2023-2024学年江苏省无锡市滨湖区九年级（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年江苏省无锡市滨湖区九年级（上）期末数学试卷（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.方程x2=x的根是( )
A. x=0B. x=1C. x=0 或x=1D. x=0 或x=−1
2.若方程(x−4)2=a有实数解，则a的取值范围是( )
A. a≤0B. a≥0C. a>0D. a<0
3.若直线l与半径为6的⊙O相交，则圆心O到直线l的距离d为( )
A. d<6B. d=6C. d>6D. d≤6
4.在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如表格：
如果要去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是( )
A. 平均数B. 众数C. 方差D. 中位数
5.若要得到函数y=(x+1)2+2的图象，只需将函数y=x2的图象( )
A. 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
B. 先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
C. 先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
D. 先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
6.抛物线y=−2(x−1)2−3与y轴的交点纵坐标为( )
A. −3B. −4C. −5D. −1
7.用半径为5的半圆围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径等于( )
A. 3B. 5C. 32D. 52
8.若等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BOC=100°，则△ABC底角的度数为( )
A. 65°B. 25°C. 65°或 25°D. 65°或 30°
9.如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，则DE的长等于( )
A. 203B. 154
C. 163D. 174
10.如图，直线y=12x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，P是该直线上的任一点，过点D(3,0)向以P为圆心，12AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，则四边形PEDF面积的最小值为( )
A. 54 3B. 5C. 2 5D. 52 3
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.若3是方程x2−2x+c=0的一个根，则c的值为______．
12.若ab=35，则a+bb=______．
13.抛物线y=x2−2x−5的顶点坐标是______．
14.如图，交警统计了某个时段在一个路口来往车辆的车速(单位：千米/时)情况，则该时段内来往车辆的平均速度是______千米/时．
15.如图，⊙O的半径是3，点A、B、C在⊙O上，若∠ACB=40°，则弧AB的长为______．
16.半径相等的圆内接正三角形与正方形的边长之比为______．
17.如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC=65°，则∠ACD=______°.
18.记抛物线C1：y=(x−2)2+3的顶点为A，抛物线C2：y=ax2+1(a<0)顶点是点B，且与x轴的正半轴交于点 C.当△ABC是直角三角形时，抛物线C2的解析式为______．
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
(1)计算： 8−|− 2|+(−12)0；
(2)解方程：x2−4x+1=0．
20.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形，点A、B、C都是格点(每个小方格的顶点叫格点)，其中A(5,6)，B(3,6)，C(2,7)．
(1)已知△ABC与△DEF(点D、E、F都是格点)成位似图形，则位似中心M的坐标是______；
(2)△ABC外接圆半径是______；
(3)请在网格图中画一个格点△A1B1C1，使△A1B1C1∽△DEF，且相似比为1：2．
21.(本小题8分)
近年来网约车十分流行，初三某班学生对“美团”和“滴滴”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入(单位：千元)如图所示：
根据以上信息，整理分析数据如下：
(1)完成表格填空；
(2)若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由．
