四川省成都市第四十三中学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份四川省成都市第四十三中学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分150分，考试时间120分钟）
A卷（共100分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1. 下列方程中是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析即可判断．
【详解】解：A、该方程中未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、该方程中含两个有未知数．不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、该方程中分母中含有未知数．不属于整式方程，故本选项不符合题意；
D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2. 若，则（ ）
A. B. C. D. -7
【答案】B
【解析】
【分析】设，代入式子进行计算即可求解．
【详解】解：∵，设，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
3. 下列性质中，矩形具有而一般平行四边形不具有的是（ ）
A. 对边相等B. 对角相等C. 对角线相等D. 对边平行
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形的性质以及平行四边形的性质进行做题．
【详解】解：矩形的特性是：四个角都是直角，对角线相等．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了特殊四边形的性质，掌握平行四边形的性质，矩形的性质是解题的关键．
4. 如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，若DE＝3，DF＝8，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【详解】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵DE＝3，DF＝8，
∴，
即＝，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，注意：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．
5. 如图，在平面直角坐标系中，菱形，O为坐标原点，点C在x轴上，A的坐标为，则顶点B的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用两点之间的距离公式可得，再根据菱形的性质可得，由此即可得出答案．
【详解】解：点的坐标为，
，
四边形是菱形，
，
点的横坐标为，纵坐标与点的纵坐标相同，即为4，
即，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质和点坐标，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
6. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答．
【详解】解：∵
∴
∴
A、当时，可通过“两角对应相等，两个三角形相似”可证，故不符合题意；
B、当时，可通过“两角对应相等，两个三角形相似”可证，故不符合题意；
C、当时，可通过“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”可证，故不符合题意；
D、当时，无法证明两个三角形相似，故符合题意；
故选：D ．
7. 如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，，则点A到的距离为（ ）
A. B. 6C. 8D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由菱形的性质求得，， ，再根据勾股定理求得，设点A到的距离是h，由得，即可求得，得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，，，
，，，，
，
，
设点A到的距离是h，则菱形的高是h，
，
，
，
∴点A到的距离是，
故选：A．
【点睛】本题考查菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理的应用，根据面积等式求线段的长度等知识与方法，根据勾股定理求出菱形的边长是解题的关键．
8. 某棉签生产工厂2022年十月棉签产值达100万元，第四季度总产值达331万元，问十一、十二月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率的百分数是x，则由题意可得方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设月平均增长率的百分数为x ，根据棉签生产工厂2022年十月棉签产值达100万元，第四季度总产值达331万元，可列方程求解．
【详解】解∶ 设月平均增长率的百分数是x，则
．
故选∶ D．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，是增长率问题，关键找出等量关系列出方程．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9. 已知是方程的一个根，则a的值是______．
【答案】8
【解析】
【分析】把代入方程就能求出的值．
【详解】是方程的一个根，
∴把代入方程有：，
，
，
故答案为：8．
【点睛】本题考查方程的解的概念，只须把方程的解代入方程中，就能求出系数的值．
10. 若P是线段的黄金分割点，且，，则_________．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】由P是线段的黄金分割点，且，可得，进而可解答，掌握黄金分割点的知识是解题的关键．
【详解】解：∵P是线段的黄金分割点，且，
∴，即，
∴或（舍去）．
故答案为：．
11. 若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是_．
【答案】＞
【解析】
【分析】由关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，可得：＜ 再列不等式，解不等式可得答案．
【详解】解： 关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，
＜
＜
＜
＜
＞
故答案为：＞
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，一元一次不等式的解法，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
