重庆市第八中学校2025届高三上学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份重庆市第八中学校2025届高三上学期开学考试数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设集合，，且，则集合( )
A.B.C.D.
2．赵佶所作《瑞鹤图》中房殿顶的设计体现了古人的智慧，如下图，分别以，为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，屋顶剖面的曲线与x轴、y轴均相切，A，B两点间的曲线可近似看成函数的图象，有导函数，为了让雨水最快排出，需要满足螺旋线方程，其中a，b为常数，则( )
A.，B.，C.，D.，
3．使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件是( )
A.B.C.D.
4．已知直线与交于A，B两点，设弦的中点为M,O为坐标原点，则的取值范围为( )
A.B.C.D.
5．定义在R上的奇函数满足，当时，，则( )
A.0B.1C.D.2023
6．定义在R上的函数满足，则函数的零点个数为( )
A.3B.4C.5D.6
7．已知数列满足，且对任意均有.记的前n项和为，则( )
A.28B.140C.256D.784
8．将1到30这30个正整数分成甲､乙两组，每组各15个数，使得甲组的中位数比乙组的中位数小2，则不同的分组方法数是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．设函数，，，则下列函数中满足，与值域相同的是( )
A.B.C.D.
10．在信道内传输M,N,P信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两个信号的概率均为.若输入四个相同的信号,,的概率分别为,,，且.记事件,,分别表示“输入”“输入”“输入”，事件D表示“依次输出”，则( )
A.若输入信号，则输出的信号只有两个M的概率为
B.
C.
D.
11．在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”.那么( )
A.存在旋转函数
B.旋转函数一定是旋转函数
C.若为旋转函数，则
D.若为旋转函数，则
三、填空题
12．若不等式对恒成立，则的最大值为________.
13．有1000张从1开始依次编号的多米诺骨牌，从小到大排成一行，每次从中去掉处在奇数位置的牌，则最后剩下的一张牌是号________.
四、双空题
14．《扫雷》是一款益智类的小游戏，游戏要求玩家在方格中点击若干次，排除所有无雷的格子即算成功.方格中的数字代表其周围8格的地雷数.现有如图所示的方格阵，有4个方格已经被点开，则图中地雷数的可能取值有________种；若已知图中共有7个地雷，则它们的排列方式有________种.
五、解答题
15．已知函数（且）.
（1）若对于任意的，都有，求实数m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，是否存在，使在区间上的值域是？若存在，求实数m的取值范围：若不存在，说明理由.
16．已知函数，其中，.
（1）若，，求的最大值；
（2）若，求；（用n表示）
（3）若，求
17．已知O为坐标原点，经过点的直线l与抛物线交于A，B（A,B异于点O）两点，且以为直径的圆过点O.
（1）求C的方程；
（2）已知M，N，P是C上的三点，若为正三角形，Q为的中心，求直线斜率的最大值.
18．药房里有若干味药.药剂师用这些药配成22副药方，每副药方中恰有5味药，从中任选的三味药都恰好只包含在某一副药方中.
（1）药房中共有几味药？
（2）药物分为烈性药和非烈性药，要求每副药方中至少有一味是烈性药.
（i）假设药房中有7味烈性药，证明：全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药；
（ii）证明：全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药.
19．已知.
（1）若存在两个不同的a使得的最小值为0，证明：；
（2）设（为常数），且当恒成立时，的最小值为，求的取值集合.
参考答案
1．答案：B
解析：集合，
，
且，
.
故选B.
2．答案：D
解析：观察图象知，函数单调递减，即，于是，
而函数图象与y轴相切，则x从大于0的方向趋于0时，趋于负无穷大，
也即趋于0，又，因此，
所以，.
故选：D
3．答案：D
解析：令，，
因为在定义域上单调递增，
由函数在上单调递减，
则在上单调递减且恒成立，
所以，解得，
因为，
所以使成立的一个充分不必要条件为.
故选：D
4．答案：D
解析：即，则圆心为，半径，
直线，令，解得，即直线恒过定点，
又，所以点在圆内，
设，，，由，
消去x整理得，显然，则，
则，
所以，，
则，
则，
又直线的斜率不为0，所以M不过点，
所以动点M的轨迹方程为（除点外），
圆的圆心为，半径，
又，所以，
即，即的取值范围为.
