2025届重庆市第一中学校高三(上)开学考试数学试卷(解析版)

这是一份2025届重庆市第一中学校高三(上)开学考试数学试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由于,即，即，
解得.则.
由于，即，则，则.
则.
故选：C.
2. 若幂函数在上单调递减，则实数的值为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】D
【解析】根据幂函数定义和单调性,知道，解得，则.
故选：D
3. 子曰：“工欲善其事，必先利其器．”这句名言最早出自于《论语·卫灵公》此名言中的“善其事”是“利其器”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】从逻辑上讲，工匠把活作好了，必然有锐利的工具，但有了锐利的工具，不一定能把活做好，
“善其事”是“利其器”的充分不必要条件.
故选：A
4. 已知定义在上的函数满足，则曲线y=fx在点处的切线斜率为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】因为，所以，
联立可解得，
所以，.
故选：C.
5. 已知函数y=fx的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】有，而由函数y=fx的部分图象得出定义域内有0，不合题意排除D选项；
函数y=fx的部分图象关于y轴对称是偶函数，而,不合题意排除B选项；
当时，， ，
由图可知有正有负，不合题意 排除C选项；
故选：A.
6. 已知函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由于，故，
函数是定义在上的增函数，
故在R上恒成立，即恒成立，
令，为偶函数，
故考虑时，，令，
即在上单调递增，则，
则在上单调递增，在上单调递减，
故，故，
实数的取值范围是，
故选：B
7. 已知函数的定义域为，且的图象关于直线对称，是奇函数，则下列选项中值一定为0的是（ ）
A. B. C. f1D.
【答案】B
【解析】的图象关于直线对称，
则.
即，
令，则，
则也关于对称.
是奇函数，则，，
令，则，则也关于对称.且令，得.
由前面知道，且令，则
且，令，则，
故周期为4.则.，f1，都不确定是否为0．
故选：B.
8. 若存在实数，使得关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因，所以不等式可变形为，
令，
由题意可得函数y=gx和函数的图象，
一个在直线的上方，一个在直线的下方，
等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值.
由求导可得，令，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，
由求导可得，
令，可得或，
当时，x∈0,1时，h'x>0，hx单调递增；
x∈1,+∞时，h'x0，hx单调递增；
此时，
所以，即，即，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 有最大值为B. 有最小值为
C. 有最小值为D. 有最大值为
【答案】ABC
【解析】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A正确，
对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确，
对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确，
对于D：因为，
当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误，
故选：ABC．
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 在区间上单调递增
B
C. 若，，，则
D. 函数有唯一零点
【答案】AC
【解析】的定义域为，在定义域上恒成立，所以的单调递增区间为和，故正确；
当趋近于0时，趋于，当趋近于1，且在1的左侧时，趋于.
当趋近于1，且在1的右侧时，趋于,当趋近于， 趋于.
故在和都有1个零点，共2个零点，故D错误.
，所以，
又，所以，故B错误；
，
因，所以，又，所以，即，故C正确.
故选：AC.
11. 定义在上的可导函数满足，若，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数在处取得极大值
B.
C. 过原点可以作2条直线与曲线相切
D. 若在上恒成立，则实数的取值范围是
【答案】AD
【解析】由可得，
又，故，其中为常数，
由于，故，所以，
因此，故，
当时，单调递减，当时，单调递增，故在处取得极大值，A正确，
由于，结合，故，
由于函数在时，单调递增，故，B错误，
对于C，设切点为x0,fx0，则切线方程为，
将代入可得，解得，故过原点可以作1条直线与曲线y=fx相切，C错误，
对于D，由可得，
记，则，
由于均为0,+∞上的单调递增函数，且恒为正，为0,+∞上的单调递增函数，
故在0,+∞为递增函数，，故存在唯一的，使得，即，
当单调递减，
当单调递增，
故
由得，令则，
故，因此，则，故，D正确，
故选：AD
第二部分（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若函数，则______．
【答案】1
【解析】由可得，
故.
13. 已知某次数学期末试卷中有8道四选一的单选题，学生小万能完整做对其中4道题，在剩下的4道题中，有3道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只能从4个选项中随机选一个答案．若小万从这8个题中任选1题，则他做对的概率为______．
【答案】
【解析】设小万从这8题中任选1题，且作对为事件A，选到能完整做对的4道题为事件B，
选到有思路的三道题为事件C，选到完全没有思路为事件D，
则，，，
由全概率公式得
.
14. 已知函数，，用表示中较小者，若函数有三个零点，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】，
因为函数有一个零点，函数至多有两个零点，
又hx有三个零点，
所以必须有两个零点，且其零点与函数的零点不相等，
且函数与函数的零点均为函数hx的零点，
由可得，，所以，
所以为函数hx的零点，
即，
所以，
令gx=0，可得，
由已知有两个根，
设，则有两个正根，
所以，，
所以，故，
当时，有两个根，
设其根为，，则，
设，则，，
所以，
令，则，
则，，
且，，
所以当时，，
所以当时，为函数hx的零点，又也为函数hx的零点，
且与互不相等，
所以当时，函数hx有三个零点.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．
15. 已知定义在上的奇函数．
（1）求实数的值：
（2）若在上的值域为，求实数的值．
解：（1）由于，故，
，由为奇函数得
，
故，解得或(舍)，
故；
（2），故，
又，解得，故.
16. 甲、乙两名同学进行乒乓球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局．首先获得4分者获胜，比赛结束．假设每局比赛甲获胜的概率都是．
（1）求比赛结束时恰好打了5局的概率：
（2）若甲以的比分领先时，记表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求的分布列及期望．
解：（1）第一种情况：比赛结束时恰好打了5局且甲获胜，
则概率为；
第二种情况：比赛结束时恰好打了5局且乙获胜，
则概率为；
所以比赛结束时恰好打了5局的概率为．
（2）甲队以的比分领先，甲队目前的战绩两胜一负，
接下去的比赛局数最少的情况是甲队取得两胜结束比赛，
局数最多的情况是接下来的前三局甲队一胜两负，必须进行第四局才能结束比赛，
的可能取值为2，3，4，
又，
，
，
随机变量的分布列为：
，即的数学期望为．
17. 已知函数在时取得极值，且满足．
（1）求函数的解析式；
（2）若存在实数，使得成立，求整数的最小值．
解：（1）由题意知定义域为，，
由于函数在时取得极值，且满足，
故，且，
解得，则，
经验证函数在时取得极小值，适合题意
故；
（2）由题意存在实数，使得成立，
即恒成立；
令，，则，
令，则在上恒成立，
故在单调递增，
又，
故存在唯一的使得，即，
则当时，，即，当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，
故，结合，得，故整数的最小值为5.
18. 已知椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合．
（1）求抛物线的方程：
（2）已知为抛物线上一个动点，直线，，求点到直线的距离之和的最小值；
（3）若点是抛物线上一点（不同于坐标原点），是的内心，求面积的取值范围．
解：（1）由题可知，椭圆右焦点坐标为1,0，抛物线焦点坐标为
所以,
所以抛物线方程为,
（2）由题可知，为抛物线准线，所以点到的距离等于点到焦点1,0的距离；
联立，
显然无实数根，故直线与抛物线相离，记点到的距离为,
所以的最小值为焦点1,0到直线的距离为.
（3）设点，已知点，
所以的面积,
设的内切圆半径为,
则有,
所以,
所以,
因为点是抛物线上一点（不同于坐标原点）,
所以，,
所以,
经整理得：,
构造函数,
得,
显然单调增,
令，解得,
所以当时，f'x