活动的经验或结论解决问题：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE是△ABC的中线，点D在直线BC上，射线BE交AD于点F．若CD＝2，BD＝6，AC＝4时，求BF的值．
28．（10分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝3cm，动点P以1cm/s的速度沿着折线AB，BC运动到点C时停止．已知△PA′D与△PAD关于直线PD对称，连接AA′．设运动时间为t s．
（1）当点A′落在对角线BD上时，t＝ ；
（2）当点P在BC上运动时，点A，P，A′能否在同一条直线上？如果能，请求出t的值；如果不能，请说明理由，并求出△APA′的面积的最小值；
（3）连接BA′，若△ABA′是直角三角形，请直接写出t的值．
2024-2025学年江苏省无锡市滨湖区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．x2+2x+3＝x2B．y2+x+1＝0
C．x2﹣2＝0D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义，逐一分析各选项中的方程即可．
【解答】解：A．∵原方程可整理得2x+3＝0，未知数的最高次数是1，
∴方程x2+2x+3＝x2不是一元二次方程，选项A不符合题意；
B．∵方程y2+x+1＝0含有两个未知数，
∴方程y2+x+1＝0不是一元二次方程，选项B不符合题意；
C．方程x2﹣2＝0是一元二次方程，选项C符合题意；
D．∵方程x﹣＝0不是整式方程，
∴方程x﹣＝0不是一元二次方程，选项D不符合题意．
故选：C．
2．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+2＝0，配方后得到的方程，正确的是（ ）
A．（x+4）2＝4B．（x﹣4）2＝4C．（x+2）2＝2D．（x﹣2）2＝2
【答案】D
【分析】先将常数项移到等号右边，再在两边同时加上一次项系数一半的平方，最后根据完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2即可完成配方．
【解答】解：x2﹣4x+2＝0，
x2﹣4x＝﹣2，
x2﹣4x+4＝2，
（x﹣2）2＝2，
故选：D．
3．（3分）下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．5cm，15cm，2cm，6cmB．4cm，6cm，3cm，5cm
C．1cm，2cm，3cm，4cmD．3cm，4cm，2cm，5cm
【答案】A
【分析】根据成比例线段的定义逐项判断即可．
【解答】解：A、∵5：15＝2：6，∴这一组线段成比例．
B、∵4：6≠3：5，∴这一组线段不成比例．
C、∵1：2≠3：4，∴这一组线段不成比例．
D、∵3：4≠2：5，∴这一组线段不成比例．
故选：A．
4．（3分）已知⊙O的直径为10cm，若线段OA的长为6cm，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点在圆上B．点在圆外C．点在圆内D．无法确定
【答案】B
【分析】先求出⊙O的半径，再根据点与圆的位置关系即可求解．
【解答】解：∵⊙O的直径为10cm，
∴⊙O的半径为5cm，
∵OA＝6cm＞5cm，
∴点A在⊙O外．
故选：B．
5．（3分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CDB＝68°，则∠ABC度数为（ ）
A．22°B．30°C．32°D．68°
【答案】A
【分析】根据圆周角定理得到∠BAC的度数，再由AB是⊙O的直径得到∠ACB的度数，从而计算∠ABC的度数即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CDB＝68°，
∴∠BAC＝68°，
∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝22°．
故选：A．
6．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．直径所对的角是直角
B．同弧所对的圆心角是圆周角的2倍
C．三点确定一个圆
D．相等的圆心角所对的弧相等
【答案】B
【分析】根据圆周角定理、确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系判断即可．
