四川省成都市盐道街中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷（解析版）-A4

这是一份四川省成都市盐道街中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷（解析版）-A4，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题4分，共32分）
1. 下列方程是一元二次方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程，据此即可判定求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【详解】、当时，方程为一元一次方程，该选项不合题意；
、方程是一元二次方程，该选项符合题意；
、方程的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意；
、方程整理为，是一元一次方程，该选项不合题意；
故选：．
2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了线段成比例问题，根据比例线段的概念，最小线段长与最大线段长的积，另外两条线段长的积，两个结果是否相等即可即可求解．
【详解】解：A、，不成比例，不符合题意；
B、，则，不成比例，不符合题意；
C、，不成比例，不符合题意；
D、，成比例，符合题意；
故选：D ．
3. 如图，在菱形中，E是的中点，F点是的中点，连接，如果，那么菱形的周长为（ ）
A. 9B. 12C. 24D. 32
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了菱形的性质以及三角形中位线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由点E、F分别是的中点，，利用三角形中位线的性质，即可求得的长，然后由菱形的性质，求得菱形的周长．
【详解】解：∵点E、F分别是的中点，，
是的中位线，
∴．
∵四边形是菱形，
∴菱形的周长是：．
故选：D．
4. 灵武长红枣栽培历史悠久，具有独特的品质和形态特征，是中国国家地理标志产品．有“活维生素丸”、“百果之王”之美称．某研究院跟踪调查了灵武长红枣的移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计灵武长红枣移栽成活的概率约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等．用到的知识点为：总体数目=部分数目÷相应频率．部分的具体数目=总体数目×相应频率．由图可知，成活概率在上下波动，故可估计这种树苗成活的占比稳定在左右，成活的概率估计值为．
【详解】解：这种树苗成活的占比稳定在，成活的概率估计值约是．
故选：C．
5. 如图，已知是的边上一点，根据下列条件，不能判定的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可．
【详解】∵是公共角，
∴再加上或都可以证明，故A，B可证明，
C选项中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C不能证明．
∵，
若再添加，即，可证明，故D可证明．
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．
6. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则b的值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查一元干净议程的解，根据议程解的定义，将已知的方程解代入方程求解即可．
【详解】解：因为关于x的一元二次方程的一个根为，
所以，将代入方程可得，
解得，，
故选：A．
7. 成都市某鞋厂10月份的运动鞋产量为32万双，因销量较好，11月份、12月份均增大产量，使第四季度的总产量达到100万双．设该厂11、12月份的运动鞋产量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的运用，根据10月的产量，和增长率可得11月的产量，可得12月的产量，结合第四季度总产量为100万双，由此即可列式即可．
【详解】解：10月份的运动鞋产量为32万双，设该厂11、12月份的运动鞋产量的月平均增长率为x，
∴11月的产量为，12月的产量为,
∵第四季度总产量达到100万双，
∴，
故选：D ．
8. 如图，在矩形中，，．对角线相交于点，点是上的动点，是的中点，连接，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，垂线段最短，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键．
由矩形的性质可得，，，进而由勾股定理可得，根据垂线段最短可知当，即时，的值最小，由可得，据此即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵是的中点，
∴，
当，即时，的值最小，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得，
故选：．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9. 若，则的值为 __．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查比例的性质，设，，再代入计算即可得到答案．
【详解】解：设，，
则
．
故答案为：．
10. 如图，正方形的对角线，交于点O，P为边上一点，且，则的度数为__________．
【答案】##22.5度
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，根据四边形是正方形，可得，，再根据，即可求出的度数．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
11. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是________．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）的定义以及根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义列出不等式，解不等式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根
∴且，
解得且，
故答案为：且．
12. 如图，已知ABC∽AMN，点M是AC的中点，AB＝6，AC＝8，则AN＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据相似三角形的性质，得，代入数据得出AN的长即可．
【详解】解：∵△ABC∽△AMN，
∴，
∵M是AC的中点，AB＝6，AC＝8，
∴AM＝MC＝4，
∴，
解得AN＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边的比相等．
13. 如图，的周长为，连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线，交边于点，连接，则的周长为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意求出，再利用线段的垂直平分线的性质解决问题．
【详解】解：的周长为，
，
由作图可知垂直平分线段，
，
的周长，
故答案为：．
【点睛】本题考查作图——基本作图，线段的垂直平分线的性质，平行四边形的性质等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. （）计算：；
（）．
【答案】（）；（），．
【解析】
【分析】（）利用二次根式的性质、负整数指数幂、绝对值的性质、零指数幂分别运算，再合并即可求解，
（）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可求解；
