【专项练习】人教全套专题数学八年级下册平行四边形（知识梳理+典例探究+含答案）

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平行四边形参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．某生态公园的人工湖周边修葺了3条湖畔小径，如图小径BC，AC恰好互相垂直，小径AB的中点M刚好在湖与小径相交处．若测得BC的长为0.8km，AC的长为0.6km，则C，M两点间的距离为（　　）A．0.5km B．0.6km C．0.8km D．1km【分析】由题意知，AC⊥BC，点M是AB的中点，根据直角三角形的性质，得到，再根据勾股定理求出AB的长，由此求出C，M两点间的距离．【解答】解：由题意得：AC⊥BC，点M是AB的中点，∴，∵BC＝0.8km，AC＝0.6km，∴，∴．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解答本题的关键2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AH是高，AM是中线，那么在结论①∠B＝∠BAM，②∠B＝∠MAH，③∠B＝∠CAH，④，⑤S△ACH＝S△ABM中错误的个数（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质可得AM＝BM＝CM＝BC，从而可得S△ACM＝S△ABM，然后利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠BAM，再根据AM不一定平分∠BAH，从而可得∠BAM≠∠MAH，进而可得∠B≠∠MAH，最后根据垂直定义可得∠AHB＝90°，从而可得∠B+∠BAH＝90°，进而可得∠B＝∠CAH，即可解答．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AM是中线，∴AM＝BM＝CM＝BC，∴S△ACM＝S△ABM，∵AM＝BM，∴∠B＝∠BAM，∵AM不一定平分∠BAH，∴∠BAM≠∠MAH，∴∠B≠∠MAH，∵AH⊥BC，∴∠AHB＝90°，∴∠B+∠BAH＝90°，∵∠BAH+∠CAH＝90°，∴∠B＝∠CAH，故①③④正确，②⑤不正确，所以，上列结论中错误的个数为2个，故选：B．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．3．如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF，连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M．若BC＝8，则线段CM的长为（　　）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】根据三角形中中位线定理证得DE∥BC，求出DE，进而证得△DEF∽△BMF，根据相似三角形的性质求出BM，即可求出结论．【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，，∴△DEF∽△BMF，∴，∴BM＝2，∴CM＝BC+BM＝10．故选：D．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键．4．如图，DE垂直平分△ABC的边AB，交CB的延长线于点D，交AB于点E，F是AC的中点，连接AD、EF．若AD＝5，CD＝9，则EF的长为（　　）A．3 B．2.5 C．2 D．1.5【分析】根据垂直平分线的性质得到AD＝DB＝5，点E是AB的点，结合F是AC的中点，推出EF是△ABC的中位线，由CD＝9，DB＝5求出BC的长度，最后利用三角形中位线的性质求解．【解答】解：∵DE垂直平分△ABC的边AB，AD＝5，∴AD＝DB＝5，AE＝EB，∴点E是AB的点，∵F是AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴．∵CD＝9，DB＝5，∴BC＝CD﹣BD＝9﹣5＝4，∴．故选：C．【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质，三角形中位线判定和性质，理解相关知识是解答关键．5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，点E、点G分别是OC、AB的中点，连接BE、GE，若∠ABE＝42°，则∠AEG的度数为（　　）A．42° B．45° C．46° D．48°【分析】根据平行四边形的性质推出OB＝BC，根据等腰三角形的性质求出BE⊥OC，根据直角三角形的性质求出∠BAE＝48°，AG＝EG，根据等腰三角形的性质即可得解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD＝BD，AD＝BC，∵BD＝2AD，∴OB＝BC，∵点E是OC的中点，∴BE⊥OC，∴∠ABE+∠BAE＝90°，∵∠ABE＝42°，∴∠BAE＝48°，∵点G是AB的中点，BE⊥OC，∴AG＝AB，EG＝AB，∴AG＝EG，∴∠AEG＝∠BAE＝48°，故选：D．【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上中线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．6．已知▱ABCD的边AD＝10，∠DAB的平分线交CD所在直线于点E，且CE＝2，则边AB的长为（　　）A．8 B．10 C．12 D．8或12【分析】由平行四边形的性质推出AB∥DC，由角平分线定义，平行线的性质推出DE＝AD＝10，分两种情况即可求解．【解答】解：如图，当E在DC延长线上时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝CD，∴∠E＝∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠E＝∠DAE，∴DE＝AD＝10，∴DC＝DE﹣CE＝10﹣2＝8，∴AB＝CD＝8；如图，当E在线段CD上时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠AED＝∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠AED＝∠DAE，∴DE＝AD＝10，∴DC＝DE+CE＝10+2＝12，∴AB＝CD＝12，∴AB的长是8或12．