【解答】解：A、直径所对的圆周角是直角，故本选项说法错误，不符合题意；
B、同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，说法正确，符合题意；
C、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项说法错误，不符合题意；
D、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
7．（3分）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（3，0）．以点O为位似中心，在第一象限内把△AOB按相似比2：1放大，得到△A′OB′，则A′，B′的坐标是（ ）
A．，B．（4，5），（5，0）
C．（4，6），（6，0）D．（6，9），（9，0）
【答案】C
【分析】根据关于以原点为位似中心的对称点的坐标特征，把点A、B的横纵坐标都乘以2得到点A′，B′的坐标．
【解答】解：∵以点O为位似中心，在第一象限内把△AOB按相似比2：1放大，得到△A′OB′，而点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（3，0），
∴点A′的坐标为（2×2，2×3），点B′的坐标为（3×2，0×2），即点A′的坐标为（4，6），点B′的坐标为（6，0），
故选：C．
8．（3分）如图，等边△ABC沿DE折叠，点A的对应点A′恰好落在BC上（端点除外）．下列结论，一定成立的是（ ）
A．AD＝BD
B．△BDA′∽△A′ED
C．
D．
【答案】D
【分析】根据等边三角形的性质得到∠A＝∠B＝∠C＝60°，由折叠的性质得到∠ADE＝∠A′DE，AD＝A′D，得到AD不一定等于BD，故A不符合题意；推出∠BDA′＝∠CA′E，根据相似三角形的判定定理得到△BDA′∽△CA′E，故B不符合题意；根据相似三角形的性质得到＝，故C不符合题意，根据相似三角形的性质得到△BDA′的周长：△CA′E的周长＝DA′：A′E，故D符合题意．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
由折叠的性质可得：∠ADE＝∠A′DE，AD＝A′D，
∵点A的对应点A′恰好落在BC上（端点除外），
∴AD不一定等于BD，故A不符合题意；
∵∠B＝∠DA′E＝∠C＝60°，
∴∠BDA′+∠BA′D＝∠BA′D+∠CA′E＝120°，
∴∠BDA′＝∠CA′E，
∴△BDA′∽△CA′E，故B不符合题意；
∴＝，故C不符合题意，
∴△BDA′的周长：△CA′E的周长＝DA′：A′E，故D符合题意；
故选：D．
9．（3分）如图，AB，CD相交于点E，点A，B，C，D都在格点上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】延长CD到F点使DF＝CD，DF与格线交于点G，连接AC、BG，利用网格特征得到AC＝3，BG＝2.5，再证明△ACE∽△BGE，然后根据相似三角形的性质求解．
【解答】解：延长CD到F点使DF＝CD，DF与格线交于点G，连接AC、BG，
则AC＝3，BG＝2.5，
∵AC∥BG，
∴△ACE∽△BGE，
∴＝＝＝．
故选：C．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，点D为BC的中点，连接AD，过点C作CE⊥AD，垂足为点E，线段CE的延长线交AB于点F，连接BE，DF．如下结论：①DB2＝DE•DA；②BE平分∠DEF；③；④S△BDF：S△AEF＝2：3．其中正确结论为（ ）
A．①③B．②③C．①②④D．①②③
【答案】D
【分析】①证明△DCE和△DAC相似得CD2＝DE•DA，再根据点D为BC的中点即可对结论①进行判断；
②证明△DBE和△DAB相似得∠DEB＝∠ABC＝45°，再根据CE⊥AD即可对结论②进行判断；
③过点E作EH⊥BC于H，FK⊥BC于K，先求出CD＝BD＝，DA＝，DE＝，AE＝，证明△DEH和△DAC相似得EH＝，DH＝，CH＝，再证明△BFK是等腰直角三角形，设BK＝FK＝a，则CK＝1﹣a，BF＝，然后证明△CEH和△CFK相似得a＝，由此可对结论③进行判断；
