四川省成都市电子科技大学实验中学2024-2025学年八年级上学期10月考数学试卷（解析版）-A4

这是一份四川省成都市电子科技大学实验中学2024-2025学年八年级上学期10月考数学试卷（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
时长：120分钟 总分：150分
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（每小题4分，共32分）
1. 下列算式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平方根、算术平方根及立方根直接进行排除选项即可．
【详解】A、，故错误；
B、，故错误；
C、，故错误；
D、，故正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查平方根、算术平方根及立方根，熟练掌握平方根、算术平方根及立方根是解题的关键．
2. 下列长度的线段能构成直角三角形的一组是（ ）
A. B. 9，12，13C. 7，12，15D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用表示三角形的三条边，如果，那么这个三角形是直角三角形．
根据勾股定理的逆定理逐项分析即可．
【详解】解：A、，能构成直角三角形；
B、，不能构成直角三角形：
C、，不能构成直角三角形；
D、，不能构成直角三角形；
故选：A．
3. 若，估计m的值所在的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法，解决本题的关键是估算出的范围．
先估算出的范围先估算，再确定的范围，即可得出结论．
【详解】解：，
，即，
，即，
，
故选：C．
4. 在实数，0.31，，，0.1010010001…（每隔一个1增加一个0）中，无理数有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查的是无理数的概念．无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．
【详解】解：，
∴无理数有，，0.1010010001…（相邻两个1之间依次多一个0）共3个．
故选：B．
5. 如图，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，较大两个正方形的面积分别为169和144，则最小正方形A的边长是（ ）
A. 25B. 13C. 12D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理，根据勾股定理和正方形的面积求解即可．
【详解】解：根据图形，直角三角形的边长的平方刚好为对应正方形的面积，
∴直角三角形的斜边平方为169，一条直角边的平方为144，
∴另一条直角边的平方为
∴最小正方形A的面积是25，边长为5；
故选：D．
6. 如图，是一个带有吸管的圆柱形水杯，底面直径为，高度为，现有一根的吸管（底端在杯子底上），放入水杯中，则露在水杯外面的吸管长度为，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．根据杯子内吸管的长度的取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．
【详解】解：∵将一根长为的吸管，置于底面直径为，高度为的圆柱形水杯中，
∴在杯子中吸管最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜对角长度，
∴当杯子中吸管最短是等于杯子的高时，吸管长为，
最长时等于杯子斜对角长度是：，
∴a的取值范围是：，
即，
故选：C．
7. 下列说法，①是17的一个平方根；②两个无理数的和是无理数；③平方根是它本身的数有0和1；④的立方根．其中，错误的有（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了算术平方根、立方根、平方根．根据算术平方根、立方根、平方根分别进行判断即可．
【详解】解：①是17的一个平方根；①说法正确；
②两个无理数的和不一定是无理数；②说法错误；
③平方根是它本身的数只有0；③说法错误；
④的立方根，④说法错误；
∴错误的是3个，
故选：D．
8. 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（ ）
A. 29B. 32C. 36D. 45
【答案】D
【解析】
【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果．
【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2＝AB2−AD2，CD2＝AC2−AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2，
∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2）
＝AC2−AB2
＝45．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握．
第II卷（非选择题）
二、填空题（每小题4分，共20分）
9. 的算术平方根是________.
【答案】
【解析】
【详解】试题解析：
的算式平方根是
故答案为
10. 如图，数轴上点A表示的实数为 __________________．

【答案】
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出圆弧半径，再用减去半径即可得到答案．
【详解】解：由勾股定理得，
圆弧半径为，
则点A表示实数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数与数轴，利用勾股定理得出圆弧半径的长是解题关键．
11. 已知一直角三角形面积为10，两直角边的和为9，则斜边长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的面积公式和直角三角形的勾股定理，对于计算直角三角形的面积可以应用公式“直角三角形面积等于两直角边乘积的一半”．直角三角形的勾股定理是解答本题的关键知识点．
设直角三角形一条直角边长为x，则另一条直角边的长为，根据直角三角形面积为10列出方程，最后利用直角三角形勾股定理即可求出斜边的值．
【详解】解：设直角三角形一条直角边长为x，则另一条直角边的长为，
依题意有，
解得．
∴直角三角形两条直角边为：4，5，
故斜边长．
故答案为：．
12. 如图，有一个圆柱，底面圆周长为，高为BC的中点，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是平面展开的最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
把圆柱的侧面展开，连接，利用勾股定理即可得出的长，即蚂蚁从点爬到点的最短距离．
【详解】解：已知如图：
∵圆柱底面周长为、高为的中点，
∴，
在中，，
∴蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬到点的最短距离为，
故答案为：．
13. 如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为___．