22.(本小题8分)
甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛．他们通过摸球的方式决定首场比赛的两个选手：在一个不透明的口袋中放入两个红球和一个白球，这些球除颜色外其他都相同，将它们搅匀，三人从中各摸出一个球，摸到红球的两人即为首场比赛选手．求甲、丙两人成为比赛选手的概率．(请用画树状图或列表等方法写出分析过程并给出结果．)
23.(本小题8分)
如图，已知AB/​/CD，AC与BD相交于点E，∠ABE=∠ACB．
(1)求证：△ABE∽△ACB；
(2)如果AB=6，AE=4，求CD的长．
24.(本小题8分)
如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，AD=DB，AC与BD交于点E，且AE=BC．
(1)求证：AB=CB；
(2)如图2，△ABC绕点C逆时针旋转35°得到△FGC，点A经过的路径为弧AF，若AC=4，求图中阴影部分的面积．
25.(本小题8分)
已知在四边形ABCD中，P是CD边上一点，且△ADP∽△PCB.分别在图①和图②中用直尺和圆规作出所有满足条件的点P.(保留作图痕迹，不写作法)
(1)如图①，四边形ABCD是矩形；
(2)如图②，在四边形ABCD中，∠D=∠C=45°．
26.(本小题8分)
某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
(1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
(3)商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：
方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；
方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
27.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，已知AB=6，BC=8，动点P从点D出发，沿DA的方向运动到点A，每秒1个单位，同时点Q从点B出发，沿BD的方向运动到点D，每秒5个单位．当某一个点到达终点时，整个运动就停止．设运动时间为t(秒)．
(1)填空：当t=______时，PQ//AB；
(2)设△PCQ的面积为S，求S关于t的函数表达式；
(3)当直线CQ与以点P为圆心，PQ为半径的圆相切时，求t的值．
28.(本小题8分)
如图，直线y=12x+2分别与x轴、y轴交于C、D两点，二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点D，与直线相交于点E，且CD：DE=4：3．
(1)求点E的坐标和二次函数表达式；
(2)过点D的直线交x轴于点M．
①当DM与x轴的夹角等于2∠DCO时，请直接写出点M的坐标；
②当DM⊥CD时，过抛物线上一动点P(不与点D、E重合)，作DM的平行线交直线CD于点Q，若以D、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标．
参考答案
1.C
2.B
3.A
4.D
5.B
6.C
7.D
8.C
9.B
10.A
11.−3
12.85
13.(1,−6)
14.60
15.43π
16. 3： 2
17.40
18.y=−x2+1或y=−125x2+1
19.解：(1)原式=2 2− 2+1
= 2+1；
(2)x2−4x+1=0，
x2−4x=−1，
x2−4x+4=−1+4，
即(x−2)2=3．
∴x−2=± 3，
∴x1=2+ 3，x2=2− 3．
20.解：(1)(3,10)；
(2) 5；
(3)△A1B1C1如图所示．

21.解：(1)①6；②4.5；③7.6；
(2)选美团，因为平均数一样，中位数、众数美团大于滴滴，且美团方差小，更稳定．
22.解：画树状图为：
由树状图知，共有6种等可能的结果数，其中甲、丙两人成为比赛选手的结果有2种，
所以甲、丙两人成为比赛选手的概率为26=13．
23.证明：(1)∵∠ABE=∠ACB，∠A=∠A，
∴△ABE∽△ACB；
(2)∵△ABE∽△ACB，
∴ABAC=AEAB，即6AC=46，
解得AC=9．
∴CE=9−AE=5．
∵AB/​/CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴ABCD=AECE，即6CD=45，
解得CD=152．
24.(1)证明：∵AD=BD，∠DAE=∠DBC，AE=BC，
∴△ADE≌△BDC(SAS)，
∴∠ADE=∠BDC，
∴AB=BC．
∴AB=BC．
(2)解：S阴=S扇形CAF+S△CFG−S△ABC=S扇形CAF=35⋅π⋅42360=14π9．
25.解：(1)如图①中，点P，点P′即为所求．
(2)如图②点P，点P′即为所求．

26.解：(1)由题意得，销售量=250−10(x−25)=−10x+500，
则w=(x−20)(−10x+500)