④根据FK＝a＝得S△BDF＝，再利用三角形的面积公式求出CE＝，根据△CEH和△CFK相似得CF＝，则EF＝CF﹣CE＝，由此得S△AEF＝，进而可对结论结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：①∵∠ACB＝90°，CE⊥AD，
∴∠DEC＝∠ACB＝90°，
又∵∠CDE＝∠ADC，
∴△DCE∽△DAC，
∴CD：DA＝DE：CD，
∴CD2＝DE•DA，
∵点D为BC的中点，
∴CD＝DB，
∴DB2＝DE•DA，
故结论①正确；
②∵DB2＝DE•DA，
∴DB：DA＝DE：DB，
又∵∠BDE＝∠ADB，
∴△DBE∽△DAB，
∴∠DEB＝∠ABC，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，
∴∠DEB＝∠ABC＝45°，
∵CE⊥AD，
∴∠DEF＝90°，
∴∠FEB＝∠DEF﹣∠DEB＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FEB＝∠DEB＝45°，
∴BE平分∠DEF，
故结论②正确；
③过点E作EH⊥BC于H，FK⊥BC于K，如图所示：
则EH∥FK，
∵AC＝BC＝1，点D为BC的中点，
∴CD＝BD＝，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：DA＝，
∴CD2＝DE•DA，
∴，
∴DE＝，
∴AE＝DA﹣DE＝，
∵EH⊥BC，∠ACB＝90°，
∴EH∥AC，
∴△DEH∽△DAC，
∴EH：AC＝DH：CD＝DE：DA，
∴，
∴EH＝，DH＝，
∴CH＝CD﹣DH＝＝，
∵∠ABC＝45°，FK⊥BC，
∴△BFK是等腰直角三角形，
∴设BK＝FK＝a，则CK＝BC﹣BK＝1﹣a，
由勾股定理得：BF＝，
∵EH∥FK，
∴△CEH∽△CFK，
∴EH：FK＝CH：CK，
∴，
∴a＝，
∴BF＝＝，
故结论③正确；
④∵FK＝a＝，
∴S△BDF＝BD•FK＝，
∵S△ACD＝DA•CE＝AC•CD，
∴，
∴CE＝，
∵△CEH∽△CFK，
∴CE：CF＝EH：FK，
∴√，
∴CF＝，
∴EF＝CF﹣CE＝，
∴S△AEF＝AE•EF＝，
∴S△BDF：S△AEF＝＝5：8，
故结论④不正确．
综上所述：正确的结论是①②③．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．（3分）在比例尺为1：36000的无锡旅游地图上，某条道路的长为10cm，则这条道路的实际长度为 3.6 km．
【答案】3.6．
【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺．代值计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：10÷＝360000（cm），
360000cm＝3.6km．
故答案为：3.6．
12．（3分）如果α、β是关于x的一元二次方程x2﹣4x+n＝0的两个实数根，那么α+β＝ 4 ．
【答案】4．
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
【解答】解：根据根与系数的关系得α+β＝4．
故答案为：4．
13．（3分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率相同，则这个百分率为 10% ．
【答案】见试题解答内容
【分析】此题可设降价的百分率为x，则第一次降价后的单价是原来的（1﹣x），第二次降价后的单价是原来的（1﹣x）2，根据题意列方程解答即可．
【解答】解：降价的百分率为x，根据题意列方程得
100×（1﹣x）2＝81
解得x1＝0.1，x2＝1.9（不符合题意，舍去）．
所以降价的百分率为0.1，即10%．
故答案为：10%．
14．（3分）学校报告厅舞台的宽AB为10m，小明作为新选任的主持人，想利用学过的黄金分割知识选持合适的位置站立，则他选择的位置离A点 6.2或3.8 m．（写出所有可能，精确到0.1m）
【答案】6.2或3.8．
【分析】设他选择的位置离A点x m，则离B点（10﹣x）m，然后根据黄金分割的定义可得：≈0.618或≈0.618，从而进行计算即可解答．
【解答】解：设他选择的位置离A点x m，则离B点（10﹣x）m，
由题意得：≈0.618或≈0.618，
解得：x＝6.18≈6.2或x＝3.82≈3.8，
∴他选择的位置离A点6.2或3.8m，
故答案为：6.2或3.8．