本题考查了实数的混合运算，解一元二次方程，掌握实数的运算法则和解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】（）解：原式
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
15. 菜学校课后服务，为学生们提供了手工烹饪，文学赏析，体育锻炼，编导表演四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的喜好情况，校学生会随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动（必选且只选一种）”的问卷调查．根据调查结果，小明同学绘制了如图所示的不完整的两个统计图．
（1）
请根据统计图将下面的信息补充完整：
①参加问卷调查的学生共有________人；
②腐形统计图中“D ”对应扇形的圆心角的度数为________．
（2）若该校共有学生2000名，请你估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有多少人？
（3）现从喜欢编导表演课程的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人搭档表演双人相声，请用树状图或列表法求“恰好甲和丁同学被选到”的概率．
【答案】（1）①240，②36
（2）600 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，用样本估计总体等等．
（1）用最喜欢B的人数除以其人数占比求出参与调查的总人数，再用360度乘以最喜欢D的人数占比即可求出扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的大小；
（2）先求出样本中最喜欢A的人数，进而求出样本中最喜欢C的人数，再用2000乘以样本中最喜欢C的人数占比即可得到答案；
（3）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到恰好甲和丁同学被选到的结果数，最后依据概率计算公式进行求解即可．
【小问1详解】
解：人，
∴参加问卷调查的学生人数是240人，
∴扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的大小为，
故答案为：240，36；
【小问2详解】
解：人，
∴样本中最喜欢A课程的人数为60人，
∴样本中最喜欢C课程的人数为人，
∴估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有人；
【小问3详解】
解：用A、B、C、D表示甲、乙、丙、丁四人，列表如下：
由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好甲和丁同学被选到的结果数有2种，
∴恰好甲和丁同学被选到的概率为．
16. 某农场要建一个饲养场（长方形ABCD），饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为27米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长57米，设饲养场（长方形ABCD）的宽为a米
（1）饲养场的长为________米（用含a的代数式表示）
（2）若饲养场的面积为288，求a的值
【答案】（1）；（2）12
【解析】
【分析】（1）用总长减去后加上三个1米宽的门即为所求；
（2）根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可，注意的范围讨论．
【详解】（1）∵如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长57米，
∴饲养场的长为，
故答案为：；
（2）根据（1）的结论，饲养场面积为，
解得或；
当时，，
故不全题意，舍去，
当时，，
则；
答：的值为12．
【点睛】本题考查了列代数式、一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
17. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点A作于点，延长到点，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）由菱形的性质得，由勾股定理求出，，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
【小问1详解】
证明：四边形是菱形，
且，
，
，
，
∵，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
【小问2详解】
解：四边形是菱形，，
，
，
，
在中，，
在中，，
四边形是菱形，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键．
18. 如图1，在平面直角坐标系点中，，点B在y轴正半轴上且．直线的图象交y轴于点C，且射线平分，点P是射线上一动点．
（1）求直线的表达式和点C的坐标；
（2）连接、，当时，求点P的坐标；
（3）如图2，过点P作交x轴于点Q，连接，当与以点P、Q、C为顶点的三角形相似时，求点P的坐标．
【答案】（1），
（2）或
（3）
【解析】
【分析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可求解；
(2) 过点P作轴交于点T，设，，分别求出，，由题意可得方程，即可求得t的值，即可求得点P的坐标；
(3)作轴于点M，作于点N，设点，可证得，根据相似三角形的性质，即可求得，再由，可求得，再分两种性质，即当或当时，分别计算，即可求解．
【小问1详解】
解：，
，
又，
．
∴设，
把点、分别代入解析式，
得，
解得，
．
在中，令，则，
；
【小问2详解】
解：如图：过点P作轴交于点T，
设，，
，，，
．
解得，，
∴、，
故点P的坐标为或；
【小问3详解】
解：作轴于点M，作于点N，设点
，，
．
，，
，
，
，
，
；
又，
，
又，
，
，
，
，
；
当时，，
，
此方程无解；
当时，，
，
，
解得，
，
综上，点P的坐标为．
【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，求一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，相似三角形的判定与性质，两点间距离公式，作出辅助线和采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
B卷
一、填空题（每小题4分，共20分）
19. 设m，n分别为一元二次方程的两个实数根，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】将变形为，利用一元二次方程的根的定义可得，根据一元二次方程的根与系数的关系可得，整体代入即可求解．
【详解】解：m，n分别为一元二次方程的两个实数根，
，即，
，
．
故答案为：2012．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根及根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系，熟练运用整体代入的思想方法．
20. 如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再把B点折叠在折痕上，折痕为 ，点B在上的对应点为H，则的度数为_____．
【答案】##度
【解析】
【分析】由翻折的性质垂直平分，于是得到，故此为等边三角形，由为等边三角形可知，在中可求得，故此可求得．
【详解】解：∵垂直平分，
∴．
由翻折的性质可知：
∴．
∴是一个等边三角形．
∴．
∴．
∵，
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是翻折的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，证得是一个等边三角形是解题的关键．
