2025届重庆市高三上学期12月月考数学试卷（解析版）

这是一份2025届重庆市高三上学期12月月考数学试卷（解析版），共13页。
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】不等式，即，
而，所以.
故选：B
2. 已知，其中是的共轭复数，则（ ）
A 3B. 2C. D.
【答案】C
【解析】由，得，，
所以.
故选：C
3. 已知函数的图象关于直线x=2对称，则（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】D
【解析】依题意，，函数是偶函数，
其图象关于直线对称，
函数的图象可视为函数的图象向左（）或向右（）平移个单位而得，
因此函数的图象对称轴为，
所以，即.
故选：D.
4. 已知向量，且，则（ ）
A. -2B.
C. -2或D. 2或
【答案】B
【解析】，
又且反向，
所以或，
当时，，不符合题意，
当时，，符合题意，所以，
故选：B.
5. “x>1”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】不等式，解得，
所以“x>1”是“”的充要条件.
故选：C
6. 已知样本数据3，6，3，2，7，4，6，8的中位数为，则的展开式中含项的系数为（ ）
A. 80B. 240C. D.
【答案】A
【解析】将样本数据从小到大排列，
则中位数，
所以的展开式中项为从5个因式中一个取，其余4个都取相乘所得，
其系数为.
故选：A
7. 已知数列满足，前8项的和为60，则（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 8
【答案】C
【解析】数列中，，
，，
由前8项的和为60，得，所以.
故选：C
8. 已知，若，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】令，得，
若x∈0,π，则
所以在0,π上单调递增，
当时，则，
所以，
又在0,π上单调递增，
所以，，
当时，，
又在0,π上单调递增，所以，不合题意；
当时，，
所以，
又在0,π上单调递增，
所以，所以，，
综上可得，
故选：A
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 的图象关于点对称
B. 在上的最大值为
C. 的最小正周期为
D. 若在上单调递减，则的最大值为
【答案】ACD
【解析】函数，
对于A，，的图象关于点对称，A正确；
对于B，当时，，，B错误；
对于C，，的最小正周期为，C正确；
对于D，因为，所以，
又在上单调递减，在上单调递减，
所以，则，即的最大值为.
故选：ACD.
10. 若随机变量服从正态分布，设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】根据正态分布图象的对称性可知：；
；.
对A：因，所以A错误；
对B：因为，故B正确；
对C：因为，故C正确；
对D：因为
.
所以成立，故D正确.
故选：BCD
11. 已知是定义在上的奇函数，其导函数为，且，则（ ）
A. 为偶函数B. 在上单调递增
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A，由是定义在上的奇函数，得，
求导得，
即，因此函数为偶函数，A正确；
由，得，即，
解得，，
对于B，，因此在上单调递增，B正确；
对于C，，，即，C错误；
对于D，当时，，
求导得，函数在上单调递增，，
因此，D正确.
故选：ABD
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设等比数列的前项和为Sn，已知，则__________
【答案】8
【解析】设等比数列为，由，
得，解得，
所以.
故答案为：8
13. 在中，，将绕直线AB旋转一周后，所得几何体的表面积为__________.
【答案】
【解析】在中，，
由余弦定理得，
作于，由，
得，
绕直线AB旋转一周后所得几何体是共底面的两个圆锥组合而成，底面圆半径为，
所以所求表面积.
故答案为：
14. 若是的三条边，且，记，则当时，的取值范围是__________.
注:表示数集中最大的数，表示数集中最小的数.
【答案】
【解析】因为且，
所以，
当，即时，，
所以，
又，所以，且，
又是的三条边，所以，
当时，，因为，
所以，解得，又，所以，
当时，，符合题意，
所以，
当，即时，，
所以，
又 是的三条边，可得且，
，即，
综上：当时，的取值范围是，
故答案为：
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 手机用户可通过某软件查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的比较和点赞.若某人一天的行走步数超过8000，则评定为“积极型”，否则评定为“懈怠型”.从小王的男性和女性好友中各随机抽取了50名，统计其一天的步数并给出评定，得到如下数据:
（1）能否有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？
（2）以样本数据估计总体数据，且以频率估计概率.若从小王的所有男性好友中抽取3人，记其中评定为“积极型”的人数为，求随机变量的数学期望.
附:，其中.
解：（1）列联表如下：
则观测值为，
所以有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关.
（2）由表格中的数据知，从小王的男性好友中任选一人，评定为“积极型”的概率为，
随机变量的可能值为，，
所以随机变量的数学期望.
16. 已知函数.
（1）若，且恰有3个零点，求的取值范围；
（2）若，证明:当时，.
（1）解：由，得或，由恰有3个零点，
得方程有两个不等的非零根，而，则，
又，于是，解得，
所以的取值范围是.
（2）证明：当时，，
当时，令，
求导得，
当或时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
，，
因此，
所以.
17. 记的内角的对边分别为，已知.
（1）求
（2）若是边的中点，且，求AD的长.
解：（1）在中，由及正弦定理
得，
则，整理得，
而，因此，又，所以.
（2）是边的中点，且，
则，，，
在中，由正弦定理得，
在中，由余弦定理得，
即，则，而，
所以.
18. 已知函数.
（1）当时，求经过点且与曲线y=fx相切的切线方程；
（2）设集合，若，且，求的取值范围.
解：（1）由题意得，所以，
设切点为，则切线的斜率为，
又切线过点，所以，
又，得，可得，
令，该函数在上单调递增，
且，故，
所以斜率为，则切线方程为，
即直线即为所求，
所以经过点且与曲线相切的切线方程为.
（2）由集合，若，且，
可知在有解，且，
即在内有解，只需即可，
令，得，
当，即时，，所以在单调递增；
当，即时，，所以在单调递减；
所以当时，取得极小值，
所以，所以的取值范围
19. 对于数列，若任意，存在，使得，则称为“和积数列”.
（1）若，判断是否为“和积数列”，并说明理由；
（2）若为正整数，且为“和积数列”，求的值；
（3）若，且为“和积数列”，证明:.
（1）解：因为，，
若，
故不是“和积数列”
（2）解：若为正整数，且为“和积数列”，
由定义知，当时，，
显然
若，即，，
所以在时单调递增，且时方程成立，故解为；
若，即，因为，故无解；
若，即，解得：，无整数解；
若，即，因为，故无解．
综上：，
检验：当时，，
，
若为偶数，则取，满足，是“和积数列”；
若为奇数，则取，满足，是“和积数列”；
所以：．
（3）证明：因为为“和积数列”，
当，或或，又，
所以，
故，即，
所以，
又存在，使得，
不妨设，则，
故，
，故，
，
当时，成立；
当时，成立；
当时，，
所以，
又存在，使得，
不妨设，则，
故，
，
故，
又，
所以；
综上：.积极型
懈怠型
男
20
30
女
10
40
0.050
0.025
0.010
3.841
5.024
6.635
积极型
懈怠型
合计
男
20
30
50
女
10
40
50
合计
30
70
100