15．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠AOC＝150°，则∠B＝ 105° ．
【答案】105°．
【分析】根据圆周角定理求出∠D，再根据圆内接四边形的性质求出∠B．
【解答】解：由圆周角定理得：∠D＝∠AOC＝×150°＝75°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣75°＝105°，
故答案为：105°．
16．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，点O为△ABC的重心，连接OC，则OC＝ 2 ．
【答案】2．
【分析】延长CO交AB于D，由三角形重心的性质得到CD是△ACB的中线，OC＝CD，由直角三角形斜边中线的性质得到CD＝AB＝3，即可求出OC的长．
【解答】解：如图，延长CO交AB于D，
∵点O为△ABC的重心，
∴CD是△ACB的中线，OC＝CD，
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝AB＝×6＝3，
∴OC＝CD＝2．
故答案为：2．
17．（3分）如图，△ABC中，AB＝7，AC＝4，BC上的高AD＝3．则△ABC外接圆的半径长为 ．
【答案】．
【分析】作△ABC的外接圆，设圆心为O，过点A作直径AD交⊙O于D，连接CD，则∠B＝∠D，∠ACD＝90°，在Rt△ABD中，sinB＝，则sinD＝sinB＝，在Rt△ACD中，sinD＝＝，由此得AD＝，进而可得△ABC外接圆的半径．
【解答】解：作△ABC的外接圆，设圆心为O，过点A作直径AD交⊙O于D，连接CD，如图所示：
则∠B＝∠D，∠ACD＝90°，
∵AD是△ABC的高，
∴在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝7，
∴sinB＝，
∴sinD＝sinB＝，
在Rt△ACD中，AC＝4，sinD＝＝
∴，
∴AD＝，
∴OA＝OD＝AD＝．
即△ABC外接圆的半径长为．
故答案为：．
18．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，BD，若∠CBD＝2∠CDB＝60°，则AC长度的最大值为 +2 ．
【答案】+2．
【分析】以B为顶点，在BA下方作∠ABH＝60°，过A作AH⊥BH于H，证明△BCH∽△BDA，可得＝＝，求出CH＝2，从而可得AC≤+2，AC长度的最大值为+2．
【解答】解：以B为顶点，在BA下方作∠ABH＝60°，过A作AH⊥BH于H，如图：
∴∠BAH＝30°，
∴BH＝AB＝，AH＝BH＝，
∵∠CBD＝2∠CDB＝60°，
∴∠CDB＝30°，∠BCD＝90°，
∴BC＝BD，∠CBH＝60°﹣∠DBH＝∠ABD，
∴＝＝，
∴△BCH∽△BDA，
∴＝＝，
∵AD＝4，
∴CH＝2，
∵AC≤AH+CH，
∴AC≤+2，
∴AC长度的最大值为+2，
故答案为：+2．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）解方程：
（1）x2﹣3x﹣2＝0；
（2）（x+3）2＝x+3．
【答案】（1）x1＝，x2＝．
（2）x1＝﹣3，x2＝﹣2．
【分析】（1）利用公式法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣3x﹣2＝0，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝9+8＝17＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
（2）（x+3）2＝x+3，
（x+3）2﹣（x+3）＝0，
（x+3）（x+3﹣1）＝0，
∴x+3＝0或x+2＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝﹣2．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0（k为常数）．
（1）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）证明Δ＞0，可得结论；
（2）根据方程解的定义求出k的值，再求出方程的根可得结论．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4（2k﹣1）\