12. 如图，菱形的边长为，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，直线交于点，连接，则的长为________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了作垂直平分线，菱形的性质，勾股定理；延长交于点，交于点，如图，根据菱形的性质得到，，利用作法得垂直平分，所以，，接着计算出，，然后计算出，最后利用勾股定理计算的长．
【详解】解：延长交于点，交于点，如图，

四边形为菱形，
，，
，
由作法得垂直平分，
，，
，
在中，，
，
，
在中，
，
，
，
在中，．
故答案为：．
13. 如图，已知ABC∽AMN，点M是AC的中点，AB＝6，AC＝8，则AN＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据相似三角形的性质，得，代入数据得出AN的长即可．
【详解】解：∵△ABC∽△AMN，
∴，
∵M是AC的中点，AB＝6，AC＝8，
∴AM＝MC＝4，
∴，
解得AN＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边的比相等．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. 解下列方程
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据配方法进行求解即可；
（2）用公式法进行求解即可．
【小问1详解】
解：移项，得，
配方，得，
，
，
；
【小问2详解】
解：
，
，
故方程有两个不相等的实数根，
【点睛】本题考查了一元二次方程的求解，正确的计算是解决本题的关键．
15. 若关于x的一元二次方程：有两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）若方程有一个根是0，求方程的另一个根．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根：，进行求解即可；
（2）将代入方程中，求出的值，再解一元二次方程，求出另一个根即可．
【小问1详解】
解：∵关于x的一元二次方程：有两个不相等的实数根，
∴，即：，
解得：；
【小问2详解】
解：将代入得：，
∴，
∴方程为：，
即：，
∴，
∴方程的另一个根为：1．
【点睛】本题考查一元二次方程判别式与根的个数的关系，以及一元二次方程解的定义．熟练掌握使等式成立的未知数的值是方程的解，以及因式分解法解一元二次方程，是解题的关键．
16. 在等腰中，，，是的两个根，试求的周长．
【答案】或
【解析】
【分析】分为腰，和为底边，两种情况分类讨论，当为腰时，方程的一个根是确定的，利用根与系数的关系，求出的值，从而得出的值，进而求出三角形的周长；当为底边时，说明方程有两个相等的实数根，利用，求出的值，从而得出的值，进而求出三角形的周长．
【详解】解：、是方程的两个根，
，
若为腰，则．
，即
解得，
．
周长；
若为底，则．
．
，，
或舍去．
周长．
答：的周长为或．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及等腰三角形的性质．熟练掌握等腰三角形两腰相等，以及一元二次方程根与系数的关系，是解题的关键．解题时，要注意分类讨论．
17. 如图，在平行四边形中，点，分别在，上，，．
（1）请判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，且，，求四边形的面积．
【答案】（1）四边形是矩形，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）首先证明四边形为平行四边形，再结合“对角线相等的平行四边形为矩形”，即可证明结论；
（2）首先结合（1），利用勾股定理解得，设，在中，，求得,然后根据平行四边形的面积公式求解即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，即，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，，，，
∴，
∴在中，，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
设，则，
在中，
∴
解得：，
∴四边形的面积．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、平行四边形面积公式等知识，熟练运用平行四边形的性质和相似三角形的性质是解题关键．
18. 如图，在菱形中，，交的延长线于点，连接交于点，交于点，连接．

（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若菱形的边长为，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由菱形的性质得到，，然后结合，即可证明，进而得到；
（2）先由菱形得到，，从而得到，再结合，得到，证明得到，再由，即可得到结论；
（3）先由菱形的性质可得，，结合以及平行线的性质可得，由含30角的直角三角形的性质及勾股定理可得，，再证明，，求出的长，最后由进行计算即可得到答案．
【小问1详解】
证明：四边形是菱形，
，．
，
，
；
【小问2详解】
证明：四边形是菱形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
菱形边长为2，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，，
，；
．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19. 一元二次方程的两根为、，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数关系的性质，得，，通过计算即可得到答案．
【详解】∵一元二次方程的两根为、
∴，
∴
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数关系的性质，从而完成求解．
20. 若，则k＝_____．
【答案】或﹣1．
【解析】
【分析】根据a+b+c的值是否为0分类讨论：a+b+c＝0时，根据等式的基本性质可得a＝﹣（b+c）,代入即可求出k；当a+b+c≠0时，根据等比性质即可求出k．
【详解】解：当a+b+c＝0时，a＝﹣（b+c），则k＝＝＝﹣1；
当a+b+c≠0时，根据等比性质可以得到：k＝＝＝．
则k＝或﹣1．
【点睛】此题考查的是比例的基本性质，掌握等比性质和分类讨论的数学思想是解决此题的关键.
21. 如图，AD是的中线，是AD的中点，BE的延长线交AC于点，那么______．
【答案】##1:2
【解析】
【分析】根据题意先过D作BF的平行线，交AC边于G，得出DG∥BF，再根据D为BC中点可得出△CDG∽△CBF，即，CG=FC=FG；同理得出△AEF∽△ADG，AF=AG=FG，从而得出AF=FG=GC，即可得出的值．
【详解】解：过D作BF的平行线，交AC边于G，如下图所示：
∵D为BC中点，DG∥BF，
∴∠CGD=∠CFB，
又∵∠C=∠C，
∴△CDG∽△CBF，
∴，即：CG=CF=FG，
又E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，DG∥BF，
同理可得：△AEF∽△ADG，
∴，即：AF=AG=FG，
∴AF=FG=GC，
∴.
