四川省成都市某校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份四川省成都市某校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了 如图，已知，，，，则的长为等内容，欢迎下载使用。
A卷（共100分）
一．选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）
1. 用一个平面截长方体，得到如图的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”、“堑堵”的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可．
【详解】解：从上面看，看到的图形是一个长方形，即看到的图形如下：
，
故选：C．
2. 如图，菱形的周长为，对角线长为，则它的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题重点考查菱形的性质、菱形的周长和面积公式、勾股定理等知识，正确地求出的长是解题的关键．根据菱形的性质求得，，由，得，则，所以，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：四边形是菱形，且周长为，长为，
，，
，
，
，
，
，
故选：A
3. 如图，已知，，，，则的长为（ ）

A. 6B. C. 7D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理等知识．由，推出，推出，可得结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，解出m的取值范围即可进行判断．
【详解】解：根据题意，得，
解得，
∵，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
5. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率：先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找恰好选中《周髀算经》的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：设分别用A、B、C、D表示《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》，列表如下：
由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》的结果数有6种，
∴选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》的概率为，
故选：B.
6. 已知 是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系的应用，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．通分：，根据一元二次方程根与系数的关系：，可得出答案．
【详解】解：根据题意得，，
则＝＝．
故选：D．
7. 在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是（ ）
A. B.
C 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据位似比的性质可知，用点的坐标分别乘以即可求解．
【详解】解：∵，相似比为，
∴点的对应点的坐标是，即或，即，
故选：．
【点睛】本题主要考查位似的性质，掌握位似的性质，用点坐标乘以相似比（正数相似比，负数相似比）是解题的关键．
8. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即，已知为2米，则线段的长为（ ）米．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据，求出，可得结论．
【详解】解：为边的黄金分割点，即
米
米
故选B．
【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是记住黄金分割的定义．
二．填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9. 日晷是我国古代的一种计时仪器，它由晷面和晷针组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子会随着时间的推移慢慢移动，以此来显示时刻，则晷针在晷面上形成的投影是___________投影．（填“平行”或“中心”）
【答案】平行
【解析】
【分析】根据中心投影和平行投影的定义，结合光的照射方式判断即可．
【详解】解：∵太阳光的光线可以看成平行光线，
∴晷针在晷面上形成的投影是平行投影，
故答案为：平行．
【点睛】本题考查了中心投影和平行投影的定义，正确分析光的照射方式是解答本题的关键．中心投影的定义：光由一点向外散射形成的投影；平行投影的定义：光源以平行的方式照射到物体上形成的投影．
10. 若两个相似三角形面积之比为，则它们的对应中线之比为_________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比得到相似比，即可解答，掌握相似三角形的面积之比是相似比的平方是解题的关键．
【详解】解：两个相似三角形面积之比为，
两个相似三角形相似比为，
它们的对应中线之比为，
故答案为：．
11. 如图，四边形为平行四边形，请你添加一个合适的条件_____________，使其成为矩形(只需添加一个即可)．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是本题的关键；
根据矩形的判定定理即可解答．
【详解】四边形为平行四边形，，
四边形为矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；
故答案为：（答案不唯一）．
12. 一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率为，根据原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设每次降价的百分率为，
由题意，得：，
解得：，（舍去）；
故答案为：．
13. 如图，电路图上有4个开关和1个小灯泡，同时闭合开关或同时闭合开关都可以使小灯泡发光．现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为_________．

【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得随机闭合两个开关有六种情况，其中能使小灯泡发光的有2种，由此问题可求解．
【详解】解：由题意得：随机闭合两个开关有六种情况，其中能使小灯泡发光的有2种，
∴小灯泡发光的概率为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握利用列举法求解概率是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. （1）解方程：；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程：
（1）因式分解法解方程即可；
（2）公式法解方程即可．
【详解】解：（1），
，
或，
∴．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
15. 从一副普通的扑克牌中取出五张牌，它们的牌面数字分别是4，4，5，5，6．
（1）将这五张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是4的概率是多少？
（2）将这五张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取第二张．请用列表或画树状图的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）直接用概率公式求解即可；
（2）画树状图，再利用概率公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：将这五张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，抽取牌面数字是4的概率为：；
【小问2详解】
解：画树状图，如下，
共有20种等可能事件，其中抽取这两张牌的牌面数字之和为奇数有12种，
所以抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的概率为．
16. 小明想测量电线杆的高度，他发现电线杆的影子正好落在坡面和地面上，已知和地面成角，，且此时测得高的标杆在地面的影长为，求的长度．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的综合应用，通过作辅助线把的高度表示成线段与线段之和是解题关键．过点D作于点E，交的延长线于点F，则的高度等于线段与线段之和，线段与线段可通过图中的已知条件求得，题目得解．
【详解】解：如图，过点D作于点E，交的延长线于点F．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵同一时刻的光线是平行的，水平线是平行的，
∴光线与水平线的夹角相等，
又∵标杆与影子构成的角为直角，与构成的角为直角，
∴与影长构成的三角形和标杆与影子构成的三角形相似，
∵高的标杆在地面的影长为，
∴，
解得，
∴．
答：电线杆的高度为．
17. 如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F．