21. 已知一次函数中，比例系数满足，那么直线与轴的交点坐标为______．
【答案】或
【解析】
【分析】由比例的性质可知所以可以分两种情况作出讨论：① ；② ．
【详解】∵，
①当时，
，
则与轴交点坐标为，
②，
则，
∴与轴交点为．
故答案为：或．
【点睛】本题考查一次函数与比例的综合应用，根据比例的性质对a、b、c的取值进行讨论是解题关键．
22. 甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字，1的卡片，乙中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b．若a，b能使关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别方法，列表或画树状图求随机事件的概率，根据方程有两个不相等的实根可得，画树状图表示所有等可能结果，再找出甲获胜的概率，即可求解．
【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
画树状图表示所有等可能结果如下，抽取结果表示为，
共有9种等可能结果，其中的有，，，，，共5种，
∴甲获胜的概率为，则乙获胜的概率为，
故答案为： ．
23. 如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．在中，，，．点是边上一点，连接，若是准互余三角形，则的长为________．
【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况画图说明，①根据是准互余三角形，可以证明是的平分线，根据勾股定理即可求出的长；②可以根据是准互余三角形，证明，对应边成比例即可求出的长，进而求出的长．
【详解】解：，，，
．
①如图1，
是准互余三角形，
，
，
，
，
是的平分线，
作于点，
则，，
设，则，
，
在中，根据勾股定理，得
，
，
解得，
；
②如图2，
是准互余三角形，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
，
．
综上所述：的长为10或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了勾股定理、余角和补角，解决本题的关键是分两种情况讨论．
二、解答题（共30分）
24. 龙岩市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
【答案】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为
（2）该品牌头盔每个售价应定为50元
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用：
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可；
（2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可．
小问1详解】
解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得
解得（不合题意，舍去）
答：设该品牌头盔销售量的月增长率为．
【小问2详解】
解：设该品牌头盔每个售价为y元，
依题意，得
整理，得
解得
因尽可能让顾客得到实惠
，所以不合题意，舍去．
所以．
答：该品牌头盔每个售价应定为50元．
25. 在平面直角坐标系中，已知直线与直线交于点，直线分别交坐标轴于点．
（1）求直线的函数表达式；
（2）如图2，点P为线段上的一个动点，将绕点B逆时针旋转得到，连接与．点Q随着点P的运动而运动，请求出点Q运动所形成的线段所在直线的解析式；
（3）直线上有任意一点F，平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点B、D、F、N为顶点的四边形是菱形，如果存在，请直接写出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在点N，使得以点B、D、F、N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为或或或
【解析】
【分析】（1）把点代入直线中可得，得，再把点代入直线中即可求解；
（2）根据直线与坐标轴的交点的计算方法可得B0,3，如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，可证，设，则，可用含的式子表示，令，可得，，由此即可求解；
（3）根据题意，点F是直线上有任意一点，设，根据菱形的性质分类讨论：第一种情况，如图所示，以为边，四边形是菱形，过点作轴于点，则，运用勾股定理可得；第二种情况，如图所示，以为对角线，四边形是菱形，运用两点之间距离的计算方法可得；第三种情况，如图所示，以BD为对角线，四边形是菱形，连接交BD以点，根据菱形的对角线相互垂直且平分即可求解．
【小问1详解】
解：已知点在直线的图象上，
∴，则，
把点代入直线得，，
解得，，
∴直线的函数表达式为：；
【小问2详解】
解：在直线中，令，则，令，则，
∴，
如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵旋转，
∴，，
∴，且，
∴，
∴，
∵点在直线的图象上，
∴设，则，
∴，，，
∴，
令，
∴，，
∴，整理得，，
∴点Q运动所形成的线段所在直线的解析式为：；
【小问3详解】
解：存在点N，使得以点B、D、F、N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为或或或，理由如下，
在直线中，令，则，
∴，则，
∵点F是直线上有任意一点，
∴设，
第一种情况，如图所示，以为边，四边形是菱形，过点作轴于点，则，
∴，，
∴，即，
解得，，
∴或，
∴或；
第二种情况，如图所示，以为对角线，四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴点于点重合，
∴，
∴；
第三种情况，如图所示，以BD为对角线，四边形是菱形，连接交BD以点，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴点的纵坐标为12，即，
解得，，
∴，
∴；
综上所述，存在点N，使得以点B、D、F、N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查一次函数图象的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间距离的计算方法，菱形的判定和性质，勾股定理的运用等知识的综合，掌握一次函数图象的性质，两点之间距离的计算，菱形的判定和性质是解题的关键．
26. 【证明体验】
（1）如图1，为的角平分线，，点E在上，．求证：平分．
【思考探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，F为上一点，连结交于点G．若，，，求的长．
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形中，对角线平分，点E在上，．若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
分析】（1）根据SAS证明，进而即可得到结论；
（2）先证明，得，进而即可求解；
（3）在上取一点F，使得，连结，可得，从而得，可得，，最后证明，即可求解．
【详解】解：（1）∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即平分；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴；
（3）如图，在上取一点F，使得，连结．
∵平分，
∴
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
又∵，
∴
∴，
∴，
∴．
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）