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，用到的知识点是相似三角形的判定与性质，解题的关键在于找出条件判断两个三角形相似，再运用相似三角形的性质求解．
22. 黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则_____________．
【答案】
【解析】
【分析】结合题意可得，和是扇形的边，则，根据正方形性质可得，，因为是的中点，则；根据勾股定理可得，直角中，，即，综合可得即可求得的值．
详解】解：依题得：，
设，
则正方形中，，，
是的中点，
，
又，
，
在直角中，，
即
，，
，即，
，
舍去，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、圆的性质、勾股定理、一元二次方程的解，解题关键是找到和两个等量关系式列一元二次方程．
23. 在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点；把两个端点均为整点且长度为整数的线段称为整点线段．如图，梯形的四个顶点均为整点，点，直线过定点，作点关于直线的对称点，点为梯形内一点（包含边界），连接，当恰好落在梯形上，且是长度为5的整点线段，则这样的点共有_____个．
【答案】5
【解析】
【分析】本题轴对称图形以及勾股定理，图形与坐标，勾股定理：先由“直线过定点，作点关于直线的对称点”，得对称点的轨迹为圆心M以为半径的圆上，结合整点线段的概念，可知满足题意的对称点有三个，根据“是长度为5的整点线段，且点为梯形内一点（包含边界）”，得分别以点，，为圆心，以5为半径画圆，与梯形相交于在整点上，即为满足条件的点，据此作答即可．
【详解】解：∵点，直线过定点，
∴，
依题意，如图：对称点的轨迹为圆心M以为半径的圆上，
因为恰好落在梯形上，
所以满足题意的对称点有三个，分别为图中的点，，；
∵是长度为5的整点线段，且点为梯形内一点（包含边界），
∴分别以点，，为圆心，以5为半径画圆，与梯形相交于在整点上，
即为图中点，，，，；
所以当恰好落在梯形上，且是长度为5的整点线段，则这样的点共有5个；
故答案为：5
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若设降价元，降价后的销售量为件，请写出与的函数关系式．
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
【答案】（1）
（2）10
【解析】
【分析】（1） 由销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，则销售量为件，进而可列出函数关系式；
（2）根据利润等于单件商品利润乘以销售量，列一元二次方程，解方程即可求得答案．
【小问1详解】
依题意得：
∴y与x的函数关系式为：；
【小问2详解】
设每件商品降价元时，该商店每天销售利润为1200元
依题意得：
整理得：
即
解得，
∵每件盈利不少于25元
∴
解得：
∴
答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数解析式，解题的关键是根据题意列出方程．
25. 已知直线：分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线：与y轴交于点C，与直线交于点D．点P是线段上一动点（不与O，A重合），连接CP．
（1）如图1，点D的横坐标为5.
①求直线的函数表达式；
②连接，若，求线段的长；
（2）如图2，若，在线段上取点M，将线段绕点P顺时针旋转得到，点N恰好在直线上，且，求线段长．
【答案】（1）①；②1；
（2）．
【解析】
【小问1详解】
①将点D的横坐标代入：得：
∴
将点代入：得：
解得：
∴直线的函数表达式为：
②如图1，过点D作x轴垂线，垂足为H．
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
设，则
代入得：
解得：，
又∵点P不与A重合，
∴线段的长为1．
【小问2详解】
如图2，过点N作x轴垂线，垂足为Q
∵由②可知，
∴
∵，，
∴
设，，则
∵
∴，
∵，
∴
∴
又∵为直角三角形
∴，解得
∴．
【点睛】本题考查了代入法求函数解析式，相似三角形的证明和性质的应用；解题的关键是利用相似三角形的性质合理设未知数列方程求解．
26. 如图1，在中，，点是边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系．
（1）先将问题特殊化，如图2，当时，直接写出的大小；
（2）再探究一般情形，如图1，求与的数量关系．
（3）将图1特殊化，如图3，当时，若，求的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）作，交的延长线于点，如图，证明，得到，再通过线段的代换得出，即得，进而求解；
（2）延长并截取，如图，证明，得到，，再通过线段的代换得出，即得，进而求解；
（3）证明都是等边三角形，可得，，进而得，可证，设，则，根据相似三角形的性质求出，进而可得，过点作，勾股定理求得，证明，根据相似三角形的性质，即可求解.
【小问1详解】
解：作，交的延长线于点，如图，
则，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
小问2详解】
延长并截取，连接，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
延长并截取，连接，如图，由（2）可得，，
∴都是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，，，
∴，
∴，，
过点作
∴，
在中，，
在中，，
∵，则是等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
∴
∴
又∵，
∴
∴
∴.