黑龙江省鹤岗市萝北县高级中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷

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出题人：杨学峰 审题人：李鹏
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。）
1．已知，，，则x等于（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，C．，D．以上都不对
3．如图所示，三棱锥中，M，N分别是AB，OC的中点，设，，，用，，表示，则（ ）
A．B．C．D．
4．在等腰三角形AOB中，，点，，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为（ ）
A．B．C．D．
5．已知过点和的直线为，直线为，直线为．若，，则实数的值为（ ）
A．B．C．0D．8
6．已知方程所表示的圆有最大的面积，则取最大面积时，该圆的圆心的坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，若其欧拉线的方程为，则顶点C的坐标是（ ）
A．B．C．D．
8．设，．若动直线与交于点A，C，动直线与交于点B，D，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知表示圆，则下列结论正确的是（ ）
A．圆心坐标为B．圆心坐标为
C．半径D．半径
10．在平面直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C．过A，B，C三点的圆过定点坐标是（ ）
A．B．C．D．
11．已知，点P是直线上的一个动点，过点P作的切线PA，PB，切点分别是A，B，则下列说法正确的是（ ）
A．上恰有一个点到直线l的距离为
B．切线长PA的最小值为1
C．四边形AMBP面积的最小值为2
D．直线AB恒过定点
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知空间中三点，，，设，．向量与向量的夹角的余弦值________．
13．已知点到直线的距离为1，则a等于________．
14．已知圆的方程，在平面内存在两点，，满足下列两个条件：（1）圆上任意一点到A点的距离与到B点的距离之比为定值．（2），且m，n均为正整数．则A点坐标，B点坐标分别是________．
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）（1）求经过两条直线和的交点，且与直线垂直的直线方程；
（2）直线l过点且到点和点的距离相等，求直线l的方程．
16．（本小题满分15分）如图，等腰梯形ABCD的底边AB和CD长分别为6和，高为3．
（1）求这个等腰梯形的外接圆E的方程；
（2）若线段MN的端点N的坐标为，端点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程．
17．（本小题满分15分）如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，，且，，将它沿对称轴折起，使平面平面，如图2，点P为BC的中点，点E在线段AB上（不同于A，B两点），连接OE并延长至点Q，使．

图1 图2
（1）证明：平面PAQ；
（2）若，求二面角的余弦值．
18．（本小题满分17分）如图，在五面体ABCDEF中，，，，，平面平面ABCD．
（1）求证：平面ADF；
（2）已知P为棱BC上的点，试确定点P的位置，使二面角的大小为．
19．（本小题满分17分）已知直线，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
（1）求圆C的方程；
（2）过点的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
高二（数学）答案（2024-09-26）
一、选择题
二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12． 13． 14．
四、解答题
15．（1） （2）或
（1）由，得，∴与的交点坐标为．
设与直线垂直的直线方程为，
则，∴．
∴所求直线方程为．
（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即．
由题意知，
即，
∴，
∴直线l的方程为，即．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，也符合题意．
16．[解]（1）由已知可知，，，，
设圆心，由可知
，解得．
所以．
所以圆的方程为．
（2）设，由点P是MN中点，得．
将M点代入圆的方程得，
即．
17．[解]（1）证明：由题设知OA，OB，两两垂直，
∴以O为坐标原点，OA，OB，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设AQ的长为m，则，，，，，．
∵点P为BC的中点，
∴，
∴，，．
∵，，
∴，，
即，，又，
∴平面PAQ．
（2）∵，，∴，
则，∴，．
设平面CBQ的法向量为，
由，得，
令，则，，．
易得平面ABQ的一个法向量为．
设二面角的大小为，由图可知，为锐角，
则，
即二面角的余弦值为．
19．[解]（1）设圆心，则或（舍）．所以圆．
（2）当直线轴时，x轴平分．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，，，，
由，得，
所以，．
若x轴平分，则
，
所以当点N为时，能使得总成立．
18．[解]（1）证明：∵，，
∴四边形CDEF是菱形，∴．
∵平面平面ABCD，平面平面，，平面ABCD，
∴平面CDEF，
∵平面CDEF，∴．
又∵平面ADF，平面ADF，，
∴平面ADF．
（2）由（1）知四边形CDEF为菱形，
又∵，
∴为正三角形．
如图，取EF的中点G，连接GD，则．
∵，∴．
∵平面平面ABCD，平面CDEF，平面平面，
∴平面ABCD．
又∵，∴直线DA，DC，DG两两垂直．
以D为原点，分别以DA，DC，DG所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图的空间直角坐标系．
∵，，
∴，，，，，∴，，，．
由（1）知是平面ADF的一个法向量．
设，
则．
设平面PDF的法向量为，
则，即．
令，则，，
∴．
∵二面角的大小为，
∴，
解得或（不合题意，舍去）．
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B
C
B
D
A
D
A
B
BD
AD
BD