【答案】5
【解析】
【分析】设DE=x，则AE=8-x．先根据折叠的性质和平行线的性质，得∠EBD=∠CBD=∠EDB，则BE=DE=x，然后在直角三角形ABE中根据勾股定理即可求解．
详解】解：设DE=x，则AE=8-x．
根据折叠的性质，得∠EBD=∠CBD．
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠ADB，
∴∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE=x．
在直角三角形ABE中，根据勾股定理，得
x2=（8-x）2+16，
解得x=5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题、平行线的性质、等角对等边的性质和勾股定理，难度适中．
三、解答题（本大题5小题，共48分）
14. 计算
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）；
（4）或．
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用立方根和平方根解方程．
（1）先算二次根式的乘除法，然后合并即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式以及二次根式的性质进行计算即可；
（3）整理后，利用立方根的性质即可求解；
（4）移项，利用平方根的性质即可求解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：，
整理得，
开方得，
解得；
【小问4详解】
解：，
移项得，
开方得，
即，，
解得或．
15. 已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，请化简：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，化简绝对值，化简二次根式，立方根的含义，整式的加减运算的应用，熟练的化简绝对值是解本题的关键．由数轴可得出a ，b ，c的大小关系，可得，可得，，再化简即可．
【详解】解：根据数轴上点的位置得：，，
∴，，
∴
．
16. 一架长的梯子，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙．
（1）如图，，，求这架梯子的顶端距地面有多高？

