2022-2023学年黑龙江省鹤岗市第一中学高二上学期10月月考数学试题含解析

2022-2023学年黑龙江省鹤岗市第一中学高二上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．若直线与平行，则实数（    ）

A．1 B．2 C．3 D．

【答案】D

【分析】由两直线平行的条件求解．

【详解】由题意，．

故选：D．

2．是椭圆的焦点，点在椭圆上，点到的距离为1，则到的距离为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】利用椭圆的定义直接求解

【详解】由题意得，得，

因为，，

所以，

故选：C

3．在平面直角坐标系中，若直线与曲线，有两个公共点，则b的取值范围是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】画出直线与曲线的图象，结合判别式以及图象求得正确答案.

【详解】曲线，即，

即以原点为圆心，半径为的圆在轴右侧的部分，

画出直线与曲线的图象如下图所示，

由消去并化简得，

由解得或（舍去）.

结合图象可知的取值范围是.

故选：A

4．当圆 截直线所得的弦长最短时，实数（    ）

A． B．1 C．  D．-1

【答案】D

【分析】根据直线方程得到直线经过定点，通过比较点到圆心的距离和半径的大小得到点在圆的内部，再利用几何的方法得到直线时弦长最短，最后利用垂直关系列方程求解即可.

【详解】解：圆：，即，圆心为，半径，直线：，即，令，解得，即直线恒过定点，又，所以点在圆内部，所以当直线时弦长最短，又，所以，解得.

故选：D.

5．椭圆：的左、右焦点分别为，，经过点的直线与椭圆相交于A，两点，若的周长为16，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据椭圆的定义及的周长求出，再根据离心率的计算公式即可得解.

【详解】解：由题可知，即，

所以椭圆的离心率.

故选：A.

6．椭圆的焦点为，，椭圆上的点满足，则点到轴的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用椭圆的定义以及余弦定理，可以解得，一方面，另一方面设点到轴的距离为，则，所以，即可求解

【详解】易得．设，，则．

在中，由余弦定理得，

即，则，

所以．

设点到轴的距离为，则，故，解得．

故选：C．

7．若直线与圆相交于两点，为坐标原点，则（    ）

A． B．4 C． D．－4

【答案】D

【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求出，然后利用向量的数量积的定义及几何意义可求得结果.

【详解】由题意得圆的圆心到直线的距离为

，

所以，所以，

所以

，

故选：D

8．已知点在过点且与直线垂直的直线上，则圆：上的点到点的轨迹的距离的最小值为（       ）

A．1 B．2 C．5 D．

【答案】A

【分析】利用直线垂直的性质、直线的点斜式以及直线与圆上的点的位置关系进行求解.

【详解】过点且与直线垂直的直线为：，

已知点在该直线上，所以，即，

所以点的轨迹方程为，又圆：，

所以圆心，半径，所以圆上的点到点的轨迹的距离的最小值为：

.故A，B，D错误.

故选：A.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．直线必过定点

B．过点作圆的切线，切线方程为

C．经过点，倾斜角为的直线方程为

D．直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1

【答案】AB

【分析】根据直线系的方程求解顶点即可判断A；结合点在圆上求解切线判断B；分和讨论判断C；直接求解直线在坐标轴上的交点坐标即可判断D.

【详解】解：对于A选项，，

故直线过与的交点，

所以，联立得，即直线必过定点，故正确；

对于B选项，点在上，圆心为，所以切线的斜率为，所以切线方程为，即，故正确；

对于C选项，经过点，倾斜角时，直线方程为，当时，直线方程为，故错误；

对于D选项，令得，令得，所以直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为，故错误.

故选：AB

10．下列说法错误的是（    ）

A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件

B．直线的倾斜角的取值范围是

C．过，两点的所有直线的方程为

D．方程与方程表示同一条直线

【答案】ACD

【分析】对于A，根据充要条件的定义结合两直线垂直的条件进行判断，对于B，由倾斜角与斜率的关系判断，对于C，举例判断，对于D，根据两方程的特征分析判断.

【详解】对于A，当时，两直线分别为和，此时两直线的斜率乘积为，所以两直线垂直，当直线与直线互相垂直时，则或，所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，所以A错误，

对于B，直线的斜率，因为，所以，所以，所以，所以B正确，

对于C，当或时，过，两点的直线不能用表示，所以C错误，

对于D，因为方程表示的是一条直线，而方程表示直线上除去的部分，所以方程与方程表示的不是同一条直线，所以D错误，

故选：ACD

11．2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G．若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则（    ）

A．椭圆的长轴长为

B．线段AB长度的取值范围是

C．面积的最小值是4

D．的周长为

【答案】ABD

【分析】由题意可得b、c，然后可得a，可判断A；由椭圆性质可判断B；取特值，结合OA长度的取值范围可判断C；由椭圆定义可判断D.

【详解】由题知，椭圆中的几何量，得，则，A正确；

，由椭圆性质可知，所以，B正确；

记，则

取，则，C错误；

由椭圆定义知，，所以的周长，D正确.

故选：ABD

12．已知F为椭圆的左焦点，直线与椭圆C交于A、B两点，，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则（     ）

A．的最小值为2 B．的面积的最大值为

C．直线BE的斜率为 D．为直角

【答案】BCD

【分析】根据给定条件设出点A、P坐标，结合椭圆定义、均值不等式、斜率坐标公式逐项分析计算作答.

【详解】设椭圆C的右焦点，由椭圆对称性知线段AB，互相平分于点O，则四边形为平行四边形，如图，

则，有

，当且仅当，即时取“=”，A不正确；

设，，则，当且仅当，即时取“=”，

即，因，垂足为E，则，B正确；

因，有，由椭圆对称性可得，而，则直线BE的斜率，C正确；

设，由及得， ，即，

直线PA，PB的斜率有，而，

于是得，有，所以为直角，D正确.