＝k2+4k+4﹣8k+4
＝k2﹣4k+4+4
＝（k﹣2）2+4，
∵（k﹣2）2≥0，
∴Δ＞0，
∴该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程的一个根为3，
∴9﹣3（k+2）+2k﹣1＝0，
∴k＝2，
∴方程为x2﹣4x+3＝0，
∴x1＝3，x1＝1，
∴另一个根为1，k＝2．
21．（10分）如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD＝∠C．
（1）求证：△ABD∽△ACB；
（2）若AB＝5，CD＝4，求AD的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2），
【分析】（1）根据∠ABD＝∠C，∠BAD＝∠CAB即可得出结论；
（2）设AD＝x，AC＝AD+CD＝x+4，根据△ABD和△ACB相似得AB：AC＝AD：AB，将AB＝5，AD＝x，AC＝x+4代入比例式整理得x2+4x﹣25＝0，由此解出x即可得AD的长．
【解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠C，∠BAD＝∠CAB，
∴△ABD∽△ACB；
（2）设AD＝x，
∵AB＝5，CD＝4，
∴AC＝AD+CD＝x+4，
∵△ABD∽△ACB，
∴AB：AC＝AD：AB，
∴AB2＝AD•AC，
∴52＝x（x+4），
整理得：x2+4x﹣25＝0，
解得：x＝，x＝（不合题意，舍去），
∴AD＝x＝．
22．（10分）如图，已知．
（1）在上求作点C，使与的长度比为1：3；（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接AB，若AB＝8，上的点到AB的大距离为2，求所在圆的半径长．（如果需要图形，请使用备用图）
【答案】（1）见解析；
（2）5．
【分析】（1）连接AB作线段AB的垂直平分线交于点D，连接AD，作线段AD的垂直平分线交于点C，点C即为所求；
（2）如图2中，设圆心为O，半径OC⊥AB于点D，设OA＝OC＝r，利用勾股定理构建方程求解．
【解答】解：（1）如图1中，点C即为所求；
（2）如图2中，设圆心为O，半径OC⊥AB于点D，设OA＝OC＝r，
∵OC⊥AB，
∴AD＝DB＝4，
在Rt△ADO中，r2＝42+（r﹣2）2，
解得r＝5．
∴所在圆的半径为5．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E．
（1）若∠B＝28°，求的度数；
（2）若BE＝EC＝4，求AD的长．
【答案】（1）34°；
（2）．
【分析】（1）连接CD，求出∠A的度数，根据等腰三角形的性质求出∠ADC的度数，再由三角形外角的性质计算∠BCD的度数即可；
（2）延长BC交圆C于点F，在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB；设AD＝x，用x将BD表示出来，根据切割线定理列方程并求解即可．
【解答】解：（1）如图，连接CD．
∵∠C＝90°，∠B＝28°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝62°，
∵CA＝CD，
∴∠ADC＝∠A＝62°，
∴∠BCD＝∠ADC﹣∠B＝62°﹣28°＝34°，
∴的度数是34°．
（2）延长BC交圆C于点F．
∵BE＝EC＝4，
∴BC＝BE+EC＝8，CF＝AC＝EC＝4，
∴BF＝BC+CF＝12，
在Rt△ABC中利用勾股定理，得AB＝＝＝4，
设AD＝x，则BD＝AB﹣AD＝4﹣x，
根据切割线定理，得BD•AB＝BE•BF，
∴4（4﹣x）＝4×12，
∴x＝，
∴AD的长为．
24．（10分）某服装大卖场以每件60元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量m（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系为m＝300﹣3x．
（1）当每天的销售量为45件时，求销售这种服装的毛利润；
（2）如果商场想销售这种服装每天获得900元的毛利润，同时又考虑薄利多销，那么每件服装的销售价应定为多少元？
【答案】（1）1125元；
（2）每件服装的销售价应定为70元．
【分析】（1）根据m＝300﹣3x求出x的值，即可解决问题；