故选：D．【点评】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定，角平分线定义，平行线的性质，关键是要分两种情况讨论，由角平分线定义，平行线的性质推出DE＝AD．7．在四边形ABCD中，AC与BD的交点为O，若分别以下列各组为条件：①AB＝CD，AD＝BC；②AD∥BC，AD＝BC；③AO＝OC，BO＝OD；④AB∥DC，AD＝BC．其中，能判定四边形ABCD是平行四边形的只有（　　）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【分析】根据平行四边形判定定理分别进行判断得出即可．【解答】解：①由“AB＝CD，AD＝BC”可知，四边形ABCD的两组对边分别相等，则该四边形是平行四边形，故本选项符合题意；②由“AD∥BC，AD＝BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行且相等，据此能判定该四边形是平行四边形，故本选项符合题意；③由“AO＝OC，BO＝OD”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故本选项符合题意；④由“AB∥DC，AD＝BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的判定．（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．8．如图，在△ABC中，以各边为边分别作三个等边三角形BCF，ABD，ACE，若AB＝3，AC＝4，BC＝5，则下列结论：①AB⊥AC；②四边形ADFE是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形ADFE＝5．其中正确的有（　　）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】由AB2+AC2＝BC2，得出∠BAC＝90°，则①正确；由等边三角形的性质得∠DAB＝∠EAC＝60°，则∠DAE＝150°，由SAS证得△ABC≌△DBF，得AC＝DF＝AE＝4，同理△ABC≌△EFC（SAS），得AB＝EF＝AD＝3，得出四边形AEFD是平行四边形，则②正确；由平行四边形的性质得∠DFE＝∠DAE＝150°，则③正确；∠FDA＝180°﹣∠DFE＝30°，过点A作AM⊥DF于点M，，则④不正确；即可得出结果．【解答】解：∵32+42＝52，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，故①正确；∵△ABD，△ACE都是等边三角形，∴∠DAB＝∠EAC＝60°，又∴∠BAC＝90°，∴∠DAE＝150°，∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴BD＝BA，BF＝BC，∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°，∴∠DBF＝∠ABC，在△ABC与△DBF中，∴△ABC≌△DBF（SAS），∴AC＝DF＝AE＝4，同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），∴AB＝EF＝AD＝3，∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；∴∠DFE＝∠DAE＝150°，故③正确；∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°，过点A作AM⊥DF于点M，∴S四边形ADFE＝DF•AM＝＝×4×3＝6，故④不正确；∴正确的个数是3个，故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．9．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，且AD＝DC，则下列说法：①四边形ABCD是平行四边形；②AB＝BC；③AC⊥BD；④BD平分∠ABC；⑤若AC＝6，BD＝8，则四边形ABCD的面积为24．其中正确的有（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再证平行四边形ABCD是菱形，即可得出结论．【解答】解：∵AB∥CD，BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确；∵AD＝DC，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD，BD平分∠ABC，故②③④正确，∵AC＝6，BD＝8，∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×6×8＝24，故⑤正确；正确的个数有5个，故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定与性质是解题的关键．10．已知菱形的边长为13cm，它的一条对角线长为10cm，则该菱形的面积为（　　）A．60cm2 B．120cm2 C．240cm2 D．480cm2【分析】根据菱形的性质得出OA，进而利用菱形的面积公式解答即可．【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝13cm，AC＝10cm，∵对角线互相垂直平分，∴∠AOB＝90°，OA＝5cm，在Rt△AOB中，OB＝＝12（cm），∴＝30（cm2），∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120（cm2）．故选：B．【点评】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形的性质是解题的关键．11．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE⊥BC于点E，连接OE，若OA＝3，S菱形ABCD＝9，则OE的长为（　　）A． B．2 C． D．【分析】由菱形的性质得出AC＝6，由菱形的面积得出BD＝3，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝3，OB＝OD＝BD，BD⊥AC，∴AC＝6，∵S菱形ABCD＝AC×BD＝9，∴BD＝3，∵DE⊥BC，∴∠BED＝90°，∴OE＝BD＝．