故选：BCD

【点睛】结论点睛：过椭圆中心的弦(除椭圆长轴外)与椭圆二焦点围成平行四边形.

三、填空题

13．圆和圆的位置关系是__________．

【答案】外切

【分析】分别求出两圆的圆心距及两圆的半径之和和半径之差的绝对值，比较大小可知两圆的位置关系.

【详解】因为圆的标准方程为：，

表示以为圆心，半径为的圆，

又圆的圆心为，半径为，

所以两圆圆心距为，正好等于半径之和，

所以两圆相外切，

故答案为：外切.

14．已知直线，，则直线与之间的距离最大值为______.

【答案】5

【分析】分别求出直线，过的定点，，当与两直线垂直时距离最大，且最大值为，由此即可求解．

【详解】直线化简为：，

令且，解得，，

所以直线过定点，

直线化简为：，

令且，解得，，

所以直线过定点，，

当与直线，垂直时，直线，的距离最大，

且最大值为，

故答案为：5．

15．已知点、，点是轴上的点，当最小时的点的坐标为______．

【答案】

【分析】首先确定关于轴对称的点，可知当三点共线时，取得最小值，求得直线方程后即可求得其与轴交点坐标，即点坐标.

【详解】关于轴对称的点为，则，

即当三点共线时，取得最小值；

直线方程为：，即，

令得：，当最小时，点的坐标为.

故答案为：.

16．已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率e的取值范围是___________.

【答案】

【分析】设左焦点为，连接，可得四边形为矩形、，利用椭圆的定义可得，进而得出，

结合三角函数的性质即可得出e的范围.

【详解】椭圆上点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为，

连接，则四边形为矩形.

根据椭圆的定义：，则.

∴

椭圆的离心率，

∴，则，

∴，

∴椭圆离心率e的取值范围.

故答案为：

四、解答题

17．根据下列条件分别求出直线的方程：

(1)斜率为4，在y轴上的截距为．

(2)直线l过点和．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据斜截式方程求解;(2)利用点斜式写出直线方程.

【详解】(1)若直线斜率为4，在y轴上的截距为，

由斜截式，该直线的方程为即直线方程为

(2)直线l的斜率，

所以（或）．

即直线方程为．

18．根据下列条件，求圆的标准方程.

(1)圆心为点，且与直线相切；

(2)已知、，以线段AB为直径.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据圆与直线相切，结合点到直线的距离公式即可求得圆的半径，从而求得圆的标准方程.（2）根据中点坐标公式，求得圆心坐标，求得从而得到半径，即可得到圆的标准方程.

【详解】(1)因为圆心为点，且与直线相切，

则所求圆的半径等于圆心到直线的距离，

所以半径为，

则所求圆的标准方程为

(2)因为点、，

所以线段的中点坐标为，即，所以圆心为，

，即半径为，

所以圆的标准方程为.

19．已知直线．

(1)求证：直线l恒过一个定点；

(2)当时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围．

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）变形可得，根据点斜式方程可得定点；

（2）由已知得不等式，解不等式即可.

【详解】(1)证明：由，得，由直线的点斜式方程可知，直线恒过定点；

(2)设，

因为当时，直线上的点都在轴上方，需满足即，解得，

所以实数的取值范围是

20．设是坐标原点，直线与圆交于两点．

(1)求线段中点的坐标；

(2)若，求该圆的面积．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由题意，得圆心坐标和直线的斜率为，即可得线段的垂直平分线的斜率为并且过点，利用点斜式写出直线方程；（2）联立直线与圆的方程，化简得一元二次方程，写出韦达定理，由，可得，代入韦达定理化简计算得，从而可得圆的半径，即可计算圆的面积.

【详解】(1)圆的圆心为，直线的斜率为，

所以线段的垂直平分线的斜率为，且经过，

所以线段的垂直平分线方程为，即，

由，得，所以线段中点的坐标为.

(2)由，化简得，

设，，则，，

又，，由于，

所以，即，

即，所以，

解得，所以圆的半径为，

所以圆的面积为．

21．已知实数满足，求：

(1)的最小值；

(2)的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）令，当直线与圆相切时，取得最值，根据列式求解；（2）计算原点到圆上任意点的最大距离的平方

【详解】(1)由题意，圆的标准方程为．

令，当直线与圆相切时，取得最值，

则，解得或．

所以的最小值为．

(2)令，则表示点到点距离的平方，

因为圆上的点到原点距离最大值为

，

所以．

22．已知椭圆C：，长轴是短轴的3倍，点在椭圆C上.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若过点且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴的正半轴上是否存在点，使得直线TM，TN斜率之积为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，3

【分析】（1）根据题意得a＝3b，再将点代入求得，即可得解；

（2）设l的方程为x＝my＋1，，，联立方程，利用韦达定理求得，再根据斜率公式计算整理，从而可得出结论.

【详解】(1)解：由题意得a＝3b，故椭圆C为，

又点在C上，所以，得，，

故椭圆C的方程即为；

(2)解：由已知知直线l过，设l的方程为x＝my＋1，

联立两个方程得，消去x得：，

得，

设，，则（），

，

将（）代入上式，可得：，

要使为定值，则有，又∵，∴t＝3，

此时，

∴存在点，使得直线TM与TN斜率之积为定值，此时t＝3.

【点睛】本例考查了利用待定系数法求椭圆方程，考查了椭圆中的定值问题，考查了学生的计算能力和数据分析能力，计算量较大.