（2）设每件服装的销售价应定为x元，根据商场想销售这种服装每天获得900元的毛利润，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：（1）当m＝45时，45＝300﹣3x，
解得：x＝85，
∴45×（85﹣60）＝1125（元），
答：当每天的销售量为45件时，销售这种服装的毛利润为1125元；
（2）设每件服装的销售价应定为x元，
由题意得：（x﹣60）（300﹣3x）＝900，
整理得：x2﹣160x+6300＝0，
解得：x1＝70，x2＝90，（不符合题意，舍去），
答：每件服装的销售价应定为70元．
25．（10分）如图，平直的公路旁有一灯杆AB，在灯光下，小明在D处测得自己的影长DH＝2m，在F处测得自己的影长FG＝3m．小明身高1.5m．
（1）若测出BD＝a m，求灯杆AB的长；（用含a的代数式表示）
（2）若测出FH＝1m，求灯杆AB的长．
【答案】（1）（a+）m；
（2）6m．
【分析】（1）判定△ABH∽△CDH，推出＝，得到＝，求出AB＝（a+）m；
（2）判定△GEF∽△GAB，推出＝，判定△HCD∽△HAB，推出＝，而CD＝EF，得到＝，求出BH＝8，得到＝，求出AB＝6m．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴△ABH∽△CDH，
∴＝，
∵CD＝1.5m，DH＝2m，BD＝a m，
∴＝，
∴AB＝（a+）m；
（2）∵EF∥AB，
∴△GEF∽△GAB，
∴＝，
∵CD∥AB，
∴△HCD∽△HAB，
∴＝，
∵CD＝EF，
∴＝，
∴＝，
∴BH＝8，
∴＝，
∴AB＝6m．
26．（10分）先阅读下列例题，再按要求解答问题：
例题：求代数式x2+4x+5的最小值．
解：x2+4x+5＝（x2+4x+4）+1＝（x+2）2+1．
∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．
∴x2+4x+5的最小值是1．
（1）求代数式﹣2x2+12x+15的最大值；
（2）某商场将进价为2000元的某品牌电视机以2500元售出，平均每天能售出8台．为了促销，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出2台．试问商场每天最多盈利多少元？
【答案】（1）代数式﹣2x2+12x+15的最大值为33；
（2）商场每天最多盈利4900元．
【分析】（1）由﹣2x2+12x+15＝﹣2（x﹣3）2+33≤33，即可求解；
（2）设降低x元时，盈利w最大，由题意得：w＝（2500﹣200﹣x）（8+x）＝﹣（x﹣150）2+4900≤4900，即可求解．
【解答】解：（1）﹣2x2+12x+15＝﹣2（x﹣3）2+33≤33，
即代数式﹣2x2+12x+15的最大值为33；
（2）设降低x元时，盈利w最大，
由题意得：w＝（2500﹣200﹣x）（8+x）＝﹣（x﹣150）2+4900≤4900（元），
故商场每天最多盈利4900元．
27．（10分）【探究活动】如图，BE是△ABC的中线，点D在BC上，BE交AD于点F．
（1）当时，求的值；
（2）当时，则＝ ；（用含n的代数式表示）
【解决问题】请利用探究活动的经验或结论解决问题：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE是△ABC的中线，点D在直线BC上，射线BE交AD于点F．若CD＝2，BD＝6，AC＝4时，求BF的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）BF的值为或．
【分析】（1）过点D作DG∥AC交BE于点G，利用△AFE∽△DFG，△BDG∽△BCD，得到＝＝，即可得解；
（2）同（1）思路一样；
【解决问题】由射线BE交AD于点F可知，点D有可能在线段BC上，有可能在线段BC延长线上，所以分两种情况讨论，再利用前述结论得出，然后构造直角三角形，利用相似求出直角边长，再结合勾股定理求出BF的长即可．
【解答】解：（1）如图，过点D作DG∥AC交BE于点G，
则∠ADG＝∠DAC，∠BGD＝∠BEC，
∵∠AFE＝∠DFG，
∴△AFE∽△DFG，
∴，
∵∠DBG＝∠CBE，
∴△BDG∽△BCD，
∴，
∵＝，
∴，
∴＝，
∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴，
∴＝，
（2）如图，过点D作DG∥AC交BE于点G，