故选：C．【点评】此题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．12．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A、B的坐标分别为（0，4）、（﹣2，0），则点D的坐标为（　　）A． B． C． D．【分析】由勾股定理求出AB的长，再由菱形的性质可得AD＝AB＝2，AD∥BC，即可求解．【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（0，4）、（﹣2，0），∴OB＝2，OA＝4，∴AB＝＝＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝2，AD∥BC，∴点D坐标为（2，4），故选：A．【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，坐标与图形性质等知识，掌握菱形的性质是解题的关键．13．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是（　　）A． B． C． D．【分析】根据平行四边形的性质及菱形的判定定理求解即可．【解答】解：根据等腰三角形的判定定理可得，平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形，故A不符合题意；根据三角形内角和定理可得，平行四边形的对角线互相垂直，即可判定该平行四边形是菱形，故B不符合题意；一组邻角互补，不能判定该平行四边形是菱形，故C符合题意；根据平行四边形的邻角互补，对角线平分一个120°的角，可得平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形，故D不符合题意；故选：C．【点评】此题考查了菱形的判定及平行四边形的性质，熟记菱形的判定定理及平行四边形的性质定理是解题的关键．14．在四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD．下列说法能使四边形ABCD为菱形的是（　　）A．AC＝BD B．∠C＝∠D C．∠A＝∠B D．AC⊥BD【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再由菱形的判定和矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，A、∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意；B、由AB＝CD，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD为菱形，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．15．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6，点B，D之间的距离为8，则四边形ABCD面积为（　　）A．20 B．24 C．28 D．48【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解．【解答】解：如图，作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC，BD交于点O，由题意知，AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵两张纸条等宽，∴AR＝AS．∵AR⋅BC＝AS⋅CD，∴BC＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形，∵A，C之间的距离为6，点B，D之间的距离为8，∴四边形ABCD面积为故选：B．【点评】本题考查了菱形的判定与性质，证得四边形ABCD是菱形是解题的关键．二．填空题（共10小题）16．小明沿一段笔直的人行道行走，在由A走到B的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语CD，具体信息如下：如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD垂足为D．已知AB＝20米．根据上述信息，可知标语CD的长度为 　20　米．【分析】先根据题意得出OB＝OD，再由AAS定理得出△AOB≌△COD，进而可得得出结论．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO，∵相邻两平行线间的距离相等，OD⊥CD，O、B、D三点共线，∴OB⊥AB，∴OB＝OD，在△AOB与△COD中，∵，∴△AOB≌△COD（AAS），∴CD＝AB＝20米．故答案为：20【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线之间的距离，根据题意得出△AOB≌△COD是解题的关键．17．如图，CD是Rt△ABC的中线，∠ACB＝90°，∠CDA＝120°，则∠B的度数为 　60°　．【分析】利用直角三角形斜边中线的性质以及等腰三角形的性质解决问题即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是△ABC斜边AB的中线，∴AD＝CD＝BD，∴∠DCB＝∠DBC．∵∠CDA是△CDB的一个外角，∠CDA＝120°，∴∠DCB+∠DBC＝120°．∴∠DBC＝60°．故答案为：60°．【点评】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18．如图是雨伞的截面示意图，伞骨AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，DM，EM是连接弹簧和伞骨的支架，且DM＝EM．（1）△ADM与△AEM是否全等？　是　（填“是”或“否”）；（2）若∠ADM＝120°，∠DAE＝60°，则∠AME的度数为 　30°　．【分析】（1）通过已知条件，找到△ADM和△AEM三条边对应相等，由此证明两个三角形全等；（2）利用全等三角形的性质，全等三角形对应角相等，通过已知条件可以求出∠AME的度数．