故选：D
5．答案：B
解析：因为函数是定义在R上的奇函数，且当时，，
由，①
且，②
由①②可得，
整理可得，解得，此时，，可得，
故当时，，
，合乎题意，
因为，则，
所以，函数是周期为2的周期函数，
所以，，
在等式中，令可得，可得，
，
因此，.
故选：B.
6．答案：B
解析：因为，
所以，
所以，
所以，
由，
得，即，
即，
如图，画出函数和的图象，
当时，，
由图可知函数和的图象右4个交点，
即函数有4个零点.
故选：B.
7．答案：B
解析：由数列满足，且，
令，可得，即，
再令，可得，即数列是公差为的等差数列，
又由，可得，即，
又由
即，所以及，
令,，可得，代入可得，
解得，所以，
即数列的通项公式为，
所以.
故选：B.
8．答案：B
解析：因为甲组、乙组均为15个数，则其中位数为从小到大排列的第8个数，
即小于中位数的有7个数，大于中位数的也有7个数，
依题意可得甲组的中位数为14或15，
若甲组的中位数为14，则乙组的中位数为16，此时从中选7个数放到甲组，剩下的6个数放到乙组，
再从中选7个数放到甲组，其余数均在乙组，此时有种分组方法；
若甲组的中位数为15，则乙组的中位数为17，此时从中选7个数放到甲组，剩下的7个数放到乙组，
再从中选7个数放到甲组，其余数均在乙组，此时有种分组方法；
若甲组的中位数为16，则乙组的中位数为18，此时甲组中小于16的数有7个、乙组中小于18的数有个，
从而得到小18的数一共只有个，显然不符合题意，故舍去，
同理可得，甲组的中位数不能大于15；
若甲组的中位数为13，则乙组的中位数为15，此时甲组中小于13的数有7个、乙组中小于15的数有7个，
从而得到小的数一共只有个，显然不符合题意，故舍去，
同理可得，甲组的中位数不能小于14；
综上可得不同的分组方法数是种.
故选：B
9．答案：BC
解析：对选项A，，，，
故A错误.
对选项B，，，，
故B正确.
对选项C，，，，故C正确.
对选项D，，，
，
故D错误.
故选：BC
10．答案：BCD
解析：A：因为发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两个信号的概率均为，即收到的信号字母变的概率为，且信号的传输相互独立，
所以输入信号，则输出的信号只有两个M的概率为，故A错误；
B：因为，故B正确；
C：，故C正确；
D：因为，
而
，
所以
，
故D正确；
故选：BCD.
11．答案：ACD
解析：对A，如满足条件，故A正确；
对B，如倾斜角为的直线是旋转函数，不是旋转函数，故B错误；
对C，若为旋转函数，则根据函数的性质可得，逆时针旋转后，不存在与x轴垂直的直线，使得直线与函数有1个以上的交点.故不存在倾斜角为的直线与的函数图象有两个交点.即与至多1个交点.联立可得.
当时，最多1个解，满足题意；
当时，的判别式，对任意的a，都存在b使得判别式大于0，不满足题意，故.故C正确；
对D，同C，与的交点个数小于等于1，即对任意的a，至多1个解，故为单调函数，即为非正或非负函数.
又，故，即恒成立.
即图象在上方，故，即.
当与相切时，可设切点，对求导有，故，解得，此时，故.故D正确.
故选：ACD
12．答案：3
解析：由，可得.
令，则在上单调递增，所以，
由对恒成立，
所以,，则，故，
当且仅当，即,时，等号成立，故的最大值为3.
故答案为：3.
13．答案：512
解析：第一次：余下编号，编号为，共500项；
第二次：余下编号，编号为，共250项；
第三次：余下编号，编号为，共125项；
第四次：余下编号，编号为，共62项；
第五次：余下编号，编号为，共31项；
第六次：余下编号，编号为，共15项；
第七次：余下编号，编号为，共7项；
第八次：余下编号，编号为，共3项；
第九次：余下编号512，编号为，共1项；
综上，最后剩下512.