同（1）中方法可知＝＝，
∵，
∴，
∴＝，
故答案为：；
【解决问题】分两种情况，
①当点D在线段BC上时，如图所示，
∵BD＝6，CD＝2，
∴＝，
由前述结论可知＝，
∴，
过F作FH⊥BC于点H，则∠BHF＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠BHF，
∵∠FDH＝∠ADC，
∴△FDH∽△ADC，
∴＝＝＝，
∴DH＝，FH＝，
∴BH＝BD+DH＝，
在Rt△BFH中，BF＝＝；
②当点D在线段BC延长线上时，如图所示，
同（1）中方法，可求得＝，
∴＝，
过F作FH⊥BC于点H，则∠BHF＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠BHF，
∵∠FDH＝∠ADC，
∴△FDH∽△ADC，
∴＝＝＝，
∴，FH＝，
∴BH＝BD﹣DH＝，
在Rt△BFH中，BF＝＝．
综上，BF的值为或．
28．（10分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝3cm，动点P以1cm/s的速度沿着折线AB，BC运动到点C时停止．已知△PA′D与△PAD关于直线PD对称，连接AA′．设运动时间为t s．
（1）当点A′落在对角线BD上时，t＝ ；
（2）当点P在BC上运动时，点A，P，A′能否在同一条直线上？如果能，请求出t的值；如果不能，请说明理由，并求出△APA′的面积的最小值；
（3）连接BA′，若△ABA′是直角三角形，请直接写出t的值．
【答案】（1）；
（2）S△APA′的最大值＝4cm2；（3）t的值为或或7．
【分析】（1）连接BD，利用勾股定理可得BD＝5cm，由题意得PA＝t cm，则PB＝（3﹣t）cm，再运用勾股定理建立方程求解即可得出答案；
（2）由对称得AA′⊥DP，AE＝A′E，进而推出S△APA′＝2S△APE，当S△APA′最小时，S△APE最小，S△ADE＝6﹣S△APE为最大值，当∠DAE＝45°时，S△ADE最大，过点E作EF⊥AD于点F，则F为AD的中点，运用三角形面积公式即可求得答案；
（3）分三种情况：当∠AA′B＝90°时，当∠ABA′＝90°时，当∠BAA′＝90°时，分别利用相似三角形的判定和性质即可求得答案．
【解答】解：（1）如图1，连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，AD＝4cm，AB＝3cm，
∴∠BAD＝90°，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝5（cm），
由题意得PA＝t cm，
∴PB＝（3﹣t）cm，
∵△PA′D与△PAD关于直线PD对称，且点A′落在对角线BD上，
∴DA′＝AD＝4cm，PA′＝PA＝t cm，∠DA′P＝∠DAP＝90°，
∴A′B＝BD﹣DA′＝5﹣4＝1（cm），
∵∠PA′B＝180°﹣∠DA′P＝90°，
∴PA′2+A′B2＝PB2，即t2+12＝（3﹣t）2，
解得：t＝，
故答案为：；
（2）∵△PA′D与△PAD关于直线PD对称，
∴AA′⊥DP，AE＝A′E，
∴∠AED＝90°，
∴S△APA′＝2S△APE，
当S△APA′最小时，S△APE最小，
∵S△APD＝S矩形ABCD＝×4×3＝6，
∴S△ADE＝6﹣S△APE为最大值，
∵AD＝4cm，
∴当∠DAE＝45°时，S△ADE最大，
如图2，过点E作EF⊥AD于点F，
则F为AD的中点，
∴EF＝AD＝2（cm），
∴S△ADE＝AD•EF＝×4×2＝4（cm2），
∴S△APE＝6﹣4＝2（cm2），
∴S△APA′的最大值＝4cm2；
（3）连接A′B，如图3，
当∠AA′B＝90°时，
则∠AA′B＝∠AEP＝90°，
∴DP∥A′B，
∴△APE∽△ABA′，
∴＝＝，
∴AP＝AB＝cm，
∴t＝；
当∠ABA′＝90°时，如图4，
由题意得：A′P＝AP＝t cm，PB＝（3﹣t）cm，
∵∠AED＝∠DAB＝∠B＝90°，
∴∠ADP+∠DAE＝∠DAE+∠BAA′＝90°，
∴∠ADP＝∠BAA′，
∴△ADP∽△BAA′，
∴＝，即＝，
∴A′B＝t，
∵PB2+A′B2＝A′P2，
∴（3﹣t）2+（t）2＝t2，
解得：t＝或t＝（舍去）；
当∠BAA′＝90°时，如图5，
∵A、A′关于DP对称，
∴点P与点C重合，
∴t＝7；
综上所述，当△ABA′是直角三角形时，t的值为或或7．