【解答】解：（1）由已知条件得，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，∴AD＝AE，在△ADM和△AEM中，，∴△ADM≌△AEM（SSS），故答案为：是；（2）由（1）知，△ADM≌△AEM（SSS），∴∠DAM＝∠EAM，∠ADM＝∠AEM＝120°，∵∠DAE＝60°，∴∠DAM＝∠EAM＝30°，在△AEM中，∠AME＝180°﹣∠AEM﹣∠EAM＝180°﹣120°﹣30°＝30°，故答案为：30°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．19．如图，在▱ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD＝24，则△BOC的周长为 　22　．【分析】根据平行四边形对角线互相平分，求出OC+OB的长，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC＝AC，BO＝OD＝BD，AD＝BC＝10，∵AC+BD＝24，∴OC+BO＝12，∴△BOC的周长＝OC+OB+BC＝12+10＝22．故答案为：22．【点评】本题考查平行四边形的性质以及三角形周长等知识，解题的关键是记住平行四边形的对角线互相平分，属于中考基础题．20．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（2，3）、B（﹣2，0）、C（0，﹣1），点D在坐标轴上，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标为 　（0，4）　．【分析】根据题意，点D在坐标轴上，则只能在y轴的正半轴上，根据平行四边形的性质即可求解．【解答】解：依题意，点D在坐标轴上，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D在y轴的正半轴上，设D（0，m），∴，解得：m＝4，故答案为：（0，4）．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，坐标与图形性质，利用数形结合求解是解题的关键．21．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E，F分别是AB，AD上任意的点（不与端点重合），且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：①△AED≌△DFB；②若AF＝2DF，则BG＝6GF；③CG与BD一定不垂直；④∠BGE的大小为定值．其中正确的结论有 　①②④　．【分析】①先证明△ABD为等边三角形，根据“SAS”证明△AED≌△DFB；②过点F作FP∥AE于P点，根据题意有FP：AE＝DF：DA＝1：3，则FP：BE＝1：6＝FG：BG，即BG＝6GF；③因为点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE＝DF，当点E，F分别是AB，AD中点时，CG⊥BD；④∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°．【解答】解：①∵ABCD为菱形，∴AB＝AD，∵AB＝BD，∴△ABD为等边三角形，∴∠A＝∠BDF＝60°，又∵AE＝DF，AD＝BD，∴△AED≌△DFB，故本选项正确；②过点F作FP∥AE于P点，根据题意有FP：AE＝DF：DA＝1：3，则FP：BE＝1：6＝FG：BG，即BG＝6GF；③当点E，F分别是AB，AD中点时（如图2），由（1）知，△ABD，△BDC为等边三角形，∵点E，F分别是AB，AD中点，∴∠BDE＝∠DBG＝30°，∴DG＝BG，在△GDC与△BGC中，，∴△GDC≌△BGC，∴∠DCG＝∠BCG，∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本选项错误；④∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°，为定值，故本选项正确；综上所述，正确的结论有①②④，故答案为：①②④．【点评】此题综合考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形，把不规则图形的面转化为两个全等三角形的面积是解题的关键．22．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知∠AOB＝120°，AB＝1，则BC的长为 　　．【分析】由矩形的性质得出∠ABC＝90°，OA＝OB，再证明△AOB是等边三角形，得出OA＝AB，求出AC，然后根据勾股定理即可求出BC．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，∴OA＝OB，∵∠AOB＝120°，∴∠AOD＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴BD＝2AD，∵AB＝1，∴AD2+AB2＝BD2；∴AD＝，∴BC＝AD＝，故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．23．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝4，AD＝3，EF＝2，则GH的最小值是 　4　．【分析】连接AC、AP、CP，由勾股定理求出AC＝5，再由直角三角形斜边上的中线性质得AP＝2，然后证四边形PGCH是矩形，得GH＝CP，当A、P、C三点共线时，CP最小＝AC﹣AP＝5﹣1＝4，即可求解．【解答】解：连接AC、AP、CP，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝6，∠BAD＝∠B＝∠C＝90°，∴，∵P是线段EF的中点，∴AP＝EF＝1，∵PG⊥BC，PH⊥CD，∴∠PGC＝∠PHC＝90°，∴四边形PGCH是矩形，∴GH＝CP，当A、P、C三点共线时，CP最小＝AC﹣AP＝5﹣1＝4，∴GH的最小值是4，故答案为：4．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，正确记忆相关知识点是解题关键．24．如图，已知正方形ABCD的边长为2，以顶点C、D为圆心，2为半径的两弧交于点E，点F为AB边的中点，连接EF，则EF的长为 　　．【分析】延长FE交DC于点H，连接CE，根据题意可得EF∥BC，在Rt△CEH中，根据勾股定理即可求解EH，从而求出EF．【解答】解：延长FE交DC于点H，连接CE，如图：∵E为两弧交于点，点F为AB边的中点，∴EF∥BC，∵C是圆心，E在弧上，∴CE＝CB＝2，在Rt△CEH中，EH＝＝，∴EF＝2﹣，故答案为：2﹣．