=−10x2+700x−10000；
(2)w=−10x2+700x−10000
=−10(x−35)2+2250，
所以，当x=35时，w有最大值2250，
即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大；
(3)方案A：由题可得20因为a=−10<0，对称轴为x=35，
抛物线开口向下，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，
所以，当x=30时，w取最大值为2000元，
方案B：由题意得x≥45250−10(x−25)≥10,
解得：45≤x≤49，
在对称轴右侧，w随x的增大而减小，
所以，当x=45时，w取最大值为1250元，
因为2000元>1250元，
所以选择方案A．
27.解：(1)85；
(2)如图2，过点Q作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N，
则MN//AB，
∴△DMQ∽△DAB，
∴MQAB=DQDB=DMDA，
根据矩形ABCD中，AB=6，BC=8，可得BD=10，
所以MQ6=10−5t10=MD8，
∴MQ=6−3t，MD=NC=8−4t，
∴NQ=3t，MP=MD−PD=8−5t，
∴S△PQC=S梯形MNCP−S△PMQ−S△QNC
=12(8−5t+8−4t)×6−12(8−5t)(6−3t)−12(8−4t)⋅3t
=−32t2−12t+24，
∴S关于t的函数表达式为：S=−32t2−12t+24；
(3)如图3，
当直线CQ与以点P为圆心，PQ为半径的圆相切时，
PQ⊥CQ，
由(2)知，∠QMP=90°，∠QNC=90°，
MQ=6−3t，MD=NC=8−4t，
NQ=3t，MP=MD−PD=8−5t，
∴在Rt△MPQ中，
PQ2=MP2+MQ2=(8−5t)2+(6−3t)2，
在Rt△QCN中，
QC2=QN2+NC2=(3t)2+(8−4t)2，
在Rt△PDC中，
PC2=PD2+DC2=t2+62，
在Rt△PQC中，
PQ2+CQ2=PC2，
∴(8−5t)2+(6−3t)2+(3t)2+(8−4t)2=t2+62，
解得：t1=3229，t2=2，
∴当直线CQ与以点P为圆心，PQ为半径的圆相切时，t的值为3229或2．
28.解：(1)当y=0时，12x+2=0，
解得：x=−4，
∴点C的坐标为(−4,0)．
过点D作直线DF/​/x轴，过点E作EF//y轴，交直线DF于点D，如图1所示．
∵DF//x轴，EF//y轴，
∴∠OCD=∠FDE，∠ODC=∠FED，
∴△OCD∽△FDE，
∴OCFD=CDDE=43，
∴FD=3．
当x=3时，y=12x+2=72，
∴点E的坐标为(3,72).
当x=0时，y=12x+2=2，
∴点D的坐标为(0,2)．
将D(0,2)，E(3,72)代入y=−x2+bx+c，得：
c=2−9+3b+c=72，解得：b=72c=2，
∴二次函数表达式为y=−x2+72x+2．
(2)①分两种情况考虑，如图2所示．
(ii)当点M在x轴负半轴时，∵∠DM1O=2∠DCO，
∴∠M1CD=∠M1DC，
∴M1C=M1D.
设OM1=x，则CM1=DM1=4−x．
在Rt△ODM1中，OM1=x，OD=2，DM1=4−x，
∴(4−x)2=22+x2，
解得：x=32，
∴点M1的坐标为(−32,0)；
(ii)当点M在x轴正半轴时，∵∠DM1O=∠DM2O=2∠DCO，
∴M1O=M2O，
∴点M2的坐标为(32,0)．
综上所述：当DM与x轴的夹角等于2∠DCO时，点M的坐标为(−32,0)或(32,0)．
②∵DM⊥CD，
∴∠CDO+∠DCO=∠CDO+∠MDO=90°，
∴∠MDO=∠DCO，
∴OMOD=ODOC，即OM2=24，
∴OM=1，
∴点M的坐标为(1,0)．
设点P的坐标为(x,−x2+72x+2)．
分两种情况考虑，如图3所示．
(i)当点P在直线CD下方时，
∵点D的坐标为(0,2)，点M的坐标为(1,0)，且四边形DMPQ为平行四边形，
∴点Q的坐标为(x−1,−x2+72x+4)．
又∵点Q在直线CD上，
∴−x2+72x+4=12(x−1)+2，
整理，得：2x2−6x−5=0，
解得：x1=3− 192，x2=3+ 192；
(ii)当点P在直线CD上方时，∵点D的坐标为(0,2)，点M的坐标为(1,0)，且四边形DMQP为平行四边形，
∴点Q的坐标为(x+1,−x2+72x)．
又∵点Q在直线CD上，
∴−x2+72x=12(x+1)+2，
整理，得：2x2−6x+5=0，
∵△=(−6)2−4×2×5=−4<0，
∴该种情况不存在．
综上所述：当以D、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，点P的横坐标为3− 192或3+ 192．
平均数
中位数
众数
方差
8.5
8.3
8.1
0.15
平均月收入/千元
中位数/千元
众数/千元
方差/千元 ​2
“美团”
① ______
6
6
1.2
“滴滴”
6
② ______
4
③ ______