黑龙江省鹤岗市第一中学2023-2024学年高二上学期12月考试数学试题

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6-10：D C A ABD ABC
11-12：ACD BCD
13．（，1，﹣2）
14．
15．
16．①④
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据垂直关系可得直线斜率，利用直线点斜式可整理得到直线方程；
（2）根据平行关系可假设直线方程，代入所过点坐标即可求得结果.
【详解】（1），直线与垂直，，
又直线过点，直线方程为：，即.
（2）由题意可设直线方程为：，
又直线过点，，解得：，
直线方程为：.
18．(1)；
(2)
【分析】（1）利用双曲线与抛物线下的定义计算求抛物线标准方程即可；
（2）利用弦长公式计算即可.
【详解】（1）设双曲线的实轴长、短轴长、焦距分别为，
由可得，，所以，解得，
所以双曲线的右焦点为，
所以可设抛物线的标准方程为，其焦点为，
所以，即，
所以抛物线的标准方程为；
（2）由，得双曲线的右顶点为，
因为直线过点且斜率为2，所以直线的方程为，
设，，联立直线与拋物线的方程，
消去，得，所以，，
所以．
19．(1)
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）设，根据所给条件，列出方程化简即可得出轨迹方程；
（2）利用“点差法”求出直线方程，再联立椭圆方程，利用判别式检验即可.
【详解】（1）设，则，
由得
整理得
所以，点M得轨迹方程为．
（2）设，，可得
两式相减得
由题意，，，所以
直线AB方程为
代入得，．
∵，
∴不存在这样的直线l．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，表达各向量，根据垂直的向量方法计算即可证明；
（2）根据线面角的向量公式计算即可.
【详解】（1）由直棱柱的性质可知 ,
因为 , 所以 两两互相垂直,
故以点 为坐标原点, 分别以 所在直线为 轴, 轴, 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设 , 则 .
因为 是棱 的中点, 所以 ,
所以 ,
所以 .
所以 , 即 .
（2）由(1) 可知 .
设向量 n=x,y,z 是平面的法向量, 则
即 令 ,得 .
设直线 与平面 所成的角为 ,
则 .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
21．(1)最大
(2)
【分析】（1）判断数列的单调性，求最大项；（2）由数列的前项和求通项公式.
【详解】（1）由得
所以：
故最大.
（2）当时，；
当时，，
∵，所以当时，上式亦成立.
所以.
22．(1)；
(2).
【分析】(1)由椭圆离心率为，以原点为圆心，椭圆的焦距为直径与直线相切，列出方程组求出的值，由此能求出椭圆的方程；
(2)当直线的斜率不存在时，推导出 ，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，利用韦达定理、向量的知识，结合题意，即可求解的取值范围.
【详解】（1）由题意，得圆心到直线的距离为，
有，解得，
故椭圆.
（2）①若直线斜率不存在，则轴，方程为，
，故.
②若直线斜率存在，设直线的方程为，
由，消去得，
，
设，则.
，
则
，
代入韦达定理可得，
由可得，
综上，.