（2）如图，如果梯子靠墙下移，底端向右移动至点处，求它的顶端A沿墙下移多少米？

【答案】（1）这架梯子的顶端距地面有
（2）梯子的顶端沿墙下移
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握利用勾股定理计算是解题的关键．
（1）根据勾股定理，计算得出答案即可；
（2）根据、，结合勾股定理计算，最后根据得出答案即可．
【小问1详解】
解：∵于点，
∴，
在中，根据勾股定理，得，
∵，，
∴，
答：这架梯子的顶端距地面有；
【小问2详解】
解：由题意，得，
∴，
∵，
∴在中，根据勾股定理，得，
∴，
∴，
答：梯子的顶端沿墙下移．
17. 如图，在点正北方的处有一信号接收器，点在点的北偏东的方向，一电子狗从点向点的方向以的速度运动并持续向四周发射信号，信号接收器接收信号的有效范围为．
（1）求出点到线段的最小距离；
（2）请判断点处是否能接收到信号，并说明理由．若能接收信号，求出可接收信号的时间．
【答案】（1）点到线段的最小距离为；
（2）能，可接收信号的时间．
【解析】
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
（1）作于．求出即可解决问题；
（2）当时，，同理，根据，求出运动时间即可解决问题；
【小问1详解】
解：作于．
在中，，，
则是等腰直角三角形，
，
，
答：点到线段的最小距离为；
【小问2详解】
解：，
点处能接收到信号．
当时，，
当时，，
，
可接收信号的时间．
答：可接收信号的时间．
18. 综合与实践
【观察猜想】（1）如图1，与都是等腰直角三角形，其中，，点在线段上，连接，则和的数量关系是______．
【探索证明】（2）如图2，将（1）中的绕点顺时针旋转，点落在线段上，其他条件不变，此时的度数是______，并探究线段之间的数量关系，并说明理由．
【拓展探究】（3）如图3，是等腰直角三角形，其中为外一点，，连接，若，请求出的长．
【答案】（1）（2），理由见解析；（3）5
【解析】
【分析】（1）由“”可证，可得；
（2）根据证明，得，，由勾股定理可求，，据此即可求解；
（3）过点作，交的延长线于，连接．证明是等腰直角三角形，得出，得出，得出，求出，即可得出答案．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴；
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，过点作，交的延长线于，连接．
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
又，，
，
，
，
．
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
B卷（共50分）
一、填空题（每小题4分，共20分）
19. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________．
【答案】，且
【解析】
【分析】本题考查了二次根式以及分式有意义的条件，掌握被开方数非负数以及分母不为0，是解答本题的关键．
根据被开方数为非负数以及分母不为0，列出不等式，求解即可．
【详解】解：由题意，得
，
解得：，且，
故答案为：，且．
20. 实数的整数部分a=_____，小数部分b=__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】将已知式子分母有理数后，先估算出的大小即可得到已知式子的整数部分与小数部分．
【详解】解：，
∵4＜7＜9，
∴2＜＜3，即2+3＜＜3+3，
∴，即实数的整数部分是a=2，
则小数部分为．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了分母有理化，以及估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．
21. 已知在中，，高．则的长为___________．
【答案】或
【解析】
【分析】此题考查勾股定理的运用，根据勾股定理可分别求得与的长，从而求得的长，掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解： 如图所示，共有两种情况，
当在点左侧时，在中，由勾股定理得：
，
在中，由勾股定理得：
，
，
当在点右侧时，在中，由勾股定理得：
，
在中，由勾股定理得：
．
故答案为：或．
22. 对于实数a，用符号表示不大于a的最大整数，如，，现对72进行如下操作：第1次：，第2次：，第3次：，这样对72只需要进行3次操作后变为1．①对200进行3次操作后变为_________．②恰好需要进行3次操作后变为1的所有正整数中最大的是________．
【答案】 ① 1 ②. 255
【解析】
【分析】本题考查取整函数及无理数的估计，正确理解取整含义是求解本题的关键．
①根据的含义和无理数的估计可求；
②根据的含义求出这个数的范围，再求最大值．
详解】解：①对200进行第一次操作：，
第二次操作后：．
第三次操作后：．
故答案为：1；
②设这个数是，
．
．
．
．
．
次操作，故．
．
是整数．
的最大值为255．
故答案为：255．
23. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，点E为边CD上一点，将△ADE沿AE所在直线翻折，得到△AFE，点F恰好是BC的中点，M为AF上一动点，作MN⊥AD于N，则BM+AN的最小值为____．
【答案】．
【解析】
【分析】根据矩形的性质得到∠BAD=∠ABC=90°，BC=AD，由折叠的性质得到AF=AD，∠FAE=∠DAE，求得∠BAF=30°，∠DAF=60°，得到∠BAF=∠FAE，过B作BG⊥AF交AE于G，则点B与点G关于AF对称，过G作GH⊥AB于H交AF于M，则此时，BM+MH的值最小，推出△ABG是等边三角形，得到AG=BG=AB=5，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，BC=AD．
∵将△ADE沿AE所在直线翻折，得到△AFE，
∴AF=AD，∠FAE=∠DAE．
∵点F恰好是BC的中点，
∴BF，
∴∠BAF=30°，
∴∠DAF=60°，
∴∠FAE，
∴∠BAF=∠FAE，
过B作BG⊥AF交AE于G，则点B与点G关于AF对称，
过G作GH⊥AB于H交AF于M，
则此时，BM+MH的值最小．
∵MN⊥AD，
∴四边形AHMN是矩形，
∴AN=HM，
∴BM+MH=BM+AN=HG．
∵AB=AG，∠BAG=60°，
∴△ABG是等边三角形，
∴AG=BG=AB=5，
∴，
∴HG，
∴BM+AN的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换((折叠问题))，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
二、解答题（本大题3个小题，共30分）
24. （1）已知，．①求的值；②求的值．
（2）若、都是实数，且，求的平方根．
【答案】（1）①②；（2）.
【解析】
【分析】（1）①根据要求相加通分，分母有理化，化简即可. ②可将原式转化为，运用第①问的结果代数求值.
（2）根据平方根的非负性，得到，进而求得的值，最后求的平方根.
【详解】解：①当，时，
原式
②当，时，
原式
（2）由题意得，
故，
，
.
的平方根为.
【点睛】本题考查的是实数范围里尤其是无理数的代数求值，熟练掌握无理数的化简与计算，并对要求的代数式进行适当变形化简是解答关键.
25. 数学阅读：古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，则这个三角形的面积为，其中．这个公式称为“海伦公式”．数学应用：如图1，在 中，已知，，．
（1）请运用海伦公式求△ABC的面积；
（2）设边上的高为，边上的高，求的值；
（3）如图2，、为的两条角平分线，它们的交点为I，求的面积．
【答案】（1）面积是
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）直接代入海伦公式计算．
（2）利用海伦公式求出面积，再用一般求三角形面积公式求高．
（3）角平分线的交点，到各个边的距离相等，所以可以用三个三角形的面积等于总面积，且高都相等，列方程可求出角分线到各边的距离．
【小问1详解】
解： =12
∴面积是；
【小问2详解】
解：
∴
【小问3详解】
解：如图，过点I作、、，垂足分别为点F、G、H，
∵、分别为的角平分线，
∴，
∵，
∴，解得
故．
【点睛】本题考查了二次根式的应用和角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，并根据新公式代入计算．
26. 在中，，为中点，，射线、分别交直线、于、．
（1）如图1，在射线上，连接，试判断、、之间的数量关系并证明；
（2）如图2，在射线上，将绕点逆时针旋转．
①如图3，当射线交线段于点时，求证：；
②当时，若，，当时，求的长度．
【答案】（1），理由见解析
（2）①见解析；②或
【解析】
【分析】（1）由垂直平分线的性质可得，由勾股定理可求解；
（2）①由勾股定理可求，由可证，可得，，由勾股定理可得，即可求解；
②分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况讨论，由勾股定理可求解．
【小问1详解】
解：，
理由如下：是中点，，
，
中，
；
【小问2详解】
解：①证明：如图，延长至点，使，连接，，，
，
中，，
，
，，
，
，，
，
，即，
中，，
，
；
②解：当点在线段上时，
，，，
，，
，
，
；
当点在线段的延长线上时，如图，延长至点，使，连接，，，

中，，
又，
，
，，，
，，
，
，
，
，
中，，
，
．
，
．
综上所述：的长度为或．