【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题关键．25．小华在复习四边形的相关知识时，绘制了如图所示的框架图，④号箭头处可以添加的条件是 　有一组邻边相等（答案不唯一）　．（写出一种即可）【分析】根据正方形的判定可得出答案．【解答】解：有一组邻边相等的矩形是正方形，故答案为：有一组邻边相等（答案不唯一）．【点评】本题主要考查正方形的判定，掌握判定定理是解题关键．三．解答题（共5小题）26．如图，在△ABC和△ADC中，∠ABC＝∠ADC＝90°，联结AC与BD交于点O，M，N分别是AC、BD的中点．求证：MN垂直平分BD．【分析】连接BM，DM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证明BM＝DM＝AC，根据等腰三角形的性质进一步得出结论．【解答】证明：如图，连接BM，DM，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴BM＝AC，CM＝DM＝AC，∴BM＝DM，∵点N是BD的中点，∴MN⊥BD，∴MN垂直平分BD．【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线等知识，熟练运用直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．27．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF∥AB交AC于F．求证：．【分析】过点D作DH⊥AC于点H，根据等腰三角形的性质得到AD平分∠BAC，根据角平分线的性质得到DE＝DH，根据含30°角的直角三角形的性质得到DH＝DF，等量代换证明结论．【解答】证明：如图，过点D作DH⊥AC于点H，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD平分∠BAC，∵DE⊥AB，DH⊥AC，∴DE＝DH，∵DF∥AB，∠BAC＝30°，∴∠DFH＝∠BAC＝30°，∴DH＝DF，∴DE＝DF．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、角平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质，灵活运用等腰三角形的三线合一是解题的关键．28．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝∠AFE，EA是∠BEF的角平分线．求证：（1）△ABE≌△AFE；（2）∠AFD＝∠ECD．【分析】（1）根据角平分线的性质可得∠1＝∠2，再加上条件∠B＝∠AFE，公共边AE，可利用AAS证明△ABE≌△AFE；（2）根据平行四边形的性质可得结论．【解答】证明：（1）∵EA是∠BEF的角平分线，∴∠BEA＝∠AEF，在△ABE和△AFE中，，∴△ABE≌△AFE（AAS）；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B+∠ECD＝180°，∵∠B＝∠AFE，∠AFE+∠AFD＝180°，∴∠AFD＝∠ECD．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是正确证明△ABE≌△AFE．29．【问题探究】如图，六边形ABCDEF的六个内角均为120°，分别延长CB、FA交于点G，得到△ABG．请判断△ABG的形状，并证明你的结论．【结论应用】若AB＝3，BC＝5，CD＝4，DE＝1，直接写出六边形ABCDEF的周长为 　22　．【分析】【问题探究】根据等边三角形的判定得出△ABG是等边三角形即可；【结论应用】延长CD和FE交于点H，证得四边形CGFH是平行四边形，求出周长即可．【解答】解：【问题探究】△ABG是等边三角形．∵六边形ABCDEF的六个内角均为120°，∴∠CBA＝∠BAF＝120°，∴∠GBA＝∠BAG＝60°，∴∠G＝60°，∴△ABG是等边三角形；【结论应用】延长CD和FE交于点H，由【问题探究】可得△DEH是等边三角形，∴DE＝DH＝HE＝1，∴CH＝CD+DE＝5，∵△ABG是等边三角形，∴BG＝AB＝AG＝3，∴CG＝BC+AB＝8，∵六边形ABCDEF的六个内角均为120°，∴∠C＝∠F＝120°，∵∠G＝60°，∴∠C+∠G＝180°，∠F+∠G＝180°，∴CH∥GF，CG∥HF，∴四边形CGFH是平行四边形，∴GF＝CH＝5，CG＝HF＝8，∴六边形ABCDEF的周长为：（5+8）×2﹣3﹣1＝22．故答案为：22．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质以及平行四边形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造平行四边形．30．在菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE＝AF，连接并延长EF，与CB的延长线交于点G，连接BD．（1）如图1，求证：四边形EGBD是平行四边形；（2）如图2，连接AG，若GB＝AE，请直接写出长为线段FB长2倍的线段．【分析】（1）证明BG＝BF＝DE，利用对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得证；（2）由四边形EGBD是平行四边形，得到GB＝DE，推出BG＝BF＝AF＝AE＝DE，据此即可求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝AB，∵AE＝AF，∴AB﹣AF＝AD﹣AE，即BF＝DE，∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE，∠AEF＝∠EGB，∵∠AFE＝∠BFG，∴∠BFG＝∠BGF，∴BG＝BF，∴DE＝BG，∴四边形EGBD是平行四边形；（2）解：∵四边形EGBD是平行四边形，∴GB＝DE，∵GB＝AE，∴AE＝DE，∵BG＝BF，∴，∴长为线段FB长2倍的线段有AB、BC、CD、AD．【点评】本题考查了菱形性质，关键是根据菱形的性质和平行四边形的判定解题．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/15 14:40:10；用户：梅袁；邮箱：18974992663；学号：43534571