故答案为：512
14．答案：7；46
解析：记为第i行，第j列格子，，，
当中是地雷时，
若其余无公共地雷时，图中地雷数为；
若其余有且只有一个公共地雷时，图中地雷数为；
若其余有且只有二个公共地雷时，图中地雷数为；
若其余有且只有三个公共地雷时，图中地雷数为；
若其余有且只有四个公共地雷时，图中地雷数为；
当中不是地雷时，
若其余有且只有一个公共地雷时，图中地雷数为；
若其余有且只有二个公共地雷时，图中地雷数为；
若其余有且只有三个公共地雷时，图中地雷数为；
若其余有且只有四个公共地雷时，图中地雷数为；
若其余有且只有五个公共地雷时，图中地雷数为；
若其余有且只有六个公共地雷时，图中地雷数为；
综上所述：图中地雷数可能取共7个值.
若已知图中共有7个地雷，由以上分析可知，共分两类：
第一类：当中是地雷时，其余有且只有二个公共地雷，共有种；
第二类：当中不是地雷时，其余有且只有五个公共地雷，共有，
所以若已知图中共有7个地雷，则它们的排列方式有种.
故答案为：7；46.
15．答案：（1）
（2）不存在，理由见解析
解析：（1）对于任意的，都有，等价于，
，
设，
则t在上是增函数，下面按照的单调性分类讨论：
当时，在上递减，则，解得，
当时，在上递增，则，解得与矛盾，故舍去；
综上，.
（2），在上递减，
，即，
即关于x方程在上有两个不等的实根，
设，
则，即.
综上，不存在这样的，满足条件.
16．答案：（1）1792；
（2）；
（3）
解析：（1），
，
不妨设中，则
，则或6，
中的最大值为.
（2）若，，两边求导得，
令得，.
（3）若，，
，
因为，
所以
.
17．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）设，，，联立方程得，
则，.
因为以为直径的圆过点O，所以，则，即，
解得，
所以，解得，所以C的方程为.
（2）设，，.不妨设N，M，P按逆时针顺序排列.
①当有一边斜率不存在时，另一顶点为，不妨设，
则，.
与抛物线C的方程联立得，，中心.
②当三边的斜率都存在时，，.
又，所以，
化简可得，
同理可得，
，
三式相加得.
因为M，N，P是C上的三点，所以，
又，
所以.
设，则，，代入上式得.
又①也满足，所以Q的轨迹方程为.
当，直线的斜率为，当且仅当时，
直线的斜率取得最大值.
当时，直线的斜率.
综上，直线斜率的最大值为.
18．答案：（1）12；
（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析
解析：（1）设共有n味药，一共可形成个“三药组”，另一方面，每个“三药组”恰有一副药方包含它，
22副药方中，每副药方可形成个“三药组”，合计220个“三药组”，
所以，所以.
（2）设共有烈性药r味，假设每副药方中至多含有3味烈性药，
不妨把1味烈性药味非烈性药称为“三药组”，
共有个“三药组”，
另一方面，因为每3种烈性药恰有一副药方包含它，故有副药方恰含有3种烈性药，
每副这样的药方含有个“三药组”，其余副药方只含有1种或2种烈性药，
它们中每一幅都可形成或个“三药组”，
故22副药方一共可形成个“三药组”，
故有，得，
（i）将代入,
即说明假设药房中有7味烈性药，全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药；
（ii）两边考虑都除以5，右侧余2，
对于，当r取0，1，2，3，4，5时，均不成立，
即说明假设每副药方中至多含有3味烈性药不成立，
所以全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药.
19．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1），令，则，
当时，，单调递增，没有最小值，不满足题意；
当时，考虑这一侧，有，
则当时，，不满足题意；
当时,恒成立,在R上单调递增，
取即有；
当时，有，则当时，；
所以存在唯一的，使得，
此时在上单调递减，在上单调递增，
且有，也即，
于是，，
记，则，
当时，恒成立，单调递增，
所以存在两个不同的a，使得的最小值为0，
也即存在两个不同的，使得；
记，则，
易知在上单调递增，在上单调递减，所以；
若，当时，，
而当时，单调递减，方程至多有一个解，不满足题意；
若，则有，方程至多有一个解，满足题意；
综上，；
（2）由第一问可知，,，
取，则，
此时,，
记，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
由于,，所以有，
记，则只需考虑的解即可，
，
所以在上单调递减，在上单调递增，而，
所以只有一个解，
此时，
综上，的取值集合为.
4
3
3
2