（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）详见解析
（2）96
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，
（1）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得，问题随之得证；
（2）根据菱形的性质可得，再利用勾股定理可得，问题随之得解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵菱形对角线交于点O，
∴，即．
∴四边形是矩形；
【小问2详解】
∵菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积为：．
18. 如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连结AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连结DG．
（1）证明：△AFC∽△AGD；
（2）若＝，请求出的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由四边形，是正方形，推出，得，由于，得到，列比例式即可得到结果；
（2）设，，则，根据勾股定理得到，由于，，于是得到，得到比例式即可得到结论．
小问1详解】
四边形，是正方形，
，，
，
，
，
；
【小问2详解】
，
设，，则，
，，
四边形，是正方形，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，找准相似三角形是解题的关键．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19. 如图，小树AB在路灯O的照射下形成树影BC． 若树高AB=2m，树影BC=3m，树与路灯的水平距离BP=5m，则路灯的高度OP为 _____m．
【答案】
【解析】
【分析】根据在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变建立等量关系即可求解．
【详解】解：在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变：
∵当树高AB=2m，树影BC=3m，且BP=5m
∴ ，代入得：
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查利用相似三角形测高，掌握同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变是解题关键．
20. 如图，已知，点D是AC的中点，，则AB的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据点D是AC的中点，可求得AC、AD，再根据相似三角形的性质即可求得．
【详解】解：点D是AC的中点，，
，AC=4，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握和运用相似三角形的性质是解决本题的关键．
21. 若x、y均为实数，则代数式的最小值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了配方法，将转化为，即可得到原式的最小值，熟练掌握配方法是解本题的关键．
【详解】解：可转换为，
当时，原式取到最小值，为1，
故答案为：1．
22. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为_____________．
【答案】####1.2
【解析】
【分析】延长DE交x轴于点F，先求出点A（4，0），B（0，2），可得OB=2，OA=4，再根据菱形的性质，可得OE=OC=DE=1，DE∥OC，设点，则，可得，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，延长DE交x轴于点F，
当x=0时，y=2，
当y=0时，则，解得：x=4，
∴点A（4，0），B（0，2），
∴OB=2，OA=4，
∵C是OB的中点，
∴OC=1，
∵四边形OEDC是菱形，
∴OE=OC=DE=1，DE∥OC，
∴DF⊥x轴
设点，则，
∴，
∵，
∴，解得：或0（舍去），
∴，
∴△OAE的面积为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，菱形的性质，熟练掌握一次函数的图象和性质，菱形的性质是解题的关键．
23. 定义：如果三角形中有两个角的差为90°，则称这个三角形为互融三角形．在中，，，，点是延长线上一点．若是“互融三角形”，则的长为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，等角对等边，分和两种情形，分别进行计算即可求解，依据定义进行分类讨论是解题的关键．
【详解】解：∵是“互融三角形"，
∴当时，则，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
当时，则，
∵，
∴，
∴，
设，，
∵，
∴，
解得，
∴；
综上，的长为或，
故答案：或．
三．解答题（本大题共3个小题，共30分）
24. 巴黎奥运会的吉祥物“弗里热”玩偶共有两种尺寸．分别为大款和小款，小渝购置了一定数量的两款玩偶，各自花费2400元，已知大款比小款单价高90元，小款数量是大款数量的．
（1）请问大，小款单价各多少元？
（2）为了送给其他的朋友，小渝决定再买一定数量的吉祥物，此时，在第一次购买的基础上，小款的单价减少了m元，购买数量增加了个，大款的单价不变，购买数量减少了个，总费用为4800元，请求出m的值．
【答案】（1）大，小款单价各为元和元
（2）m的值为
【解析】
【分析】本题考查分式方程和一元二次方程的应用，
（1）设小款单价元，则大款单价元，根据“各自花费2400元，已知大款比小款单价高90元，小款数量是大款数量的”列分式方程解题即可；
（2）根据“费用单价数量，总费用大款费用小款费用”列方程解题即可．
【小问1详解】
解：设小款单价元，则大款单价元，
，
解得：x=150，
经检验：x=150是原方程的解，
∴大款单价为元，
答：大，小款单价各为元和元．
【小问2详解】
解：，
解得：（舍去），，
答：m的值为．
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，直线与轴、轴分别交于点、点与相交于点，线段的长是一元二次方程的两根．
（1）求点、点的坐标；
（2）在轴上是否存在点，使点、点、点为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；如不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）或．
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法解方程得到，则可得到，据此可得答案；
（2）先求出，进而利用勾股定理得到，则，过点E作轴于点，如图，可证明，利用相似三角形的性质得到，，则，可得的坐标是．利用勾股定理求出；由待定系数法求出直线的解析式是，则，则可利用勾股定理求出，
再分当时， 当时，两种情况根据相似三角形的性质建立比例式求出的长即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴或，
解得，
∵线段的长是一元二次方程的两根，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：，
，
∴．
∴，
过点E作轴于点，如图，

∴，
∴，
，即
，，
∴，
∴的坐标是．
∵，
∴，
∴；
设直线的解析式是，
∴，
解得：，
则直线的解析式是；
在中，当时，，
∴，
∴，
当时，如图，

则，即，
解得：，
∴
∴的坐标是；
当时，如图，

则，则，
解得：，
∴，
∴的坐标是．
综上所述，的坐标是或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理，相似三角形的性质与判定，解一元二次方程等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
26. 【基础巩固】（1）如图1，在中，是边上一点，是边上一点，．求证：；
【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，点是边的中点，，若，，求线段的长．
【拓展提高】（3）在中，，以为直角顶点作等腰直角三角形（其中），点在上，点在上．若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）5；（3）10
【解析】
【分析】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三等角基本几何模型是解题的关键．
（1）利用一线三等角模型，可说明，得；
（2）如图2中，延长交的延长线于点．证明，推出，求出，，再利用勾股定理求解；
（3）过点作与交于点，使，由（1）同理得，可知，再利用，可得答案．
【详解】（1）证明：，，
，
，
∴，
，
，
，
；
（2）解：如图2中，延长交延长线于点．
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
；
（3）解：如图，过点作与交于点，使，
，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，（舍去）